ハエの固体数(個体数?)のとき、
モデルの改良した形がR_{t}-bR^{2}_{t}だったと思いますが、
結局ハエの個体数はカオスなのでしょうか？
そのことについては，この講義ではこれ以上考えないというように，
先週の講義でも何回も説明しましたが…
毎回ちゃんとノートを取っていますか？
例えば，ハエの数はN_{t}にしましたが，
君のコメント用紙ではR_{t}となっています．
ところで、ハエの個体数の話はどこへ行ったのですか？
どこにも行っていない，ということは今回の講義でもお話ししました．
話を聞いていないですかね．
今日でてきたR=4の非周期のロジスティック写像は
二度と同じ値を取らない乱数として、
プログラムなんかに応用できると思いました。
非常に良い考えだと思います． この講義でもそのあたりに触れる予定です．
局所安定性の"局所"とは、 どのくらい固定点に近ければ局所といえるんですか。
とても良い質問ですね．
今日は大域的安定性との関連でそれを説明しましたが，
次週も説明します．
でも，どうせなら講義中に手を上げて質問してくれたらいいのに…
パズルをやっているようにきれいにあてはまるのを見ると、
数式が少しおもしろく感じました。
サザエなどのまき貝も同じようになっているのだろうか。
とても良いコメントですね． 数式が面白く感じるということだけでなく、 後半の方もとても良い．
ロジスティック写像においてRがどのような値をとるとき、
固定点、周期解、非周期解をとるのかを詳しく知りたかった。
をー、これまた素晴らしいコメント．
次回以降，分岐との関係でお話をします．
固定点の安定性を図式解法を用いて議論する時は、
もう少し簡単にする方法はないのでしょうか。
(わざわざmの値を4通りに分けてやらなくても、
ある程度やったら断定できないのですか。)
図式解法自体そのものが厳密ではないので，
間違いを犯さないのであれば良いと思います．
線形な差分方程式は固定点の数は必ずしも一つになると考えていいのですか？
「必ずしも一つになる」という表現が意味不明ですが，
「必ず一つになる」ということでしたら YESです．
R4以外ではすべて周期解になるのか気になった。
R=4だと思いますが，そんなことはありません．
が、とても良い質問だと思います．
次回以降に具体的にお答えできるでしょう．
図の型はたいして変わらないのに
ほんのわずかな違いで周期解か固定解か変化するのは不思ぎだと思った。
確かに不思議ですね．
でもちゃんとカラクリがあるのです．
そのカラクリについても勿論説明しますが，
とても良いところに気づいていると思います．
ただ，もう大学3年生なので，不思議ぐらい漢字で書きましょうね．
R=3.3やR=3.52のときみたいなのは離れているわけでも
一点に収束しているわけでもないんですよね？
あれは安定なんでしょうか？ 不安定なんでしょうか？
ノイズなどが原因で，
ある状態から(例えば，固定点や周期解)から，
離れた場合に，
元の状態に戻るのが安定，そうでないのが不安定，
と考えてくれてよいでしょう．
R=3.3,R=3.52,R=4のとき
それぞれニ周期、四周期、非周期になりますが、
Rがそれ以外の値のときにもそのようになる場合はあるんですか？
はい，あります．
安定性は、「安定」または「不安定」と分けるだけで、 「やや安定」のように安定さの度合いはないのでしょうか。
「やや」というのが良い表現かどうかは別にして，
安定さの度合いというものを計ることは出来ます．
本当か嘘かは分かりませんが、昔「カオスを研究する事により、 未来の事象が予測できる」というのを聞いた事があります。
そもそも「未来の事象が予測できる」ということ自体が
怪しい表現なのですが，
「カオスを研究することにより」というよりも，
非線形性を考慮することにより，
予測の精度が向上する場合がある，
というのは正しいでしょうね．
x_{t+1}=x_{t} (<= x_{t+1}=Rx_{t}のR=1の場合) の 差分方程式は全ての点が固定点になりますか？
それで良いと思います．
ロジスティック写像において、R>4のときは全て非周期解なのでしょうか？
全ての周期解が不安定である， という方が正しいかと思います．
x_{t+1}=Rx_{t}(1-x_{t})がカオスとなるには、R=4以外には無いのでしょ
うか？
もしあるとすれば、それらを見つける方法はあるのでしょうか？
また、x_{t+1}=f(x_{t})がカオスとなるようなもの(Rのような係数)を
見付ける一般的な方法はあるのでしょうか？
三つの質問がありますが，どれもとても良い質問ですね．
ロジスティック写像がカオスとなるのは，必ずしもR=4には限りません．
ロジスティック写像がカオスとなるパラメータRを見つける方法はあります．
また，x_{t+1}=f(x_{t})がカオス応答を示していることを「見つける」
指標はあります．リアプノフ指数と呼ばれています．
R=4のときの非線形の振る舞いが周期的でない事は
どうやって証明できるんですか？
とても良い質問です．これについては，次回以降に触れます．
ロジスティック写像は以外(意外?)と解法がわかった。
以外->意外として， 「解法がわか」るという意味が分かりません…
図式解法の逆順でたどり、適当なところでx_{t}軸まで補助線を延ばし、
x軸との交点を初期値とすれば、非周期にはならないと思います。
その通りです．ですが，このような初期値というのは，
非常に発生しにくいこと，確率0で起きることがわかります．
図式解法を繰り返す回数を変える事により、
非周期とはならない初期値が無数に作れると思うのですが、
このような考え方は間違っていますか？
間違っていません．その通りですが， 大事なのは，このような初期値の数がどの程度無数か， ということになりますね．
今まで、
カオスというのは何の法則も当てはまらないものだと思っていたけれど、
今日の講義で、
非線形な差分方程式で、
わりとあっさり表すことが出来ることには驚いた。
とても良いことに気づきましたね．
カオスというのは，何の法則もあてはまらないということはなく，
むしろ逆ですね．
ちゃんとした数学の理論が背景にありますので．
「あっさり」というのが簡単なということだとすると，
その通りであると思います．
今まではカオスとか聞くだけで拒否反応が出ていたけれど
もう少し、詳しく知りたいと思うようになった。
素晴らしい．どこかの大学教員よりもよっぽど柔軟性がありますね．
Rの値の違いによりなせこんなにも
非線形の差分方程式に振る舞いが違うのですか？
カラクリはちゃんと存在しますし， それについても次回以降説明します．
不規則な現象を数式できちんと表せるのが面白いと感じました。
パラメータになるものがうまく設定できれば、
お店で何が売れるなどの予想に使えるのかと思いました。
そうですね．とても面白いというのは確かにその通りだと思います．
次回以降になりますが，
確率論との関連も紹介したいと思います．
ところで，
学術的な場合には，あまり「予想」という単語は用いません．
「予測」という用語を用います．例えば，競馬なんかは予想ですよね．
ただ，考えている内容はとても鋭いと思います．
もう十分卒論に着手できるんではないかしら．
まだ"局所的"安定と"大域的"安定の違いがよくわかりませんでした。
了解．次回，ロジスティック写像を使って， 再度説明します．
カオスは確かに面白そうだなと思いました。
値の範囲が決まっているのに、絶対同じ値が出ないというのは信じがたいです。
そうですね．確かに面白いです．
絶対同じ値は二度と取らないのです．
蒸し暑い中、おつかれさまでした。
今日は確かに蒸し暑く，講義中テンションがあがりませんでした．
すみません．
なのですが，これは皆さんのせいでもあるんですよ〜
とても良いコメントが沢山出ますが，
今年のクラスは結構大人しいですね．
x_{t+1}=Rx_{t}(1-x_{t})で、R=4のとき、
x_{0}を0.5の値に取ると、0に収束する事になるんですか？
そうですね．そうなります．
R=2.9の原点も固定点に含まれますか？
はい，含まれます．
カオスは面白そうですが、少し難しいそうな気がしました。
何に対してもですが，
そういうネガティブなことを言わないように．
やってみる前から難しそうなんて思っているようでは，
何事も達成できません．
今回安全性について多くやりましたが、...
今回は「安定性」についてやりました．
周期解の数とRの値の関係には、規則性とかはないんでしょうか？
あと、周期解の最高周期はどのくらいなんですか？
を―，とても良い質問ですね．
規則性はあります．勿論講義でも紹介します．
また，周期解の周期の最大値はいくつか，という質問だと思いますが，
∞というのが答ですね．
現実世界の場合、わずかなずれもない事などあり得ないので、
不安定な固定点で安定するということはないのだと思いました。
不安定な固定点はあくまで不安定なので，
「不安定な固定点で安定する」という表現の真意が今イチ伝わりませんが，
もし僕が考えていることだとすると，
それはまさに僕が講義中に説明したことですね．
ぜひ、応用解析学の授業のような、
今後どのように利用されていくのかの具体的な話を聞きたいですね。
もちろん，具体的な話はするようにします．
ちなみに，応用解析学でも，昨年度のように，
数学が現実社会でどのように使われているか，
特に，うちの学科の学生の皆さんが大好きなゲーマー
(ん、違う？ゲームのプログラマー？) になるためには，
どうして数学を勉強しなくちゃいけないのかなどを説明します．
今年も楽しみに履修してください〜〜．
ロジスティック写像の非周期解は十分に長い時間が経てば
0に落ち着かないのか疑問。
このように不思議に思うことはとても素晴らしい．
十分に長い時間たっても，非周期解であれば，
0に(以外のある値にもです)落ち着きません．
局所安定性の場合分け、4通りとありますが、
m>1,m=1,m=0,m=-1,|m|<1の5通りのような気がするんですか...。
ピッタリ1を入れても良いか，という質問だと思いますが，
もちろん問題ないです．いずれにしても，
次週説明します．
固定点が一体何を表しているのかがいまいちよくわかりませんでした。
講義中には何回も説明しましたが，
差分方程式を適用しているにも関わらず，
状態が固定されたままとなる値のことです．
その他にも色々と言い換えることができますが，次回再度説明します．
次回からは，手を挙げて止めてくれて構いませんよ．
今日はニ周期や四周期をやりましたが
この周期はどのくらいの周期まである事がわかっているのですか？
例えば、100周期とか200周期とかそういう数の大きい周期もあるのですか？
∞まであります．
100や200ももちろんあります．
今日のH貫の状態をlogstic mapで表現すると…
y_{t+1}=4y_{t}(1-y_{t})のように覚醒してたり気を失ったりしていまし
た。
非決定論的なのでchaosではないようです。
よく意味がわからんけど，特技の一つが目を開けたまま寝ることである，
ということは分かりました．
ただ大事なコメントにもなっていますね．
与えられた式はまさにロジスティック写像の式ですが，
実をいうとロジスティック写像を用いて，
サイコロ投げのような非決定論的な現象を再現することができます．
(もちろん講義でも触れますが)
つまり非決定論的でchaosではないと思っている現象も，
もしかすると決定論的カオスかもしれない，ということですね．
なので，H貫君の意識レベルの時間変化も，
決定論的カオスかもしれません．
長いお付き合いになりそう…