2020年05月27日 第3回
提出課題の解答を公開したりしますか.カオスを永遠に計測しておいたらいつかは周期性が見つかると思っていましたが, a=4のロジスティック写像の例で数学的に証明でカオスなことが示されていると聞いて驚いた.固定点の安定・不安定について理解できた.
課題についてわからなければ質問してください．
人間の脳も細かく見ると分子からできており，決定論的に言うと現在の分子の動きから次の分子の動きが決定されている.つまり，「人の意志，感情というのはニューロン(脳の神経細胞)がカオスな振る舞いをしているだけ」というのが「人の自由意志は存在しない」というラプラスの悪魔論者の意見なのでしょうか?
とても良いコメントだと思いますが，意見ではないと思います．
ロジスティック写像の振る舞いの分析を進めていくと新しい発見が数多くあって面白いと思った．
確かに色々と発見がありますね．
前回の課題を解いていたとき，グラフを描くのにMacに入っていたGrapherを利用したのですが，意外に融通がきかず手間取ってしまいました．
Macで関数のグラフを描くのに適したソフトのおすすめなどはあるでしょうか．
macOS上でということではないですが，gnuplotが良いのでは？
今回はロジスティック写像と図式開放について理解を深めることができました．
固有展の安定性を，接戦の傾きで近似して，場合分けすることにより，考えられるということを理解しました．
カオスは二度と同じ値が出ないというのが興味深かったです．
また，前回のコメント用紙がレタスにアップされていることに気づかず，提出することができませんでした．
提出時間はすぎてますが提出させていただくのでもしよろしかったら確認お願いします．
図式解法，固定点，接線，ですね．
ロジスティック写像で2次関数のような形の場合，1点に収束するしかイメージできていなかったが，周期的やカオスになって驚いた．
固定点を考える時に線形から考えたので非線形になってもわかりやすかった.，周期的になったaの3.3や3.52という値に意味があるのかが疑問に思った．
いい質問です．なぜ，3.3，3.52にしたのには理由があります．
講義でも説明します．
だいぶロジスティック写像になれてきた気がします．
リアプノフ安定は，名前に安定がついてるのに，安定には入らないと聞いたときは，少し混乱しましたが，理由を聞いて納得しました．
安定には入らないのではなくて，安定，不安定という言い方をした時は，
通常は，安定は漸近安定のことを指すということを言いました．
前回は聞き忘れましたが，PDFで課題を提出する場合はmarkdownから変換したPDFでもいいですか？
指定は，LaTeXでタイプセットしてPDFへ変換ですが，
式がきれいに出るのであれば問題ないです．
ロジスティック写像のa=4.0の時に二度と同じ値が出現しないと聞いて全然理由がピンとこなかったので数学的にどのように説明されるのか考えておきたいと思いました．
次回説明します．
カオスとは何かを知ることができた．
差分方程式を通して，固定点や安定性，不安定性についても確認した．
安定性，不安定性の中にも漸近安定性，超安定性，不安定性，リアプノフ安定と傾きの大きさにより細かく分かれていることを理解した．
一つ，一つゆっくりと丁寧な説明でとても理解しやすかった．
理解してくらたのであれば，よかったと思います．
時系列的にカオスを考えると，そういうことだったのかと，意味がわかったのでよかったです
そういうことだったのです．
非線形な関数でも接線で近似が可能だと言うことが具体的な例を用いて板書で詳しく説明していただき，よく理解できた．
局所的には直線近似できるということですね．
微分を習ったときに，最初に出てくる内容だとおもいます．
ロジスティック写像において固定点とは何か，またその安定性不安定性について理解することができました．
またロジスティック写像は決定論的であるのに，振る舞いがカオスになる場合もあるというのはとても興味深かったです．
さらにもっと面白い内容があります．
それについては次回以降で説明できます．
普段扱う関数は発散するか収束するか一定の値を取るかのどれかだったので，そのどれにも当てはまらず不規則な振動を繰り返すカオスという現象が面白かった
面白いですよ．
今回も気象予報の台風の進路予測など，いつも身近な例に例えてくださり，ありがとうございます．
とてもわかりやすいです．
f'(x*)の大きさで安定性，不安定性が変わる場合分けの数が多くて，覚えるのが大変そうだと感じました．
覚える必要はないです．要は，傾きの絶対値が1より大きいか小さいかだけなので．
カオスの面白さがいまいちよくわからなかった．
収束する方が何かと美しく実用性があるように見える
もう少し進むと面白さがわかると思います．
世の中で起こりうる現象のほとんどに当たるカオスというものについて学び，その動きを解析するのは面白そうだなと感じた．
また，固定点や安定性を求めるにあたって昔に学んだ数学が生かされてる感じがしておもしろかった．
面白いですよ．ぜひ取り組んでください．
是非調べてみましょう．
ロジスティック写像の式でa=4の場合に周期をもたない(もしくは周期が無限大)となるカオスになるというのが面白かった．
a=4以外にもカオスとなるaの値はないのかどうかが気になった．
また，ロジスティック写像の式でa=4の場合に0から1の間の値をばらばらに取ることから，疑似乱数の作成に使えそうな気がした．
おー，すばらしいコメントですね．
確かに擬似乱数の作成にもつかえますね．
講義中にあった，ロジスティック写像があるパラメータでは同じ値が二度と出なくなるということの証明が気になった．
次回，お話します．
ロジスティック写像の振る舞いについて様々なaの値に対して図式解法で見ていくことで視覚的に理解しやすかったです．
また講義資料の他に黒板のスライドで補足してまとめていいただけたので，より分かりやすかったです．
理解してもらえてよかったと思います．
非線形の方程式に対して，固定点をもとめてその点の傾きを求めることで安定か安定していないかを判断する方法を理解することができました．
次回，式を用いて説明しようと思います．
図式解法を復習して，固定点の求め方を理解した．
また固定点の安定性の考え方もわかりました．
よろしいと思います．
a=4のときのロジスティク写像の振舞いが周期的ではないことに驚いた．
また, 周期的であっても不安定だったり安定だったりして面白いとおもった．
そうですね．面白いですね．
固定点の安定性の違いについての説明がわかりやすかった．
いきなり解析的な説明をされても戸惑うが，図から導入を始めたことでスムーズに理解ができた．
課題の提出期限は先だが，記憶が鮮明なうちにアウトプットをしようと思います．
すばらしい．でも，復習をすれば，記憶は鮮明に保てますよ．
前回の課題で,線形な差分方程式の解の振る舞い方に,直線の傾きの大きさが関係していることに気がつきましたが,ロジスティック写像においても,固定点の近傍でみれば傾きを考えられ,解の振る舞い方をイメージできることが非常に面白く感じました.
面白いでしょう！
定義域がRではない関数について図式解法を適応できますか
Rでないというのは，例えば複素数ということですか？
それとも，1次元(R^1)ということですか？
後者だと思って答えますが，既に講義でも伝えたように，
図式解法は1次元の差分方程式にはうまく適用できる方法です．
2点間を往復するのを見て少し驚いたのですが，周期だと先生から説明を聞くと明るくなりました．
明るくなりましたか．．．
chaos的な動きなかなかみてて面白いなぁって思いました．
分析が難しそう．
固定点の安定性等の理解は物凄く捗りました．
ありがとうございます．
理解できてよかったと思います．
自分はカオスについてよく理解していなかったが，周期的にならない，すなわちカオスであるということを今回の講義で理解することができた．
だが，完全には理解していないので，次からの講義をまた聴き理解を深めることができるようにしたい．
周期的でないから，カオスである，とは言っていないですよ．
他にも応答がありますし，ランダムな場合もあるでしょう．
1つ要望がございます．
電子黒板に板書をする際，なるべく1画面に収めて欲しいです．
よろしくお願いします．
ごめんなさい，それはちょっと難しいです．
できるだけ頑張りますが．．．
手元にあるのが小さい画面なので．
固定点を求めるのは難しそうですが,いろんな文献を参考にしながら考えてきます．
難しくないですよ．
ロジスティクス写像において，カオスは a = 4 のときだけですか？
いい質問ですね．実はそうではありません．
これについては次回以降で説明する予定です．
非線形な差分方程式を固定点の近傍でのみ線形として扱うといった手法は数学や物理でよくみられますが固定点の安定性という概念が自分にとっては新鮮で面白かったです．
工学としては，安定性という考え方は重要だと思います．
同じ値を二度と取らないようなカオスの振る舞いにとても興味を持ちました
面白いですよ．
安定と不安定の場合分けの部分での説明が納得しやすかった．
決定論的な写像であっても，振る舞いが周期的にならずカオス的になるのは不思議に感じたし興味を持ちました．
不思議ですか．．．
でも面白いことにちゃんとカラクリがあるのですよ．
ロジスティック写像の振る舞いが予想を裏切る複雑さだった．
a=4のときは，直観では収束しそうだと思ったが，実際は周期性もないカオスな振る舞いをすると知り，驚いた．
予想を裏切りましたか．．．確かに複雑ですね．
a=4のときのロジスティック写像は不規則な値をとりますが，値を求めることができるところに奥深さを感じました．
奥深いですね．
今日の内容はよく理解できました．
特にカオスのところが面白いと思って，この授業への興味が高まりました！
そうですか．それはよかった！
固定点は名前の響きから写像して一致する点もしくは周期的になる点だと思っていたので写像先にもなっていない点が固定点になるのは意外だった
そうですね．固定点として存在しているのですが，
それが観測されないということです．
説明が丁寧でとてもわかりやすかった
それならよかったと思います．
微分を用いて安定性を評価するって頭良いと思いました．
あと，ロジスティック写像のときに0が固定点になるのは盲点でした．
確かに盲点かも．
差分方程式の固定点を考えることで，どのようなふるまいを示すのかがわかるようになる点が興味深いと思った．
また，固定点にも安定性・不安定性があり，それがf'(x*)の値を求めることで得られることが，カオスについて数学的な手法を使って考察できる様子が面白いと思った．
よく理解できていると思います．
・固定点での接線の傾きを調べることによって固定点の安定性を調べられることが分かった・最初にa=2.9やa=3.3の例を示されたときには，なぜaの値によって収束するかしないかが変わるのかが分からなくて不思議に思っていたが，その背後の理論が分かったので良かった・a=3.3のときは周期2，a=3.52のときは周期4でしたが，他にも，周期3や周期5などをとるaも存在するのでしょうか？・a=4.0のときにカオスな振る舞いをするというのが，私も面白いと感じたので，この先の講義も楽しみにしています
いい質問ですね！奇数周期も存在します．
講義でも話をします．もう少し待っていてください．
大事なところのポイントをまとめてくれるのでとても理解しやすかった．
特に，固定点の安定性と不安定性の判別がよく理解できた．
理解してくれてよかったと思います．
今回はロジスティック回帰分析について学んだ．
固定点が原点にも存在するという話で気づきがあった．
ロジスティック写像ですね．回帰分析じゃないです．
カオス，という響きが非常に難しそうでとっつきにくさを感じていましたが，今日の説明で初歩の初歩に触れたことで面白そうだなと興味が湧きました．
すばらしい．面白いですよ！
今回の授業ではロジスティック写像のa=4のときが現実の世界にも当てはめることが出来るのではないかということの話がとても興味深かったです.それと,オンラインの黒板の使い方が分かりやすく,理解がしやすかったです.
理解してくれてよかったです．
前回に引き続き図式解法についての理解が深まった。周期性が存在すると固定点が存在することを学び、またaの値を4に設定した時カオスになったことが興味深かった。
理解がどんどん深まりますね．