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勾配ベクトルが接線に垂直になるということはわかっていたけど，
あいまいにしか理解していなかったので，
勾配ベクトルの向きがわかりません．
∇fと∇gが同じ向きになるということがわかりませんでした．
共通の接線を持っていたら，
その2つの勾配ベクトルは必ず同じ向きになるんですか？
反対向きになることはないんですか？
まず，
「勾配ベクトルが接線に垂直になる」という表現自体があいまいですね．
次に，
∇fと∇gが同じ方向を向くということについては，
来週再度説明します．
あなたも，自分で教科書をもう一度良く読んでみてください．
最後に，反対向きになるということももちろんあります．
講義でも説明したように，反対も含めて「同じ向き」と考えました．
- 境界上の点は内部の点として考えてはいけないのでしょうか．
fx=fy=0となる点が，境界上にしかなかったら，小テストの答え合わせのように，
存在しないと書かなければならないのでしょうか．
駄目です．
境界上の点と内部の点は違います．
ですので，小テストの答え合わせのように，
「fx=fy=0の点は出してはみたが，
それは内点ではない点なので．．．(星野@池口研流)」
というように表現してください．
もちろん，
「境界上の候補点」を探す段階で，
この点は結局候補に挙がることになります．
(境界上に限定した一変数関数の，
微分が 0 になる点として)．
でもそれはあくまで「境界上の候補点」です．
- 14.8の5番のように，式が1つしかない場合，
fとしておくのはf(x,y,z)=x2+y2+z2のようなものだけですか．
講義中に何回も話をしましたが，
式が一つとか二つと考えるのではありません．
講義では f が目的とする関数で，
この f の最大値 or 最小値を求めたいと
統一的に考えることになっています．
ですので，「f(x,y,z)=x2+y2+z2のようなものだけ」ということはないです．
いろいろな f があり得ますので．
- p.1045(2)式をn個の制約条件に拡張したときは，
∇f=Σ^n_{i=1}λ_i∇g_iかつg_i (x,y,z)=0(i=1,2,…,n)
を満たすx,y,z,λiを求めれば
n個の制約条件下におけるf(x,y,z)の極大，
極小値を取りうる点が求められるということですか？
素晴らしい．
その通りです．
- 旧版の方の11.5の23の解が，
何度やっても回答にある通り9/11830にならず，111/11830になるんですが．
いや，単なる計算ミスならよいんですが．
いや良くないか・・・
良くないですね．
で，多分計算ミスであると思われます．
もう一度計算してみてください．
どこか勘違いしているはず．
と答えるのは酷いかなと思って確認をしました．．．
やっぱり君の間違いです．
＃ダメ押しになっちゃったな？
一つの方法としては，少し時間をおいて再度やり直してみる，
というのがあります．
落ち着いてやれば出来るはず．
- 線形化について詳しい説明が欲しいです．
線形化とは何なのか．
線形化した結果得られるのはどんなものか．
教科書の14.6を復習しましたか？
p.1018〜をゆっくりとあきらめずに読んでみましょう．
端的に言うと，線形化とは
「指定された点の近傍で，その関数を線形関数で近似すること」，
線形化で得られるのは，
「指定された点における，グラフの接線(や接平面やその高次元版)」
です．
でも，これを聞いて「わかったつもり」になるだけじゃ不十分ですから，
やはり一度，教科書を復習してください．
友達に説明してみるというのも一つの手です．
実は分かったつもりなのが，
分かっていなかったということがあり得ます．
- 中間は，演習で解いた問題がそのまま出るんですか？
- 中間テストでの問題はEXERCISEの中から出るのか，オリジナルの問題なのか教えて欲しい
これらの質問に対する答えは，第一回で既に説明しています．
- 分母の有理化はするのとしないのとではどちらがよりよいのでしょうか？
した方が良いでしょう．
あまり本質的ではないですが．
- 今日は特にがんばったのでいい感じでした．
これはお褒めいただいたと考えてよろしゅうございますでしょうか．
- 小テストをやった後でいいので，
EXERCISEの解法をHPにUPしてほしいです．
「各問の完全解答」を欲しがる声をときどき聞きますが，
賛成できません．
というか，心配です．
「講義や演習を寝ていても，全解答があれば後で何とかなる」
という(偽りの)安心感を求めているのではないかと．
- 2変数・3変数と，話が行き来して若干混乱しかけたので，
どちらか一方で結論を出してから補足で，もう一方を話してほしい．
しかーし，
「若干混乱しかけた」ということは，混乱しなかったということですね．
それであれば，大丈夫です．
ところで，「しかーし，」の後がありません．
うちの研究室のみんながオチを期待しているので，
次回のコメント用紙でお願いします．
- 結局「速度ベクトル」って何ですか？
13章ベクトル値関数を再度復習！
- 極値をとるx,y,zが1つしかないとき，
最大・最小の判別はどのようにすればよいのか．
講義では，候補を求めて，という話しかしていないので，
対象とする関数fに関する他の情報から求めるようにしてください．
- 解析学の研究によって実現した技術などがあったら教えてください．
例えば，衛星の打ち上げとか，軌道計画とかがその典型例では？
物体が空を飛ぶ，街を飛ぶ，
スーパーシティーが舞い上がる，もその典型例ですね．
- 今日の制約条件下での最大，
最小の求め方の話は非常にわかりやすかったです．
∇fと∇gが平行な理由もすぐに理解できました．
それは良かった．
これで方法を暗記せずに済みますね！
- グラファーを使った説明がとてもわかりやすかったです．
これも良かった．
次回からは怪しげな独占企業などに偏らず，
で行きましょう．
- 先生二人の協力プレイは面白かったです．
どうもありがとうございます．
今後も見事な連携で行きたいと思います．
- 最近は以前より集中できてきた．
式の成り立つ理由を速く覚えたい．
速く覚える必要はありません．
確実に！
- 今日は寝坊で途中から出た．
悔しい．
途中からくると小テスト受けられないし，
授業もわからなくなる．
本当に後悔．
その通りですね．
次回からは遅れないように．
小テスト一回分でも塵が積もればなんとやら，ですので．
- 例題見ながらでないと問題が解けません．
多分，例題をただ見ているだけ，になっていると思います．
例題を見つつ，何故そのような方法をとろうとしているのか，
について考えるようにしてください．
- 今日の内容は，(コミカルな説明のおかげか)よく理解できました．
どうもありがとうございます．
コミカルな説明を目指した訳じゃないですが．
- 今日は話がよく分かった．
Okay！中間試験，大いに期待します．
- 今日の範囲は難しかったです．
おっと，どの辺りが難しかったでしょうか．
どんどん質問してくれて構いません．
単にコメント用紙に書くのだけはやめましょう．
分からないところがあったらすぐに止めてください．
あるいは，演習中に質問してください．
- コメント用紙への返答で「具体的に」と言われることが多いので，
テストに向けて，
伝わりやすい日本語を書く練習すべきなのかと思いました．
その通りです．
具体的に書くこと，
相手に伝えようとすることが大事だと思います．
- 制約条件が2つになったときの方が今一つイメージがわかないです．
了解．
これについては再度説明します．
- 授業後に小テストとかを返されると少し困ります．
「授業後の予定が…」ということですか？
でも授業中に返すと講義・演習の時間が削られてしまうし，
別の時間だと取りにきてくれない人が出るし，どうしましょうか．
せめて短時間で返却が終わるよう，学籍番号順にどんどん取りにくる，
という協力をしてもらうのはどうでしょう．
- 定理12が全くわかりませんでした．
今日の講義中では，全く説明しませんでした．
次回，少し説明しますが，本質は，今日話をした，
富士山の登山で良いと思います．
- 図を見ての授業の方が数学が具体的な科目に思えてきてよかった．
素晴らしいところにきづきましたね．
この調子で行けば大丈夫だね．
- 今日の小テストの二問とも間違いた(間違えた？)．
なく(泣く？）・・・
大丈夫，次回以降をちゃんとやれば，取り返せます．
ここで諦めないこと．
- ラグランジュは計算が多いうえにめんどくさくて嫌いです．
もしラグランジュの方法が無ければ，もっと計算が多くなる上に，
答えも出せず，面倒くさいとおもうことも出来ません．
この方法に感謝して，頑張りましょう．
- 理解できたけど問題解くのが意外と難しかった．
今日の説明は，なぜ∇f=λ∇gとなるのか，ということについての
定性的な説明に終始しました．
なので，計算自体が易しい・難しいということには関係ないので，
是非計算問題を沢山こなしてみてください．
- 手で理解する解析学，よかったです．
ご支援ありがとうございます．
今後もよろしくお願いいたします．
- 最初にフジ山の例でこれから何をやるか
わかりやすく説明してくれたのでイメージができやすくてよかった．
それは良かった．
それではこのネタを来年も使います．
- 今日の内容は結構濃かったので家に帰ってもう一度復習しようと思う．
そうですね．
復習是非やってください．
- あと，小テストのイの問題において，平岡先生が別解で示した方法は
教科書(第11版)のp1002にある陰関数の微分法に同様の表記がありました．
ご指摘ありがとう．
何か気づいたときはまたよろしく．
- 今日はいつもよりよくわかった．
それは良かったです．
この調子で次回以降もお願いします．
- 今日の講義はいつものキレがありませんでした(前半)．
うーん，そうですか．
- 後半の手を使って「制約条件が2つあるときを表そう」
には笑わせてもらいました．
笑っているだけだと，
学期末に泣いていることになりかねません．
なので，実際に手を動かしてみて，学期末に笑うようにしましょう．
- 先週，中間試験の日を調べようと思い講義のウェブページを見たら，
コメント用紙に対する回答がたくさん載っていたので驚いた．
ところで先生は，何人の学生の名前と顔が一致しているのですか？
回答を見てくれたようでどうもありがとうございます．
何人の学生の名前と顔が一致しているか？それは秘密です．
少なくともあなたの名前と顔は一致しています．
あと，いつも座る席もね．
- 授業の中で少しずつでもいいから答案の
書き方など言ってもられたらいいと思う．
これはちょっと困難なんですねー．
数学の講義としては，
模範解答タイプで行く方法もあるというのは知っています．
予備校等ではそのようにやると思いますが．．．
- ペンを持ってはやってみなかったけど平面内にあることはわかりました．
OK，それが分かってくれたのなら良いです．
この次のレベルとしては，そのことを，
理解できない人に説明できますか？
そうすると，さらに理解が深まります．
- 難しいとは思いましたがわからないところは聞いたので大丈夫だと思います．
とても良いですね．
この調子で着実に進めて，
もうそろそろ終わりにしましょう．
- 必要性・十分性については高校時代からよくわかってなかったので難しいです．
このこと自体はとても困ったことですが，
どうしましょうか．
次回質問タイムをもうける予定なので，
そのときにでも聞いてください．
- 前回は法事で出席＆宿題を提出できなかったのが悔やまれます…．
もっと宿題を出して救済措置をとってださい!!(笑)
法事は，公的な理由にはならないと思われます．
忌引き等は別ですが．
ですので，もっと宿題を出すこともないです．
因に，救済措置ということについて誤解があるようですね．
この講義では救済措置は一切ありません．
また，この前の宿題も，
単に中間試験で良い点をとってもらいたいと思ったから，
添削の機会を設けたのであって，
提出しなくても問題ないです，
試験でバッチリな回答を書けたら．
ま，(笑)というぐらいだから，問題なさそうだな(爆
- 成人式1/9(月)にあり，10日(日)も出れそうもないです．
どうしたらいいのでしょうか．
講義を欠席するのは自由です．
その分小テストの点が加算されないだけです．
また，その回に御話しするとても美味しい内容を逃したとしても，自己責任でお願いします．
因に1月10日は2006年新春スペシャルと題してお送りする予定です．
- 累計小テストは何回実施されるのか，
期末テストは何日を予定しているかを知りたいです．
講義サポートページを参考にしてください．
- 昨日，深夜のバイト(セブンイレブン)が入っていたので，きつかった．
でもなんとか起きていられて，講義も理解できた．
バイトがあると大変だとは思いますが，大学生だからといって
バイトが本業ではないので，その点注意しましょう．
- 今日，教科書が入荷したという電話が生協から来て，ようやく応用解析学の教科書を手に入れました．
それは良かったですね．
教科書はかなり遅れて手に入れたようですが，
単位を手に入れるのは遅れないようにしてください．
- TAとのコンビネーションがよかったです．
どうもありがとうございます．
因にTAの二人の間のコンビネーションは最高に◯◯です．
- 計算の仕方だけでなく，意味もよくわかったのでよかった．
それは良かったです．
- 講義はわかりやすくてよかったです．
図形的に色と考えるとわかりやすい．
その通りですね．
図形的というのは幾何学的だとおもいますが，
どのようなことが起きているのかを考えるのはとてもよいことです．
- 講義と演習の時間を交互に入れてほしい
今日は，ラグランジュの未定乗数法を一気に説明したかったので，
一こま続けました．
仮に交互入れるとしてしまったら，前半は解く問題が無かったと思います．
これからも，今日のように，適宜構成を変更することはあり得ます．
- 講義の時間が長かったが，一まとめにしてくれたおかげで，前後の関係がわかりやすかった．
そうですか．
そういってもらえるとこちらも嬉しいです．
この調子で行きましょう．
- 適当に書いた答えがたまたま
前後の問題とかぶってしまったという可能性も考慮してみませんか？
みんなには「前後とかぶった」とだけ説明しましたが，
ほんとはもっと露骨です。
「ありえん」と断言できるような答案でした。
- 今日は何ヶ月かぶりに布団で寝た．
おかげで起きるのが非常につらかった．
このつらさは半端ではないので，
多少健康に悪くともやはり床で寝た方がいいかもしれない．
不便な方が便利であるとは矛盾しているが，
世の中矛盾こそが真実であるということなのかもしれない．
というわけで世の中の矛盾に何か一言あればどうぞ．
卒論着手したにも関わらず一年生の講義を未習得ということが
起き得るように，世の中はそもそも矛盾だらけなのです．
『一度書いても三角というが如し』