\documentclass[12pt]{jarticle}
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\usepackage{graphicx}

\thispagestyle{empty}
\begin{document}
\large

\begin{center}
 \Large\textbf{\LaTeX で数式を書く}
 \footnote{森口，宇田川，一松著，
 岩波 数学公式，岩波書店より．}
\end{center}

\section{Taylor 展開}

\subsection{Taylorの定理}

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で $n$ 回連続微分可能ならば，
$a\leq x \leq b$ において
\begin{eqnarray}
 f(x) & = &\sum_{r=0}^{n-1}
  \frac{f^{(r)}(a)}{r!} (x-a)^{r}+R_n \nonumber\\
  & = & f(a) + f^{\prime}(a)(x-a)
   +\frac{f^{\prime\prime}}{2!}(x-a)^{2} \nonumber\\
%   +\frac{f^{\prime\prime\prime}}{3!}(x-a)^{3}
  & = & +\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+R_n \nonumber
\end{eqnarray}
ここに，$R_n$ は剰余項とよばれ，つぎのように表示される．

\begin{eqnarray}
 R_n & = & 
  \frac{1}{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)dt \nonumber\\
  & = & 
   \frac{(x-a)-{p}}{(n-1)!p}(x-\xi)^{n-p}f^{(n)}(\xi) \nonumber\\
  & = & 
   \frac{(x-a)-{p}}{(n-1)!p}(1-\theta)^{n-p}
   f^{(n)}(a+\theta(x-a)) \nonumber
\end{eqnarray}
ただし，
$n\geq p>0$，
$0<\theta<1$，
$a<\xi<x$，
$\xi=a+\theta (x-a)$．

ここで $p=n,1$ ととれば，つぎの形にも表わされる．
\begin{eqnarray}
 R_n 
  &=& \frac{1}{n!}(x-a)^{n}f^{(n)}(\xi) \nonumber\\
 &=& \frac{1}{(n-1)!}(x-a)(x-\xi)^{n-1}f^{(n)}(\xi)\nonumber
\end{eqnarray}

\subsection{2変数函数の Taylor 展開}

2 実変数 $x,y$ の函数 $f(x,y)$ が
点 $(x_0,y_0)$ の近傍で $N$ 回微分可能ならば，
\begin{eqnarray}
 f(x_0+h,y_0+h) 
  &=& 
  \sum_{r=0}^{N-1} 
  \frac{1}{r!}\left(
	       h\frac{\partial}{\partial x}+
	       k\frac{\partial}{\partial y}
	      \right)^{r}
  f(x_0,y_0)+R_{N} \nonumber\\
 &=&
  \sum_{0\le m+n\le N-1\atop m,n\ge0}
  \frac{h^{m} k^{n}}{m!n!}
  \frac{\partial^{m+n}f(x_0,y_0)}{\partial x^{m}\partial y^{n}}
  +R_N \nonumber
\end{eqnarray}

\[
 R_N=\frac{1}{N!}
 \left(
 h\frac{\partial}{\partial x}+
 k\frac{\partial}{\partial x}
 \right)^{N}
 f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)
\]
ここに，
$
\displaystyle
\left(
 h\frac{\partial}{\partial x}+
 k\frac{\partial}{\partial x}
\right)^{N}f
$
は，
$(h\xi+k\eta)^{N}$
を展開して，
その $\xi^{m}\eta^{n}$ 項を
$\displaystyle
\frac{\partial^{m+n}f}{\partial x^{m}\partial y^{n}}
$
でおきかえたものである．
具体的には，
図 \ref{fig:Taylor}を参照のこと．

\begin{figure}[htb]
 \begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{Figures/TaylorCosine.eps}
 \end{center}
 \caption{のテーラ展開の意味．}
 \label{fig:Taylor}
\end{figure}

\section{特別な不定積分}

しばしば現われる初等函数の不定積分で，
助変数の値によって形のかわるものをつぎのようにおく．
右端はその記号の現われる表の番号である．

\[
 \begin{array}{rcl}
  I_{H} &=& 
  \displaystyle
   \int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x+c} 
   \hfill 
   \left\{
   \begin{array}{l}
    \mbox{第27表}\\
    \mbox{第30表}
   \end{array}
   \right.
   \\
  &=&
   \left\{
   \begin{array}{l}
    \displaystyle
     \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}
     \log
     \left|
      \frac
      {\tan(x/2)+(a-\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}})/(c-b)}
      {\tan(x/2)+(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}})/(c-b)}
     \right|
     \\
    \hfill [a^{2}+b^{2}>c^{2}, b\neq c]\\
    \displaystyle
    \frac{2}{\sqrt{c^2-a^2-b^2}}
     \arctan
     \frac
     {a-(b-c)\tan(x/2)}
     {\sqrt{c^{2}-a^{2}-b^{2}}}
    \hfill [a^{2}+b^{2}<c^{2}]
    \\
    \displaystyle
    \frac
    {-2}
    {a-(b-c)\tan(x/2)}
    \hfill [a^{2}+b^{2}=c^{2},b\neq c]
    \\
    \displaystyle
    \frac{1}{a}
    \log
    \left|
     b+a\tan \frac{x}{2}
    \right|
    \hfill [b=c,a\neq 0]
    \\
    \displaystyle
    \frac{1}{b}
    \tan\frac{x}{2}
    \hfill [b=c,a=0].
   \end{array}
   \right.
   \\
 \end{array}
\]


\end{document}