2018年05月02日 第4回
ある固定点$x^{*}$に収束するということは、$x_{t}$が$x^{*}$に近づいていくので
あって、完全に重なることはないですよね？ ($a$や$x_{0}$の値にも関係すると
思いますが、小数点以下の桁がどんどん増えていくことは明らかなので)
よい質問と思います。
次回コメントします。
授業の内容ではないのですが、池口研の皆さんが毎週出席されていてすごいな
と思いました。何かそういうルール (？) があるのでしょうか。
これも次回コメントします。
今日の講議でも、実際に手を動かして演習することで、
固定点の安定性、不安定性の境界、場合わけについて理解が
深まった。講議では生徒の理解のために簡単な例を挙げられたが、
実際の研究対象はもっと難しい非線形な関数を扱うと思うので、
固定点を求めることが難しそうだと思った。
とてもよいコメントと思います。
この講義ではロジスティック写像を対象と
しているので、求めることはできますが、
$\sin$などが入ると難しいですね。
今まで微分などで傾きを出したり何のためにやって
いるのか分からなかったですが、これを使って解を
出せておもしろいと思いました。
例えば線形代数で習う
固有値、固有ベクトルもですね。
まさか今まで勉強してきた微分がこのためにあったとは知りませんでした。
理解してくれてよかった！
講義資料を毎回もって
来る必要があるので、両面刷りにしたほうが
いいと思いました。
こういうところに"効率"を求めるのが
ダメなのですよ。
両面印刷にすると裏うつりするし、
裏面が使えない。
固定点とその安定性について、
不安定、漸近安定、超安定は既知であったが、
リアプノフ安定については、知らなかった。
漸近安定との違いが分かりやすかった。
理解してくれてよかったです。
局所的、大域的というワードや
解軌動は、数理計画法の最適解を探す
様子に似ていると思いました。
ニュートン法などをやっているようですね。
高校の頃から使っていた接線の方程式が
こんなところでも使えるとは思わなかったです。
今まで学んだことを使って、非線形を解き明かしていくのが面白いと思いました。
その通りですね。
題材は中学や高校で習う数学の内容です。
図式解法を用いて、より固定点の安定性を理解しました。
固定点はそれぞれ複数存在するが、安定性によって収束や発散する
可能性がある。これは実際の生活にも役に立つ内容ではないかと
思いました。
ぜひ役立ててください。
今までに習った微分や写像が、今モデリング理論で結実していることに感無量です。
もし「微分・積分学」も池口先生が担当していたらもっと身についていたのでは、と考えています。
そうですか…それはよかった。
モデリング理論でプログラミング例などの配布の予定はあるのでしょうか。
期待しています。
配布について考えてはいませんでしたが、
考えてみます。
一見同じように見える固定点も不安定だったり、安定だったり
と持つ意味合いが違うことがよくわかった。
規則的に不規則な動をする点がおもしろいと思った。
また、安定すること不安定であることの利点を詳しく知りたいと思った。
よく理解してくれていると思います。
4次関数を頑張って解いてみます。
1周期解が出来る理由が明確に分かって満足した。
ぜひやってみよう。
因数分解できます。
高校数学の数列で$a_{n+1} + a_{n} - 6 = 0$のような規則があると
きにもとの数列$a_{n}$を求めるのに$a_{n+1} = a_{n} = c$として
この$c$を求めて問題を解いていた気がしますが、
これも固定点を求める操作と似ていて
何か関係あるのかなと思いました。
関係ありますね。
ただこの場合は、解析的に求めるための
方法としてだと思います。
知識として知っていた事実を改めて手を動かして
再確認することにより理解を深めることができました。
力学系において
${f(x)}^{2}$と書くことはまずなく、
$f^{2}(x)$は2回写像をしているイミだということは
よく覚えておこうと思います。
知っていましたか！卒業は近いですね。
実際にエクセルを使ってロジスティック写像の値を観察してみて気になったのですが、例えば
$x_{t+1} = 3.52 x_{t} (1 - x_{t})$を100回くり返してみたら、図では一見周期4のきれいなグラフ
でしたが、小数点以下を見ていくと、多少のズレがありました。これは100回程度だからなのか、
それとも、数学的には「収束」するだけで実際には正確に一致することはないのでしょうか？
もしそうであれば、$a = 2.9$のときも、$a = 3.3$のときも、ある意味で「カオス」なのでしょうか？
それとは関係なく、急に数学的な話になってきて、難しくも面白くなってきました。
よい質問と思います。
次回コメントします。
安定と不安定の違いが最初から分かるようで分からなかったが、実際の例と
ていねいな説明でよく理解できました。簡単そうにみえることなのに
すごく奥が深いなと思いました。$m$の値によってこんな風に分類され
るということを初めて知りました。
奥は深いですね！
固定点における接線の傾きによって場合分けし、
絶対値が1より大きければ不安定、1より小さければ安定ということが
よく理解できた。
前回の図式解法で$2-a$が1より小さいものは確かに収束し、
1より大きいものは振動しながら発散していた。
よく理解してくれていると思います。
高校の数学で漸化式を解くときにも特性方程式の解を用いた
が、これと固定点の話にどのようなつながりがあるか気になったの
で調べてみようと思いました。
関係ありますね。
ぜひ調べてみよう！
非線形な関数を固定点周上で1次近似して、その傾きによって
安定か不安定かを判断できることは分かったのですが、
例えば固定点の近傍でどんな挙動をする関数でも、固定点上のみでの
議論で済ませることができるのでしょうか。
とてもよい質問だと思います。
次回コメントします。
今日は固定点の安定、不安定について、説明がとても具体的で
丁寧だったので、とても分かりやすかったです。図による解説で
とてもイメージもしやすかったです。
ではテストは完璧ですね！
世の中には非線形なものばかりで線形について学んでも、あまり実用的
ではないと思っていましたが、非線形なものを線形に近似して解くという
方法を学び、線形なものについて学ぶことで、現実世界でも役立つことがあるという
が分かりました。
ムダなことは習っていないと思います。
線形な差分方程式は傾きで安定性が決定できること、
非線形も微分係数を考えることで線形と同じように安定性が
求められる、ということに感動しました。
リアプノフ安定は、音だけ聞いたら不安定に聞こえてややこしいです。
いわれると確かにそう聞こえなくもないですね…