線形な方程式では N_{0}=0 の時は
Nt=R^{N}N_{0}=R^{t}・0=0となってしまいます。
この解には何か意味があるんですか？
それともN_{0}\neq0を前提としているのですか？
N_{0}=0というのは，そもそも
ハエが全くいないということですので，
何も起きないということになります．
力学系の考え方から言うと 0 は固定点ということになりますが、
これについては次回以降で説明します．
最後のロジスティック写像のとこに出てきたR/4って何でしょうか？
講義中に説明しましたが，放物線の頂点です．
2,3乗の変数が混じると、非線形な方程式になるってことですよね？
その通りですが，非線形な方程式が2,3乗の変数だけではないことに注意．
モデル化できない非線形なものをどうやって扱っていくのか
だんだん興味がわいてきた。
見当もつかないので早く学びたい。
解脱されてきました。
まだまだですね．
N_{t+1}=RN_{t}-bN^{2}_{t}を
x_{t+1}=Rx_{t}(1-x_{t})に置き換えたものは，
まったく同じモデルと見ていいのか分からない。
「同じ」ということを何をもって同じと定義するのか分からないので，
一概には何とも言えませんが，
今日の講義で説明したコンテクストでは同じです．
ある挙動のモデル化したときに、
それが唯一の解とは言い切れないという話を先生は
講義中にしていたと思うのですが、
それは人間の能力では完全な解を求める事が無理で、
準最適解のようなモデルしか見つけられないということなのですか？
モデルはあくまでモデルであり，
それが真実であるかどうかは分かりませんので，
君の言っているとおりで良いと思います．
よく理解していますね．さすが！
x_{t}=bN_{t}/Rにする意味がよくわかりませんでした。
非線形にすることでどのくらい正確なモデルがつくれるのですか？
講義中に言いました．また，配布資料でも示していますが，
変数変換するとパラメータ数が減って分かりやすくなるからです．
また，どれくらい正確かということについて，
どのような基準をまずは定めないと行けないので，
一概には言えません．
これも講義中に言いましたが…
そして，この講義では，
この話題にはとりあえず触れないと言ったことも，
聞いてくれていますよね．
モデルの改良について、改良の仕方はいくつか考えられるみたいですけど、 今日の講義では検証についてはやらなかったですが、 仮に検証も行った場合、モデルは最善のできている形があるのですか？
「最善のできている形」というのが分かりませんが，
講義中にも言ったように，
基準を決めれば，その基準の元に最も良いかどうかは議論できます．
今イチまだ本質がつかめていない本講義の第二回目だが....(中略)
もう少し表現を考えた方が良いかもしれません．
そうしないと今イチなコメントと評価されることが多くなってしまうと
思います…
b{N_{t}}^{2}はどっからでてきたのかの説明もお願いします。
説明は講義中にしました．
寝ていたらか聞き漏らしたのだと思います．
非線形な差分方程式はN_{t+1}=RN_{t}-b{N_{t}}^{2}だけではないのですよね？
その通りです．
モデルが関係に合わないときは、
更にモデルを改良するという考えは
全ての事に通じるものであると感じました。
しかし、だからこそ、
どのようにすれば答えに近づくという難しさも感じました。
その通りです．素晴らしい．
モデル化して改良をして考えていくというのが、
とても工学的な手法だなということです。
数学の授業のように考えていたんですが、
とっても工学っぽい話ですね。
これから数学っぽくなるんでしょうか？
僕は工学部の教員なのでね．工学だと思います (^^;
でも重要なのは，数学もちゃんと用いますよ，ということです．
そしてもっと重要なのは…，
それは，これから徐々に説明することにしましょう．お楽しみに！
言葉の響きだと２次元の式も線形のような気がしますけど、
２次元だけなのですね。
まず，「言葉の響き」というような言い方は止めましょう．
次に，講義中に一番前で寝るのは止めましょう．
で，質問ですが，何が「２次元だけなの」か分からないです．
もしかして，線形なシステムは，ということでしょうか．
だとしたら，全く違います．
なぜ項をひとつ(b{N_{t}}^{2})加えただけなどで複雑な動きになるのでしょうか？
をー，なかなか良い質問ですね．
少しずつ説明して行くことにします．
次回から楽しみにして下さい．
自分は新しいモデルとして、
Rの部分に大きくて時間的な周期があるのでは？
と思ってN_{t+1}=R{R+(tにとって増えたり減ったり)}N_{t}
というのを考えていました。
そういうモデルもあると思いますし， とても面白いと思います．
自分は波動といいますか、 波の足し算のような考えが応用できるのではと思っていました。
これは重ね合わせの原理が成立するということなので，
まさに線形なモデリングですね．
複雑な挙動が様々な正弦波の重ね合わせで現されると考えるものです．
基本的な考え方ではありますが，
これだけでは世の中を語れないでしょう，
というのがこの講義で伝えたいことです．
広い目で見れば、 逆に現実の現象は全て周期的になっている可能性があるのでは？と思いました。
これはアリも知れませんね． というのも，我々は有限の時間でした観測できないからです．
授業の後半は少しペースが速く感じました。
穴埋めをしていると、説明が聞けず、
説明を聞いていると次のスライドにいってしまうので、
もう少しゆっくりだといいと思いました。
ペースが速く感じたというのであれば，申し訳なかったですが，
穴埋めでついて来れないとなると，困りましたね．
板書を全部書くのは説明が聞けないから大変であろうということで，
穴埋めにしています．
また，何回も繰り返し同じところを説明するようにしています．
今の世には非線形なものがたくさんありますよね。
人口の増減とかもそうなんですよね？
そういうもののモデル化も人によって違うのですか？
それとも、長い間研究されてきた事によって
「今のところこれが一番良いモデルだ！」
というモデルがあるのですか？
勿論、モデルはモデルを作る人の数だけあると言えます．
また，色々な現象に対するモデルの提案がありますが，
これが一番良いモデル，という話も勿論あります．
例えば，ヤリイカの巨大軸索の応答をモデル化した，
ホジキン・ハクスレイ方程式です．
ホジキンとハクスレイは，これにより，
ノーベル医学賞を受賞していますが，
もちろん，このモデルもどんな場合にも良いという訳ではありません．
この講義でもチャンスがあれば紹介したいと思います．
線形なモデルが当てはまるようなものはあるんでしょうか？
あるとは思います．
未だに「線形」の意味が理解できていないのですが，
例えばN_{t+1}=RN_{t}+10とかはグラフが直線なので「線形」なのでしょうか？
厳密な意味での線形はN_{t+1}=RN_{t}だけです．
スライドとホワイトボードの使い分けが見事でした。
どうもありがとうございます．
モデル化の際に、
100人いれば100通りのモデルが出来るかもしれないような事を
おっしゃっていましたが、
ある程度条件を満たしていれば、
モデル化は、
モデル化を行う本人の主観で行ってもかまわないのでしょうか？
それとも、やはり本人の主観が入ると、
客観的なものにはならないのでダメなのでしょうか？
とても良い質問だと思います．
モデル化はモデラ−の主観に依存していて良いと思います．
そもそも何故モデルを作るかというと，
ある現象を調べたいからモデルを作る訳で，
その現象に対する仮説，考え方は，千差万別であってよいからです．
ですが作成したモデルが，もし現実の事象と合っていなければ，
それは本当に単なる主観的なモデルであって意味が無いでしょう．
その場合，変更・修正しなくては行けないと思います．
最後の方にやってロジスティック写像から
どのような複雑なグラフが描けるかとても楽しみです。
楽しみと言わないで，自分でやってみよう．
次回の講義では当てたいと思います．
普通に考えて、
世の中の非線形の方が多いのに
大学でやたら線形がはやるのは何故なんでしょう？
いや、愚問でした。
いや，愚問じゃないですよ．とても良い質問．
線形が「はやる」というのはおかしな表現ですが…
例えば、線形代数をやる理由は，
非線形な問題を考えるために必要だからです．
また，時と場合によっては，非線形な問題を線形化して考えることが
重要となる場合もあります．このような場合は，
線形な手法が生きてくることになります．
この講義を聞いていると、
線形なものなどこの世に存在するのかという気になってきます。
例えば、人の感情なんかも、
非線形でモデル化なんかもできるのでしょうか？
とても良いコメントですね．
人の感情がどのようにモデル化されるかということは別にして，
完全に線形なものなど確かに存在しないと思います．
演習3の(d)は結局線形の範囲で考えると、 「用いるべきfは見つからない」のでよいのでしょうか？
良いと思います．
答えが一つしかない数学は難しそうだと思った。
うーん，ちょっと意味が分からない．
人間の手の動きをモデル化するという話がでましたが、
ロボットの動きは人間の手の動きのモデル化によって動かしているんですか？
詳しくは知りませんが，結局どのように腕を動かすかというのは，
脳を知ることにもなります．
そういう意味では，そのようなアプローチをとっている研究者も
多数いると思います．
ハエのデータは1981年の急激な変化と1988年の減少の低下がなければ
N_{t+1}=60+(-1)^{Nt}10って式で表せられませんか？
なければ，ですね．でも実際にはありますので．
自分としては完璧なモデル化はできないと思う。
不確定な要素を計算にいれられるなら別なのですが....。
それにしてもコメントは何を書いたらいいのか、なかなか悩みます。
素晴らしいですね．
不確定な要素ということを考えるあたりがとても素晴らしい．
とても良いコメントを書いています．
すいません先週は出席をしなかった人間の一人です。
謝らなくても良いです．前回の出席点が単純に0点になるだけです．
設定したモデルが正しいかどうかを検証するためには、 統計の知識も必要になるのではないのでしょうか？
その通りですね．
1年か2年後、池口研に研究室配族？(配属ですね)される人をモデル化。
1.非線形システム概論を受けているはず。
2.今年は男だけ...。
→
世の中、線形システムだけでは説明できないので
非線形システムを受けていない女子が来る可能性が有る....。
漢字を間違っているし，論理展開が怪しいので，
とても不安です．