先週休講だったのは残念でした. 火曜日はこの授業しか履修登録していないので, 事前に, 休講であることを伝えてほしかったです.

先週は休講ではなくて，演習をやりました．
それよりも，火曜日に僕の授業しか登録していないというのは，
大丈夫？

今までの講義ではカオスの面白さが紙面上の数字でしかわからなかったが, 今回二重振り子を使って身の回りのものとしてカオスを感じることはとても興味深かったし, 面白いと感じました.

面白いと感じてくれたのであれば， とても良かったのです． 今後も楽しんでください．

今まで高校物理とかで簡単な現像しかあつかってこなかったのは計算が複雑になってしまうからだと思っていましたが, 複雑な現像は非線形になってとけなくなってしまうからなのでしょうか.

まぁ，ほぼそういうことで良いかと思います． もちろん，全ての非線形が解けない訳ではないですが．

参考資料紹介の表紙の絵はマンデルブロ集合ですか? マンデルブロ集合はカオスと関係があるのですか?

その通りです．良く知ってますね． マンデルブロ集合はフラクタルなので，関係ありますね．

今日の講義を聴いて, カオスが相対性理論などと肩を並べる程大事な事だと知ってビックリしました.

そうですね．今日の講義でも言いましたが， そうじゃない，という人もいるので，一応注意してください．
いずれにしても，カオス現象は，普段の生活で体験できるということは 重要であると思います．

今日の講義を受けて, いろいろな身の回りの出来事がカオスにあたることを認識した.

そうですね． 我々の身の回りには，複雑な非線形現象(多分カオス的な)が 多く存在すると思います．

暗がりの中, スクリーンの光の中で単振り子の説明を続ける先生, そして反応のうすい学生, 次々に出てくる振り子たち..., まるで宗教団体ようで面白かったです. 上はじょうだんですが…

ウーム，実をいうとその通りです．
というのは冗談ですが，多分，思っていることとはむしろ逆で， 皆さんを線形世界の呪縛から解き放とうと思っています．

人物の顔と名前は一致しませんでしたが, 功績と名前が一致すれば大丈夫ですね?

もちろんOK．

ポアンカレ予想(Poincare Conjucture)が中国の数学者によって証明されたというニュースを昨日見ました.

おお，そうですか．僕はこのニュースはしらなかった． 詳しく教えてください．

分岐の種類はトランスクリティカル分岐以外にもあるんですか?

はい，もちろんあります．この講義でもいくつか紹介します．

今日改めて思った事はこの講義は, 他の理系科目と比べてとても哲学的な事を含んでいるということ．だからカオス(chaos)が面白い.

どの科目にしても(理系に限らず)， 「哲学」的要素は十分に含んでいるはずですが． そもそも知を愛するわけですから．

分岐図の読み方, 書き方は結構理解できた. だからカオスは面白い!!

OK!次回からは，「結構」じゃなくて完璧を！

パチンコの玉の動き方もそこそこカオスな気がしますがどれぐらい予そく可能ならカオスなのですか?

そうですね．それは言えると思いますが， どれくらい「予測不可能」であればということかと思いますが，
カオスを定量化するリアプノフ指数が正という定義はありかと思います．

本日は, カオスをみじかなものだなぁと体験できました. そして, カオスもすばらしい科学者たちの手によって発見された. 私もカオスについて知りたいと思います.

確かに身近なものなので，これから先，いろいろな場面で出会うことに なるでしょう．

昔, 映画「ジュラシックパーク」か何かだと思ったんですが, その中でカオスの話をしてました. 手に水をたらすと一回目と二回目でほぼ同じ場所に水をたらしも流れつく先が違ってくる. それは少しの誤差が多きくなってやがてまったく違う結果になる. みたいなことを言っていたのが記憶にあります.

その通り，ジュラシックパークです．

「カオス」って「混沌」って意味がありますが, 「混沌」と非線形って何か関係があるのでしょうか?

一つの考え方として，「混沌」を生み出す法則の本質が「非線形」であった， ということを講義では繰り返して説明しました．

2重ふりこを実際に見せてもらいましたが, 出きる事なら3重とか4重振り子等を見てみたいです. その場合2重ふりこのような動きが3重・4重になるだけなのでしょうか? それともまた2重ふりことは違った動きをするのでしょうか? やっぱり動きに一応ルールはあるから2重ふりこの動きの延長なんですかね?　気になります.

出来ることなら，自分で3重振り子，4重振り子を作ってみてください．
動きはどうでしょう．僕も実際見たことが無いので，分からないです．
気になるときは，コンピュータでシミュレーションしてみると良いですね．
皆さんは情報システム工学科なので，コンピュータ大好きだし，
コンピュータが得意ですよね．

カオスマンが非常にかわいかったです. 安かったら欲しいなと思いました. 東急ハンズあたりで売ってるんでしょうか.

今は輸入されていないようです．

カオスマンはいくらですか? 欲しいです.

今は輸入されていないようです．

分岐図でRを大きくしていくと, 点が多くなっていくのですが, その中で点が密集して線のように見える所があるのですが, それには何か意味があるのでしょうか.

確かに「点が密集して線のように見え」ますね． 何だと思いますか？

R=1やR=3など, 分岐が変化するところでは値を求める(?)ことってできるんですか? 意味わかんないですよね. すいません.

いや，とても良い質問ですね．
次回の講義で説明強います．

ロジスティック写像の分岐図で, R=3あたりに点がプロットされてない部分がありますよね? これだとその部分にうまくRを説定(設定？)すると4周期解とかになりそうなんですが...

いえ，それは無いです．

一見するとカオスの様な現象も, 十分長い時間をかけて観測すると繰り返し同じ現象が起こることになる気がします.

それはあり得ます．「一見するとカオスの様な現象」であって，
本当のカオスじゃなかったということなので．

分岐図を書くときは, 安定している2~4周期解ぐらいまでは図示できると思うのですが, それから先になるとやはりコンピュータ等を使わないと難しいのですか?

これは，コンピュータの精度に依存すると思います．

R=3.8くらいのところに大きな空白があり, 4周期解のように見えますが, そこでも解の値が近いものが無限にあるだけでカオスになっているんでしょうか？

おー，良いところに気づきましたねー．
このような大きな空白は，「窓」と呼ばれています．
これについては，来週説明します．

2,4,8,16-周期解が現れて, さらに大きくしていくとカオスになると言っていたが, カオスだと決められるのはどうしてなのか? もしかしたら, 非常に大きな周期を持っているかもしれない可能性がないのか?

実際の現象であれば，その可能性はありますね．
その意味では，今日の説明は少し曖昧でした．
カオスであるということを示すには，別の方法が必要です．

例えば, n=10^{100}のような現実的には考える必要がないくらいnが大きいだけの周期解とカオスを区別できるのですか?

これも良い質問ですね．
これについても次回答えたいと思います．

カオスが実社会で何に使われているのかを教えてほしいです.

家電製品などではいくつか具体例があるようですね．
でも，本格的な応用事例は，これからだと思います．
だから面白いのです．
どのような理論であっても，今，応用が花開いているのであれば，
皆さんがその理論と関わりを持つときは，既に…でしょう．
それよりも，これから花が咲くような分野に目をつけないとね．