前に出て解答するのは緊張しました. でもおかげでよく理解できたと思います.
堂々とした答えっぷりだったと思います．いずれにしても，理解できたのはとても良かった！
Rの値によって固定点に対して安定なのか不安定なのかが変わるのが面白かった.
そうですね．面白いですね．これについては，再度，そして，もっと詳しく話をします．
人前で説明するのは苦手なのでなんとか克服できればいいと思った.
うまく話していましたよ．自信を持ってください．
今回の授業でようやく違いが起こる原因がわかりました!! 着目すべきは固定点の接線の傾きだった事がわかってやっとすっきりしました. 全くそれに気づかなかったのは少しくやしいです...
わかったのはすばらしい．そして，すっきりしたのもすばらしい．
一番すばらしいのは，悔しいと思っていることですね．
僕は, m=0, m=1 のときについても考えていたので最初の4通りについては少し疑問を持ったが, 講義を聞き進めていくなかで納得した.
ここについては，最終的に納得してくれたらそれで良いです．
自分で考えることが大事です．いずれにしても来週再度話します．
1年生で学んだことは, カオスを学ぶためのフリであったということを知りました.
フリじゃないですが，関係してきますね．
皆反応薄いですけど, ちゃんと話を聞いてると思いますよ.
そうですかね〜．心配ですね〜．
講義資料ってネット上にアップされているのでしょうか...?
アップされていますが，配布しているものと全く同じです．
今日ニュースで「最近の子供は'ひとつ'を'一つ'ではなく'人つ'と書いてしまう」と言っていました. そんな事もわからんのかと思っていましたが, 絶対値計算にとまどう自分がいました. ヤバイ!!
確かにニュースに鳴っていましたね．
僕も心配になって，うちの子供に書かせてみましたが，大丈夫でした．
先週の講義に出ていなかったので, 今回の内容に追いつくまではまさにカオスでした. 次回カオスの内容に入ったときに本当のカオスにならないようにがんばってカオスの勉強ができたらいいなと思います.
今日は全くカオスの話はしていません．
やはり毎回でていないと、コメント用紙も外してしまいますね．
先週, いまいち理解しきれていなかった固定点のことが理解できた. ただ, 最後のRの説明のところが良く分からなかったので, もう一回説明して欲しいです.
了解しました．もう一度やりましょう．
Rを使って場合分けする辺りで混乱してよく分からなくなってしまった.
落ち着いて考えてみてください．
計算が出てきてだんだんと難しくなっていきそうな気がします.
そんなことはないでしょう？計算自体は中学生でも分かる内容です．
固定点の安定性について, 線形は理解できたが非線形な場合は複雑で理解しきれなかった.
どこが複雑でしたか？もっと具体的に書いてみましょう．
微分などの計算は短めにして, 講議の時間を長くしてほしい.
了解しました. が,「義」の字が間違っています.
これからは出席しないと, その度に自分で理解するのは大変なので, きちんと出席します.
もう三年生なんですから，アホみたいにさぼってもしょうがないでしょう？
線形と非線形がすこしつながってすごいと思いました. 解析や線形の勉強の大切さが少し実感できました.
その通りです．理解してもらったようで良かったです．
非線形な差分方程式の固定点, それの局所安定性をわかりやすい授業のおかげで理解してきました. Rの値によって解の振る舞いが変化するのが興味深かったです.
「理解してき」たということは，まだ完璧じゃないですか？
Rのことを分岐パラメータと言いますが，再度詳しい話をする予定です．
非線形の方が, 色々複雑になると思った.
そうですね．でも，だから面白い訳です．
前に出て説明ってのは自分にとって地獄でした.
イヤー、地獄ってこんなもんじゃないでしょう？
周期解を計算でどうやって求めるのか楽しみです.
楽しみという前に、自分で考えてみてください．
予習ですね．
ロジスティック写像における解軌道のふるまいは, 数式を利用すことで予想できてしまうのですね.
その通りです．うまい表現です．すばらしい．
非線形も近似するから線形も重要なのですね.
その通りです．ますますすばらしい．
今回, 固定点についての理論的な話が出てきてやや整理がつきました.
やはり理論的に考えるのは大事ですね．
タイトル:固定点について考える で, 前回(5/1)のプリントとやや違うスライド(1-2行くらい)が表示されたのですが, 修正を加えたということでよろしいでしょうか?
はい、そうです．
よく理解できました. わかりやすかったです. もう少し進度早くしても大丈夫です.
理解できたのは良かったです．毎回この調子でお願いします．
今まで雲をつかむようなあいまいなイメージだった固定点の理解が, 今回でようやく安定性など分かることができた.
オー．すばらしい．次回は周期解の安定性ですが，同じように考えていけば良いので， 次回もこの調子で．
非線形の場合も局所的に見ることで, 線形的にとらえるころができるのでわかりやすかった.
そうですね．もちろん、局所的に非線形に考えるということも縦横なのですが．
図式解法は言葉で表すよりわかりやすく, 伝えやすいので便利だと思う.
確かにそうですが、既に説明したように，一次元の差分方程式にしか使えないのが 残念なところです．
線形な差分方程式 y_{t+1}=my_{t} において m=-1 の場合はプラスの値とマイナスの値が交互に出ますよね. これは「安定」と「不安定」のどちらになるのですか?
授業中にも言いましたが、そしてホワイトボードにも書きましたが、リアプノフ安定と言います．
固定点の安定性を考えることで, 難解だと思っていたロジスティック写像が少し身近な存在になりました.
ロジスティック写像だけでなく，非線形現象やカオス現象というのは，
身近な存在です．そこが大事なのです．詳しくは次回話します．
m=-1のときもリアプノフ安定と考えていいのでしょうか.
はい，良いです．
ロジスティック写像の安定性のRの範囲で考えると, x^{*}が 0, 1-1/R の両方で安定なものは無いということですね. あたりまえですが...
ロジスティック写像の場合，ないですね．
でも，こういうことを考えるのは重要です．当たり前と言わずにどんどん考えてください．
数学は昔やったことが後々に重要な手段として用いられることを再実感.
その通りです．だから数学は重要でもある．
なぜR=4だけが特別になるのか知りたい.
次回説明します．
Rの振る舞いによって安定, 不安定が変わっていくのが面白いと思った.
その通りです．とても面白い．だから，…．
この続きは、また次回．
求め方が, 一, ニ年でやっていたこととつながっていて, それなりにすんなりと入っていくことができた.
すばらしいですね．順調に来ています．
固定点が両方安定のときはあるのでしょうか?
ロジスティック写像の場合はないですね．
それ以外の差分方程式であれば，ありだと思います．
線形な差分方程式の固定点の局所安定性を考える問題で, m=1 のときにも y^{*} が原点になってたのですが, y^{*}=mx^{*} <-> y^{*}(m-1)=0 <-> x^{*}=0 なので, m!=1 のとき y^{*}=0 となると思いました. m=1 のときも y^{*}=0 で良いのですか?
すばらしい．良く考えていますね．
実を言うと、今日の説明は少し舌足らずでした．
次回ちゃんと説明しますが，m=1のときは実をいうと，
中立な固定点と言います．
ロジスティック写像の固定点の安定性でRが-1, 1,3のときはどうなるのか頭で考えてもピンと来ないかったので教えてほしいです.
今日は説明しませんでしたが、ロジスティック写像の場合 ０<=R<=4としてよいです．
で，R=1,3の場合については，次回再度説明します．
一般的に非線形な問題を解くとき, 固定点の安定性が局所的なものか, あるいは大域的なものかはどのように調べるのですか?
ある固定点について，局所安定性が成り立つときに，その安定性が、 任意の初期値について成り立つのであれば，大域的に安定であると言えます．
大域的に安定であるとかの証明はしないのですか?
今回はしません．次回話をします．