2020年05月20日 第2回
基礎的な知識ながら，微分・積分に強い苦手意識と拒否反応があったために一瞬登場した時に身構えてしまったが，今日のところはそれほど関わってこなくて安心した．
複雑な差分方程式が図式解法により簡単に挙動を調べることができるとわかり，差分方程式の振る舞いを調べるのが楽しく感じました．
楽しいですか．すばらしい！
高校でやった漸化式と極限の範囲に似ていて，馴染みやすかった
そうですね．差分方程式は，漸化式というと馴染みがあるかもしれません．
が，高校の時は線形な漸化式しか習わないと思います．
図を見るだけではよく理解できなかったが，実際に自分で様々なパターンの図式解法をすることによって，aの正負や絶対値の値によってどのような図になるかが推測できるようになり，短時間で理解を深めることができました．
すばらしい．
高校の時から解いてきた漸化式(?)(差分方程式)の解き方とは違った,グラフを用いた図式解放が面白かったです．
使い方をしっかり頭に入れてマスターします．
はい，ぜひマスターしてください．
図式解法の手順について良く分かりました．
また，差分方程式がどう変化するかで最終的なグラフがどう表されるか良く分かりました．
また，振る舞い同士を比較することでどういった違いを出すか理解するのが難しかったです．
もう少し具体的に難しかったところを教えてください．
図をたくさん書いてもらえたので，理解しやすかったです．
GoodNote，僕も使ってます．
ご存知かもしれませんが，なげなわツール→サイズ変更で直線の角度も変えれますよ．
おー，そうですか．それは知らなかった．やってみよう．
遠隔講義は思ったより，授業を受けやすくて，どこでも参加できまして，元々の授業よりある程度には集中できると思いました．
そうですか．それはよかったです．
線形な差分方程式の振る舞いが6パターンしかなくて面白いなと思った.図式解法の求め方を理解することができた.
よろしいと思います．
ロジスティック写像の図式解法の様子が最適化の探索の様子に似ている気がした．
永遠と収束しないため探索としては失敗になるのだろうけども．
x-tの軸のグラフだと全く規則性が見いだせないが図式解法の書き方では規則性がわかりやすかった．
最適化の探索ですか．いいところをついていますね．
大丈夫ではないかと思います．
図式解放でなぜ補助線を引くのかよく分かった．
$x_t$の係数がプラスかマイナスなのかでギザギザ折れ線になるのか螺旋状の折れ線になるのかという振る舞いも面白いなと感じた．
面白いですね．違いはどこから来るかわかりますか？
基本的に数式を習ったり考えたりするとき，最初は線形な物を扱うが，この世の中にある事象はどれも非線形であることが多いということを学んだ．
また，非線形な差分方程式について，１次元であれば簡単に解析することができる図式解法を知り，45°直線を利用していてとても便利なものだなと感じた．
色々と学んでくれたら良いと思います．
今回の講義では，差分方程式というものの概要がわかった．
また，線形な差分方程式は簡単に解が求まるが非線形だとなかなか難しそうだと感じた．
そして，図形を用いて差分方程式を解くということも理解できたが，$t$の値がとてつもなく大きい値だとなかなか難しいのではないか？と感じた．
その通りなのですが，この方法は定性的な方法なので，
大体，どのような応答になるのかを知るためですから，
時間はそれほど長くはやらなくて良いと思います．
図式解法についてよくわかりました．
今回授業で扱ったハエはデータを一年ごとにとっており，$t$の設け方(1年間隔)がかなり明確だったと思うんですが，連続するデータ(音声や血圧など)に対して，$t$や$t+1$というのは，ある一定の周期を見つけて決定するみたいなことを行うんですかね．
中には難しいものもありそうな気がするのですが．
とてもいい質問です．講義中にコメントします．
非線形な差分方程式の振る舞いを理解することができました．
ずっと授業を聞いているだけだと眠くなるので，演習の時間を取り入れてくださりありがとうございます．
演習がなくても集中するようにしてください．
まだ導入部分なので何とも言えないが,もっと難しくなった時についていけるように復習,課題をしっかり行っていく．
今回は図式解析を簡単な例題を解き,どういいうものか把握できた．
復習大切なので，ぜひやってください．
レジメを表示しつつ黒板を書くことでとても分かりやすかったです.それと,例題を用いることで図式解法の計算方法も理解しやすかったです.
理解してくれたのであれば，よかったと思います．
変数が一次元の際には図式解析が有効なことを理解しましたが有効でないケースもあるのでしょうかすこし気になりました
1変数の場合は，うまくいくとおもます．
各説明懇切丁寧でとてもわかりやすかったです．
ロジスティック写像に関しては，そこに落とし込むことに関してなかなか着手しにくそう，難しそうというのがありました．
ロジスティック写像以外にもよく使われる数式等あるのかなとは心中にありました．
拙いですが，今日のコメントとして残します．
他の差分方程式もたくさんあります．課題で出しますので，
トライしてみてください．
どこに向かっていくかの判断には図を描くと, はやいことがわかり, 用途によって使い分ける重要性を理解できた.
1変数の場合は理解しやすいと思います．
具体的な差分方程式に対する図式解法を実際に手を動かしてやってみることで，aの値によって解の振る舞いがどのように変わるのか理解しやすかったです．
理解してくれてよかったと思います．
$x_{t+1} = ax_{t}$ に対して図式開放を用いて解の振る舞いを確認するのを，授業内でハンズオン形式で学ぶ授業の形式がとてもわかりやすかったです．
他の授業では演習の時間を取ることがほとんどないので新鮮で良い講義だと思いました．
今のところ分からないところはないが，差分方程式が今後複雑になったときにつまづくかもしれないと思いました．
図式解法ですね．
今回は差分方程式の図式解法について学び，図として示すことで目に見え，わかりやすく，動きを捉えることができてわかりやすかった．
また，実際に手を動かし演習する時間をとってくださることで理解をより深めることができてとてもよかった．
理解できてよかったと思います．
図式解法の図によって，一般の差分方程式について(もちろん一部の例に限るが)値が収束したり発散したりするのはどういった場合なのかを定性的によく理解できた．
(以前見た動画でこの講義内容に関連した内容のものを思い出した．
ロジスティック写像には，マンデルブロ集合や対流している水銀の温度変化など様々な現象とある物理定数を共有しているという興味深い内容だった．
コメントは公開される様なので興味ある方のためにここに共有しておきます:https://www.youtube.com/watch?v=ovJcsL7vyrk)
すばらしいコメントですね．
ページスクロールが横方向だと見にくいので，縦方向にして欲しいです．
goodnoteの場合設定から変更できます．
考えてみます．
図式解法について理解することができました．
今回授業で取り扱ったのは線形差分方程式についてのみでしたが，非線形差分方程式についても実際にやってみようと思います．
また自分で手を動かした方が理解しやすいので，今後も可能な限り演習をはさんでくださると助かります．
私が言わなくても，演習を自分でやってみると良いと思います．
手書きでの説明がとてもわかり易かった
そうですか．それは良かった．
図式解法での45度線の役割に感動しました
感動しましたか．すばらしい．
非線形のイメージができてきました．
様々な事象の見え方が変わってくると思います．
そうですね．非線形を知ることで，色々と見えると思います．
図式解法により振る舞いを確認するときに，プロットしたｘの値を線でつないでいくと，階段状になったり渦巻き状になっていくのがとても気持ち良いと思った．
次回にロジスティック写像を図式解法によりみていくのが非常に楽しみである．
楽しいですよ．
放物線に図式解法を用いたときにどのような時系列が出来上がるかは初期値と変数で場合分けが可能なのかが気になった．
初期値ではなくてパラメータaによるのですが，
これは次回説明します．
図式解法のメリットは図を用いることで簡単に収束，または発散がわかることだと思いました．
そうですね．そこがポイントです．
身近な現象を考えた際に，線形な差分方程式ではなぜダメなのかを細かく説明していただけたので，非線形なモデルを考えることの大切さがよく分かりました．
また，1つ1つゆっくり丁寧に教えてくださったので，しっかりと理解することができました．
理解できてよかったです．
線形な差分方程式のふるまいを実際に確認出来て良かった．
世の中には非線形な差分方程式のふるまいの方が多いことも理解した．
図式解法では実際に手を動かしながら，手順を理解して行うことができた．
これは授業の最初にやった線形な差分方程式の動きと同じようになることを確認することができて理解が深まった．
よろしいと思います．
差分方程式がどのようなふるまいをするのかを表す図式解法が，値が変わるごとにどういった動きをするのかがとても見やすく理解が深まった．
手を使ってやってみるといいですね．
丁寧に解説されながらの授業だったため，授業内で内容を理解できました．
それはよかった．
図式解法は先生が詳しく説明した．
モデルの改良について，もっと知りたいです．
いい質問ですが，改良自体は色々とあります．
モデルの構築については，後期の生体情報工学でお話します．
今回の授業で扱った非線形の差分方程式の解法として，図式解法を学びましたが，高校数学で扱う数列の極限の話と同じであると思いました．
増加率の値によって，どのように収束，もしくは発散するのかがわかるのは便利であると感じました．
極限というのは，ある意味そうですね．
コンピュータによって非線形の分野が大きく成長したと聞いて, コンピュータって偉大だなぁと思った
偉大ですね．そしてそれを操るみなさんは，もっと偉大です．
線形な差分方程式は等比数列と同じで，初期条件と増加の割合(公比)が分かればすぐ解けるのに，次数が２になったとたんに解析的な解がほとんど求められないのならば，3次以上や三角・指数・対数などの関数の形になった時の解き方は皆目見当もつかないと思った．
非線形を対象とする研究は，高速な計算機の出現までほとんど進まなかったが，昔の人が経験的に知っていた現象について，今になってその背景の理論などが分かるようになってきた，というのを本で読んだ．
そのため，今私たちにとって完全にランダムに思える現象も，実はランダムではなく，将来は予測できるようになることもあるかもしれないと思った．
確かに見当もつかないほど複雑です．
また，実はランダムではなく，将来は予測できるようになるというのは，
その通りです．
非線型の重要性がよくわかりました．
結果的に二次関係の話が非線型の一番の基本形であることは理解しましたが，他の形についての理解が足りないと思いました．
他の非線形性と言っても無限の可能性があるので，
全てを尽くすのは中々難しいですね．
今回は簡単な線形問題でしたが，非常にわかりやすく，早くロジスティック写像を図式解法してみたいと思いました．
ぜひやってみよう．
・図形解法を用いることで，視覚的に確認しながら差分方程式を扱うことができ，式を見ているだけでは少しつかみにくかったものがつかめた・次回からは非線形の差分方程式を扱うとのことなので，予習しつつ，今日の内容についても理解を深めていきたい
予習も大切ですが，復習も大切なので，
今日の内容をもう一度考えてみてください．
線形の場合の図式解法は，傾きが正ならば”ジグザグ”，負ならば”グルグル”と感覚的に把握した．
図式解法は今の時点では簡単なものに思えた．
しかしこれは線形だから単純なのであって，これから複雑な非線形の差分方程式などを扱うようになれば，次第に苦戦することになるかもしれない．
怠ることなく学ぼうと思う．
傾きの正負はその通りです．さすが．
モデル化の手法が気になりましたが，別の講義で扱う内容なんですね．
こちらの講義でも，モデルの妥当性などについてお話していただけるとありがたいです．
後期に話すので，ぜひ履修して下さい．
画面共有の形式で先生が描いたグラフがとても見やすくて，授業の内容をよく理解できました．
そうですか．それはよかった．
差分方程式に関しては数値計算の授業でも同様の話があったためどのようなものなのか覚えておきたいと思いました．
数値計算とも関係しますね．
aの値によってロジスティック写像の振る舞い(収束するか発散するか)がわかった
わかりましたか．すばらしい．
差分方程式の解を図を使って求めることができることに少し驚いた．
写像回数が多いときにこの図式解法を手で行うのは骨が折れるので，計算機があってよかったと思った．
確かに計算機があると便利です．