0 < R < 3 の分岐図は固定点が安定の時だけを考慮し, 不安定な時は無視するということなのでしょうか?
考慮する，無視するということではなくて， 観測できる，観測できない，ということです．
重力とかの物理の公式などがシミュレーションで必要ときいて物理の勉強の必要性を感じた.
その通りです．次回も再度強調しますが，ゲームのプログラマーになりたい人には， 特に物理が重要です．
先生のカオスに対する愛がひしひしと伝わってきます.
愛というか，っても面白いものだと思っています．
そして，皆さんが知るべき内容であるとも思っています．
二重振り子は面白かったが, 周期的な運動に周期的な運動を加えると, カオスになるのはちょっと不思議.
運動としては二次元平面に拘束されていますが， 実際の状態値は４次元空間内の軌道を描きます． 多分，拘束されている二次元平面のイメージが強いのではないかと思います．
二重振り子の動きが毎回違うのがとても面白かった. 身の回りのカオスの例をもっと知りたいと思った.
そうですね．とても面白いと思います．ぜひ身の回りのカオスを調べてください． 課題になる可能性が強いです．
二重振り子の動き方(特に下についている方)が予測不能的で面白かった. また, カオスについても少し興味が出てきた.
少しと言わず，もっと興味を持ってください！
今日の振り子のカオス現象が面白かった. 今回2個だけをジョイントでくっつけただけだったので, 3個, 4個とくっつけた振り子の動きを見てみたい気がする.
ぜひ見てください．多分作るのは簡単です．期待しています．
二重振り子の動きがインパクト大きかった. 分岐はよくわからなかった. 復習したい.
分岐については， 次回以降も説明します． 今回の話を復習してきて下さい． そうすれば，次回の話が頭にはいりやすいでしょう．
カオスを見た! という今日の授業はすごいと思います.
そうです．今日皆さんはカオスを見たのです．
以前からちらっとでてきた分岐がどういうものなのか, やっと今回わかってきました. 固定点と安定性のことはよくでてくるので, 重要なのだと思いました.
素晴らしいですね．確かに安定性のことは重要です． 次回から説明する違うタイプの分岐においても重要になります．
除々に内容が難しくなってきた...
「徐々」の字が違います... 漢字の勉強もしよう！
前にも書いたかもしれませんが, やはり多少の復習は必要だと思いました.
０よりはましだと思いますが，多少と言わずちゃんと考え直してみてください．
二重振り子を見たのが初めてだったので動きが全く予想できず (カオス解なのでとかいうことはおいていても) 面白かった.
確かに面白いですね．見ていて飽きないです．
二重振り子の動き方が面白かった. 毎回やって下さい.
毎回は無理です．
カオスは規則がないようにみえて規則があるような感じがしておもしろいような気がしてきました.
曖昧な印象を受けたということなのかもしれませんね…
規則はちゃんとあり，面白いです．
身の回りにカオスが偏在しているということを学び, 少し深く見えていけばさらに大きな発見ができるのではないかと思いました.
素晴らしい．その考えを持ち続けてください．良い研究者になれます．
今日の演習で, 前にやったことをわかったつもりになっていたということがわかったので, 今日の分も含めて復習にはげもうと思います.
とても重要ですね．よくやる間違いの一つに， わかったつもり，というものがあります． 今回復習をして良かったと思います．
ロジスティック写像の分岐図でプロットが密集しているあたりで
Rの値がある部分(R=3.8ぐらい?)でプロットが少なくなってて
空白部分の縦線みたいになっていたのは何か特別な理由があるんですか?
あるんです！素晴らしいところに気づいています． これは再度説明します．
分岐図も何か法則性があってあのような図になるのか気になった. 途中, 点があまりない場所もあって考えつかななかったので.
君も良いところに気づいています．素晴らしい．
今日の2重振り子をみて, カオスが身の回りに偏在してるということがわかった気がします. (周期的でないものはよくあるので.)
そうですね．実際に，我々の身の回りには， 不思議と周期的でないものばかりです．
この振り子は, 何の抵抗もない所で動かせたら, ずっと違う動きをし続けるということですか?
その通りです． 本当は，もっと正しくいわないと行けないのですが， 今日紹介した二重振り子で摩擦が無い場合， 保存系という部類の属します．そこがちょっとみんなと考えて来た カオスとは違うのですが… 実際に摩擦がある系では， エネルギーが与えられるような場合が相当します．
先週の参考資料の「カオスとフラクタル」を図書館で借りて証明を見たのですが, あまり理解できませんでした.
よく読みましたか？焦らずに少しずつ読んでみてください．
二重振り子が想像以上に面白かったです. ですが, 初期値依存性の説明がよく分からなかったので復習しておきます.
初期値鋭敏依存性については，しばしば出てきますので， その度に説明するようにします．
今日はじめて見たカオスの動きは気持ち悪かったです.
気持ち悪いですが…失礼しました．
Rが3をこえたあとでもやはり不安定な固定点があるのでしょうか?
はい，存在します．でも不安定なので，観測されません．
図で見ると分かった気になりますが 計算式がからむとまだ理解できてないなと思いました.
それは困りましたね．これからの世の中，図が用意されているばかりではないでしょう．
自分で，式から図をかけるようになることも必要では？
分岐図によりロジスティック写像の振る舞いが非常によくわかりました. しかし, 二重振り子のような複雑な運動が何らかのモデルによって表現できるのかは疑問に思います.
もちろん表現できますよ．今，皆さんとやっている差分方程式ではなく， 微分方程式になりますが．
ロジスティック写像 x_{t+1}=Rx_{t}(1-x_{t}) のパラメータRから周期解の周期nを求める式は存在しますか?
とても良い質問です．多分 n が Rの間数として表せるか，ということだと思いますが， それはちょっと困難だと思います．が，Rを変えていったときに，次に何周期になるのか， ということは分かっています．これについては，次回あるいは次々回等に紹介します．
分岐のところで, 2,4,8周期解の話がありましたが, 観測する回数を非常に大きくすれば, 今までカオスだと思っていた現象も, 実は大きな周期の解だったということはないのでしょうか?
とても良い質問です．このようなことは， あり得るでしょうね．