今日の授業はいつもより難しいような気がした. カオスについては, 今はよくわからないが, 前よりは興味が出てきたような気がします.
少し数式がでるとこう鳴ってしまいますね…
df(f(x_{t}))/dx_{t}|x_{t}=x^{\dag} = df/dx_{t}|x_{t}=f(x^{\dag})*df/dx_{t}|x_{t}=x^{\dag} がよく分かりません.
これが分からないとなると，一年生に戻るどころか，
高校時代に戻らなくてはいけなくなります．
次回説明しますが…
周期解の安定性の所で,
df(f(x_{t}))/dx_{t}|x_{t}=x^{\dag} = df/dx_{t}|x_{t}=f(x^{\dag})*df/dx_{t}|x_{t}=x^{\dag}
の説明がわかりやすかった.
2番のコメントと見比べると分かるとおもいますが，
同じ説明でもこれだけ違うということが，皆さん納得してもらえるとおもいます．
いずれにしても理解してもらったのは良かったと思います．
はじめの頃の講義は簡単な内容の割に時間がかかっており, 逆に今は内容が難化しているが進度が速くなっているので, 授業についていくのが大変になってきました. 難しいものに時間を多く裂いてほしいです.
言っていることはよくわかりましたが．
今となっては最初の頃が簡単だったと思うだけであるかもしれません．
内容自体は難しくはなっていませんが，それでも，
ここ二回は，ある意味，非常に速度を落としてやっています．
授業時間だけで理解できないこともあると思いますが，
その場合は質問に来てくれて構いません．
周期解であっても, 固定点と同じように, 安定性を調べられることが分かりました. 図式解法を用いると, 傾きから安定性がわかりやすいと思いました.
そうですね．但し，図式解法はとても便利なのですが， でも一次元写像以外だと難しいということは覚えておいてください．
図式解法を用いると, n=4のときのn周期解の考え方が理解しやすかった.
そうですね．アイディアを理解するという意味ではとても有用です．
但し，二次元以上になるとこれが使えないので，
解析的に考えることも必要になります．
図式解法でn周期解を考えて, 周期が大きくなれば, なるほど f^{n} の傾きが大きくなることに気付きました. これを考えると, 途中で傾きの絶対値が1より大きくなるということが起きる可能性もあるなと思いました. とてもおもしろい授業でした.
その通りです．今日はR=4の場合を強調しましたが，
気づいている通りです．
カオスが定義的には厳密ではないという事に驚いた.
「厳密では無い」では無くて．カオスをどのように定義するか， ということには，まだ議論の余地がある，ということを言いました．
非周期的なのに有限な空間に存在し, 決定論的なのに確率論的なものも再現できるというのは, 逆なことが共存しているようで不思議だ.
そうなんですよ．確かに不思議です．
次回，紹介します．
なぜカオスは有限の空間でしか存在しないのか? なぜ確率論的な現象をも決定論で表わせるのか? 今日の講義では色々となぞが生じた. 宇宙もカオスかと考えていたので, 上のことは宇宙は有限ということに...
宇宙がカオス，という意味がよく理解出来ていませんが，
悩むことは良いことです．
決定論的に従うのに非決定論的な事が表わせるのは, とても不思議だと思った. 逆の事もいえるのかが気になります.
不思議ですね．次回お話しします．
本当は証明する時間がとれたら良いのですが．そこまで出来ないので，
紹介程度になってしまいます．
∞に発散しないのに, 有限な空間に存在するのに, 同じ状態は二度と生じないカオスはかなり不思議だ. 有限を無限に動いてもというのが, 矛盾っぽいと思った. あと今回なんとか周期解についてわかりはじめたので, 復習しようと思います.
復習してください．
そのときに今日話したことをもう一度考え直してみてください．
仮に家で分からないとしても，来週の講義で理解しやすくなると思います．
今までの認識ではカオスというと全くランダムな乱数のようなイメージがあったが, 実は決定論的であるにも関わらず, 確率論的なふるまいもできるという点でおもしろいと思った.
理解してくれたように，全くランダムではありません．
ちゃんと決定論的な法則はあります．
カオスは無限に違う値を選びつづけるということなので, いろいろなことに使えると思います. たとえば, この無限に違う値を使って何か作れるものがあるとすれば, それらは全て違うものになる. これは色々なことに応用がきくと思います.
をー，すばらしい．その通りだと思います．
例えば，どんな応用があると思いますか．
固定点と1周期解というのは同じものですよね? 言葉が色々出てきて少し混乱ぎみです.
このことは授業で説明しましたが，同じで良いです．
写像を無限回繰り返しても値は有限な空間に存在してるのでしょうか? この感覚がいまいちつかめません.
ロジスティック写像の場合，0
蠅の数のグラフとカオスのグラフが同じように不規則だったので
Rを上手く決められたら蠅の増減が予想できるのか気になった.
初期値で全て決定するのはrand関数と同じだったので,
randもカオスなのか?
いいところに気づいていますね．可能性はあるかもしれません．
不安定な固定点・周期解は, 数値計算でも現れないとありますが,
R=4のときのn周期解を考えるという図で示されているのは周期解ではないのですか?
この図では現れたということにはならないのですか?
確かに周期解ですが，存在を示しただけで，それが観測されるかどうかとは
別の話です．
R=4のときのカオスでは, 周期解が存在しないことがわかりました.
周期解がないから, 図式解法では同じ動作を繰り返さない.
だからきれいにやり続けるとぬりつぶしになるんですよね?
その通り！GJ
周期解についてで, n=1,2,...,5 までは元に戻らなくて n=6 とか
n=9 が周期的だった時以降
3回写像して元の点に戻れば周期解ということでしょうか.
この場合, n=6をx_{t}とおいてn=9をx_{t+3}にすれば3周期ですよね?
言っていることがやや不明確なので，
カオスがどのように確率論的な現象を再現できるのかとても興味があります. 次回以降が楽しみです.
楽しみにしてください．
決定論的(<-もう決まっている)なのに, 確率論的(決まっていない)な現象も再現できるというのが不思議でならない.
その通り．面白くて不思議です．
カオスの中の決定論的な性質の中で確率論的な現象も再現できるというのがいまいちよくわからなかった. しかし興味がもてる分野かもしれない.
そうそう，興味がもてる話なのです．
今日の講義でカオスのおもしろさを少し理解できました.
他のカオスの例が知りたくなりました.
たくさんありますね．本を適宜紹介していこうと思います．
カオスのおもしろさが少しわかりました.
これからさらにおもしろく思えるように勉強していきたいです.
おもしろいと思えないと結構しんどいので...
そうして下さい．おもしろいと思うようにしようとしていると思いますが，
R=4にてカオスになる証明をしなかったのは「非常に大変な証明になるため」
と勝手に解釈しました.
いえ，みなさんから不満が続出するのが明らかだからです ;-P
ホームページでコメントの返答のページが, 前々回からページが見つかりませんってなっているんですが...
一部リンクが間違っていましたので修正しておきました．
一般にロジェスティック写像のn周期解は, 方程式
だから....ロジスティックだって
また rand間数についてですが，こちらについてとても良いところに気づいています．
次回詳しく話をすることにしましょう．
次回再度説明してください．
それは正しい姿勢です．
ちなみに，毎回の内容についてのページからのリンクは正しくなっていましたので，
そちらからもアクセスを試みるようにしてください．
g(x_{t})=f^{(n)}(x_{t})/x_{t}(x_{t}-(1-1/R))=0
を解けば得られるのでしょうか?
あと，これだと，固定点しかのぞかれないので，ダメですね．