方程式を図で考えるってのは逆に新鮮だというか面白い. 図式解法R=4のときはどこにも集束しないのはなぜか, きっと次回話すと思うので楽しみにしてます.
一年生のときの応用解析学では，
図なども多用しあつもりでしたが，もうわすれてしまいましたか？
式で考えることも重要．そして，その意味を(図等をつかって)考えるのも重要です．
ロジスティック写像のパラメータが4のときどうなるのかは，
来週話します．
R=4.0のときだけロジスティック写像の線が表を全体的に通っていておもしろかった.
とても良いところに気づいていますね．
確かに「全体的に通ってい」ます．
詳しくは次回話します．
ロジスティック写像による図式解法を自分でやってみると, 非線形の面白さが少し分かった気がする.
まずは，遅刻をしないように．
非線形ダイナミクスの面白さはこれからが本番です．
非線形の解は, 比較的簡単な操作の繰り返しで導けるのだなと思いました.
今回は，差分方程式なので、確かにそうですね．
そして，簡単な操作であるにも関わらず、とても面白い振る舞いを示します．
だから面白いのです．
最近はプログラミングの連続で面白さを見つけることが出来なかったが, 図式解法をやり始めたあたりから数学の楽しさを思いだした.
確かに、プログラミグばかりだとつまらないですね．
コンピュータは単なる道具に過ぎないから．
それよりも，そこから得られた結果を使って
世の中を驚かせてください．
ロジスティック曲線と非線形の不思議さとおもしろさに, 魅せられました. 線形のグラフはつまらなく感じました.
ロジスティック写像の面白さは、これからもっと広がります．
今日の話は、ほんのさわり程度でした．
ハエの話からロジスティックへのつなぎはうまいですね.
それは，教科書指定している本がうまい訳ですね．
ぼくじゃなくて．
図式解法を通じて, 線形の振る舞いの単調さを感じたが, 同時に非線形への応用へ必ず役立つという必要性も感じた.
感じたのであれば，それはとてもすばらしいですね．
線形の図しく解法と違って, 非線形の図式解法は回るのが多かった.
R=3.52は最終的に四角になったけど,
R=4はどうなるかよく分かりませんでした.(自分でやったら, 外わくと重なった)
定規を使うと，うまくいくと思います．
あと，どこからスタートしたかということには関係しますが．
R=4の場合は、次回詳しくやりましょう．
非線形の場合いの図式解法では複雑な形をしながら差分方程式とy=xの交点に収束していることがわかりました.
確かにそのようになる場合もあるのですが、
それだけだと面白くないのですよね．
なぜだかわかりますか？
図式解法をたくさんやる時間があったので, 解の挙動がよくわかったと思います.
それは良かったです．
君自身はどうだったのかな？
ある事象を非線形な差分方程式で表わすにはその事象の問題点を考え, モデルを改良するのが重要だと感じた.
その通りです．
ただ、講義中にも説明しましたが、どのような差分方程式で表そうとしても，
このような考え方は重要です．
横軸をx_{t}, 縦軸をx_{t+1}をとったときの x_{t+1}=Rx_{t}(1-x_{t}) が x_{t}=0.5 に関して対称となっているように見えるのですが, これと R=1.5, 2.9 のときに直線 x_{t+1}=x_{t} との交点に収束することと関係があるのでしょうか?
どのようなRでも，「x_{t}=0.5 に関して対称となってい 」ます．
確かに，「R=1.5, 2.9 のときに」は，「直線 x_{t+1}=x_{t}との交点に収束」
しますが，それ以外のときは異なる振る舞いを示します．
図式解法というやり方が非常におもしろいです. また, y=x の直線を使うというアイディアは素晴らしく思いついた人はすごいと思います.
そうですね．図式解法は面白いですね．
これを最初に考えついたのは誰かな？
ロジスティック写像の振る舞いは面白い. 時系列で見るとより分かり易いと思った.
そうですね．次回、時系列としてみるとどのようになるのか，
一緒に考えましょう．
質的な違いは発散と収束ともう一つは何かよく分かりませんでした.
もう一つは、同じ値を取り続ける，です．
分からなかったら，その都度質問してくれて構いません．
x_{t}を bN_{t}/R とおくという考え方が見た目には分かりやすくなるのですが, ちょっと分かりにくいです.
何が分かりにくいですか？
非線形は線形に比べ, 数段とふくざつになることがわかった.
その通りですね．数段複雑になります．
図式解法は分かったのですが, 時系列を書くのがきついです.
まずは、遅刻をしないように．
さて，なにがきついですかね．
図式解法を用いると順次値が求まりますから，それをプロットすればよいと思いますが．
ハエの個体数の例では結局線形な差分方程式でモデル化することはできず... ということは最終的に収束や発散で表現できないということなのだろうか? よく分かりませんでした.
まずは，遅刻をしないように.
実際，ハエの個体数の変化は，収束もせず，発散もせず，ですよね．
ということは，やはり線形な差分方程式のみで表すのは困難である，
ということでしょう？
非線形の差分方程式のふるまいはただ減ったり増えたりするだけではないので, いろいろ動きが表わせそうだなとは思いました.
その通りです．良いところに気づいていますね．
ようやく非線形の入り口に立ったような気がした. 線形と非線形の差異は極めて大きいものであると思う. 非線形についてさらに理解を深めたい.
確かに今は入り口です．
そして，これから先はもっと楽しい正解が待っています．
この調子で，いろいろと考えてください．
図式解法で N_{0}, N_{1}, N_{2}...と書くとき, どうも N_{0} < N_{1} < N_{2}...という固定かん念にとらわれてしまい, さいしょはとっつきにくかった.
世の中の事象が常に増えつつける，あるいは，減り続けるということだけだと
おかしいですよね．
授業の進め方も親切だし, 内容も面白いので授業を受けていて楽しいです.
そのように感じてくれたのであれば，こちらも楽しいです．
この調子で続けてください．
「これって非線形?」みたいに, 一通り説明が終わった後, 簡単にまた前の説明をしてくれたのも良かったです.
そうですか．
他の授業ではないのですかね？
講義のテンポが早く, まだ理解出来ているから良いが, この先, わからなくなったら追いつけなくなりそうで不安です.
ちょっと早かったですか？
次回からはスピードについても聞きますので，
そう感じたら，目線で合図してください．
ロジスティック写像の図式解法はやっていて楽しいが, ホワイトボードが少しみづらいので, それも模範解答をもらえるとうれしいです.
すぐに模範解答とか言いますね．
なんで？まずは，前に来ましょう．遥かに見やすいです．
プロジェクターをつけたまま板書されると光が反射して (かろうじて読めるけど) 読みづらいです.
前に来ましょう．
普通の2次関数も非線形だったのですね.
その通りです．だって，線形じゃないでしょう？
実をいうと，非線形な関係というのは，中学校で，
いや、もしかすると小学校で、習っていることなのです．
今日から参加したのでしたが非常に分かりやすく楽しかったです.
「参加」ですか...
僕のひとつ前の番号の奴が当てられてから1時間, 気が気じゃない時間を過ごさせて頂きました. 気がつけば授業は終わってました.
はは〜〜，じゃ，この次にあたることが分かるでしょうから．
この一週間は，気が気じゃないですね．
もし，次回の講義で当てなかったら、
黄金週間はきがきじゃないのかな？