今日の最初に扱ったW型の関数の上にボールを置いて、どこに落ち着くのか
で安定・不安定を説明されていましたが、直感的にはすごく分かりやすかったのですが、
あの3つの固定点の接線はどれも$0$で$|f^{\prime}(x^{*})| < 1$を満たすのではと思い、混乱
してしまいました。$x_{t+1} = 2 x_{t} (1 - x_{t})$のロジスティック写像の場合でも固定点は
放物線の頂点$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ですが、これは安定な固定点ですよね。ボールを転がす
のは、あくまでイメージ的に理解するためのものと考えれば良いのですか？
このスライドで用いたW型の山と谷は
$f$の形状ではありません。
今朝、何げなくテレビをつけたら、
あまたつさん (著名な天気予報士) が
天気予報をやっていました。そこで特集して
いたのが、今年の梅雨明けの日予想。
年別の梅雨明けの日のグラフを示し、
「梅雨明けが早い年の次の年は明けるのが
遅いことが多いんです。去年は早かったので
今年は…。ただし、今年は雨が少ない予想なので、
平年通りかと。」
と言っていた。何とも適当な予想だ…と
思いつつ、自分は今、こういう事につながる勉強
をしているのかと実感がわきました。
カオスな現象、しかもそのグラフを地上波
で観た。稀有な体験でした。
おー！おもしろいですね。
データを見つけましたが、ちょっと短いかな…
やっている内容が簡潔で、次に何したいからこの数式
を解いているというのが伝わってきて、授業に出席している
意味をすごく感じた。
そうですね。せっかくだからライブなほうが
いいですよね。
固定点と2周期解の関係が分かり、周期解を固定点としてさらに式を解くという
方法も知ることができ、今回の講議は難しかったですがそれと同時に満足度も高かったです。
目からウロコが落ちる思いです。
満足度が高いとなればOKですかね。
「理科大の博士に進学したら授業料が無料になる」というふれこみでしたが、うわさによると
新しい学長になって取りやめとなるそうです。
どのようにお考えでしょうか。
次回コメントします。
モデリング理論で、こんなに微分などの数学的な作業をすると
思っていなくてとても驚きました。
微分がとても苦手なのでこの先とても不安ですが頑張ります。
自分から「苦手」といってはダメですよ！
$n$周期解の安定性を、$f$の$n$回写像の固定点の安定性
に置き換えることができるというのは直感的には
思い至らなかったが、式で考えると整合性が取れて
いて納得することができました。
中学、高校程度の数学を使ってここまで議論を広げ
られることに感動しました。
そうなのですよ！中高の数学で議論できます。
アニメーションすると分かりやすいし見ばえも良くていいですね。
$x_{1} + x_{2}$したら$\frac{a^{2} + a}{a^{2}}$となるのでp33下から3行目は
$= a^{2} (1 - 2 \frac{a^{2} + a}{a^{2}} + 4 \frac{1 + a}{a})$になるのでは？
ご指摘の通りです。
ありがとうございます。
授業の内容とは関係がないのですが、チョークで黒板
に字を書くときになる「キーッ」という音が非常に苦手で、
原因がチョークの出具合なのか何なのかはわかりませんが、
対応して頂けると喜く思います。
気をつけますが、大学が用意してるので…
数式が多かったですが、やってることは単純で、なぜ固定点が安定になるのか
不安定になるのか理解できました。また先生の言っていたように
数式を羅列するのではなく、キチンと説明できるまで理解を深めていく
必要も感じました。
何でもそうですが、つながりを説明できるのは
大切なことだと思います。
2周期解以上の周期解の安定性に関する議論が
新しい記号$F$を導入することで、固定点と同様であると帰着される点
が非常に面白いと思いました。
よく理解してくれていると思います。
本日の講議では、2周期解の安定性について学んだが、
$f(x_{1}) = x_{2}, f(x_{2}) = x_{1}, f(f(x_{1})) = x_{1}, f(f(x_{2})) = x_{2}$といった
関係が最初はよくわからなかったが、詳しくひもとくことで関係が成り立つことが
よくわかった。ただし、一般化した$n$周期解などを手計算で求めることは
難しそうなので、そのような時こそプログラムを作れたら良いと思った。
その通りですね。
固定点の安定性、不安定性の解説が、具体的な$a$の値を用いて説明
していて、すごく分かりやすいです。また、行間の説明まで丁寧で、理解しや
すい授業でした。
理解しやすかったのであれば、
とてもよかった！
非線形難しそう… → 微分して線形で考えれば良いんだ！簡単じゃん！！
$n$周期解難しそう… → $n$回写像の固定点として考えれば良いんだ！簡単じゃん！！
安定性の計算面倒… → 解と係数の関係を使えば良いんだ！簡単じゃん！！
ってなる授業展開が凄く楽しいです。
すばらしい！
二周期解の安定性についての話で、式変形が楽しかった。
楽しいのが一番ですね。
特に、固定点の安定性について、
式で判別することができる
SI-6の解説が分かりやすかった。
そうですか。よかったです。
私は塾講師のバイトで
解と係数の関係を教えたばかりでしたので
この考えの実用性について知ることができ、
感動しました。
ではバイト先で、「解と係数の関係」は
世の中の複雑さを知るため重要！って
伝えてください！！
中学・高校のときに習った、解と係数の関係、合成関数の微分などを
うまく使うことで2周期解の安定性に関して解析的に求めることが
できたのには驚いた。
使っている内容は中高でのものですね。
$a$の値を$1$以下か$4$以外にした場合不安定でも$n$週期解が出てくるという事でしょうか。
今日の構義で前回までに分からなかった$n$週期解が不安定な状態を理解できました。
✕ 週期解 → ○ 周期解
✕ 構義 → ○ 講義
今までの非線形は重要という話題から本格的な
内容に移ったので少し興味がいつもよりうすれてしまったが
関数$f$から$F$へと変換しても固定点の概念が出てくるのに
数学的な美しさを感じた。できるだけ置いていかれないよう
にしっかりと授業を聞いていきたい。
数学は大切ですね。美しさも。