2020年06月03日 第4回
一見シンプルな形の差分方程式だが，今までの講義でとても奥が深いと感じた．
確かにシンプルですが，豊富なダイナミクスです．
固定点がリアプノフ安定の場合はどんな性質を持ちますか．
この固定点の近くから始めたとしても，この固定点からは離れないですが，
この固定点には近づかんないです．
高校数学の内容（２次関数や微積）の延長線が，本講義の内容につながっているため，高校数学の重要性を改めて思い知らされました．
そうですね．使う内容はそんなに難しくないと思います．
固定点の安定性と周期解について理解しました．
説明がとてもわかりやすかったです．
理解してくれて良かったと思います．
説明が丁寧で講義の内容を理解しました．
理解してくれて良かったと思います．
周期性について少し面白いなと感じたのでいろんな資料を参考して理解を深めたいと思いました．
とても面白いので，ぜひ深めてください．
非線形ロジスティック写像の振る舞いについて，前回は図式解法でそれを確かめましたが，今回は理論的な観点で理解することができました．
また授業内容とは全く関係ありませんが，地元の中学や高校では登校が始まっているようです．
遠隔授業は通学に時間をとられない分，時間を目一杯有効活用できる反面，やはり少しやりづらさも感じます．
早く対面での授業ができるようになるといいですね．
そうですね．確かに対面が行けたら，そのほうがいいのですが，
このような状況ですし，無理はせずにで行きましょう．
後期にお会いできればと思います．
まだついていけている方だが，今後のことを考えると，授業中に理解が追いつかなくなるケースも起こるかもしれないので，授業内容をいつでも見返せるオンライン講義形式は比較的相性が良いと感じた．
対面になったとしても，記録は残した方が良いのかもしれませんね．
安定，不安定性についてどのように定義するかわかったので，よかった．
二周期解についてまだあっさりとしか分かってないので課題を解いて理解を深めたい．
あっさりですか．．．確かにまだほとんど説明していないですからね．
今日の授業は数式が多くて，なかなか集中しにくいです．
式がなかったら，もっと集中できないと思います．
2周期解を手作業で求めるには時間がかかるので，多周期解を求めるにはコンピュータ演算が必要だと思いました．
そういう方法の援用により求めるというやり方もありますね．
固定点においてaの値によって安定的なのかそうでないのかということが数学的に理解できた
ただ，実は今日の部分はまだ証明ではないので，自戒コメントします．
計算式を実際に計算しながら体系的に理解させてくださったおかげで，身に入りやすかったです．
身に入って良かったと思います．
周期解が2,4,8,...∞と大きくなり，最終的に非周期的になるというところに面白みを感じました．
面白いですよ！
・固定点の安定性の考え方や，2周期解の導き方がよく分かった・aが3を超えたあとの周期解の周期が2の累乗で表現できるというのが面白かった．
3周期解がどのような式で表せるか（または上手く表せないか），後で自分で計算してみようと思う
自分でやるというのは，とても大切ですね．
前回の授業でロジスティック写像のn周期解が紹介されたとき，なぜnは2,4といった2の冪しかないのか，3周期もあるのではないか，と思っていたが，今回の授業でその答えが分かった．
差分方程式がロジスティック写像以外の関数を使っている場合には，周期が2の冪にならない場合もあるのだろうか．
もちろん，3もありますよ．それについては次回説明します．
前回までは周期解の意味合いがいまいちよくわかっていなかったが，今日の講義でよく理解することができました．
いま忘れないうちに演習を解くことで，知識を定着させていきたいです．
それが良いと思います．
宿題？の答え（ロジスティック写像の２周期解）はa^3 x^2 - (a^3 + a^2) x + (a^2 + a) = 0を解いてx = { a + 1 ± √(a^2 - 2a -3) } / 2aとなった（間違ってるかもしれない...）少しずつ厄介な計算が出始めて大変だが楽しさが増してきた．
丁寧な解説のおかげで置いてけぼりになることなくついていけているので非常にありがたい．
それなら良かった．これからも気合いでやりましょう．
ロジスティック写像の固定点の安定性を他の数値例も用いて確認しようと思った．
また最後の2周期解が満たすべき方程式についても次回までに解いて条件などを考えたい
ぜひそうしてください．
シラバスの内容を見て, すごく難しそうに感じていましたが, 今の所ちゃんとついて行けていてホッとしました.
そんなに難しくないと思います．
４次方程式の解を求めることができるという視点があると思っていませんでした.ロジスティック写像の理解は万全です!
万全ですか．．．まだまだ奥が深いですよ．
４次方程式を使うなど式的にも難しく見えてきたが式に惑わされずに理論を見えるようにしたい
確かに式をみて驚いてしまうかもしれませんね．
でも落ちついて見たらなんとかなると思います．
周期解が4次方程式に落とし込めるというのをみてすごいと感じた．
周期解がもし莫大なときはどのように方程式を解くのか疑問に感じた．
また周期解の周期が無限であった時同じ解がないということはぎゃくにいえばすべてが解となりうるということであり，解に取りうる値が実数値となるのかと思った．
良い質問だと思いますが，実数がどれだけあるか，ということだと思います．
固定点の求め方，固定点に対する安定，不安定の判断の仕方を，段階的に板書に書いていただいたことに加え，資料にのっている具体的なグラフを見ながら考えられるので，理解しやすかったです．
来週も楽しみです．
理解してくれて良かったと思います．
3周期解やそれ以上の解を求める場合は方程式が解けなくなるのでしょうか？
うまく工夫すれば，求めることが出来ると思います．
前回の例がなぜ安定・不安定なのかを解析的に理解できました．
ここまでの内容は面白く感じています．
よろしいと思います．
ロジスティック写像のとき固定点が2つになるが，両方の点が安定になることがないと知り，そんなことになるんだなと思った．
いいコメントですね．次回話をします．
他の授業と比べると，進度が遅いように感じるが丁寧に一つ一つ説明してくれるので理解しやすいと感じています．
2周期解は計算が複雑であったが，固定点も含まれているということに気づけば，多少簡単に解けるということにはとても納得しました．
同様にすれば，4周期解や8周期解等も求めることができるということでしょうか？
そうですね，ただややこしくなることには，代わりがないと思います．
計算する時間が多くあるため，しっかりと理解しながら次に進めるのでとても助かります．
特にロジスティック写像の2周期点についてよく理解できました．
自分でやってみると理解できますね．
カオスは未知のもの，難しいものと最初の授業では感じたが，徐々にカオスの詳細が明らかになっていくのがすごく面白くて聞き入ってしまうくらい興味が湧いてきました．
素晴らしい！
n周期解の定義としてn-1回目までは値が同じになってはいけないという条件を考えていなかったので盲点でした．
授業内で出てきた4次方程式の解として0が含まれることはぱっと見で分かったが，もう一つがすぐには気付けず，固定点を解として含んでしまっていることに気づけませんでした．
これは課題を解く際に必ず必要な考えだと思うので忘れずに復習しようと思います．
落ち着いてやれば出来ると思います．皆さんなら．
aが3より大きくなるにつれて周期解が2,4,8,....と2^n周期解になっているのが面白いと思った.
面白いですね．これを分岐といいます．
単純な差分方程式から思いがけない発見があって興味深いです．
そうですね．単純ですが，奥は深いです．
ロジスティック写像の2周期解は高校数学レベルで理解できると感じた.待ち時間が長いのでもう少し短くていいと思った．
確かに演習の時間は長いかもしれませんが，
皆さんと一緒に進めないと遅れる人は大変ですからね．
授業が全ての講義の中で一番わかりやすく，意欲的に取り組むことができています．
そう言ってくれると嬉しいです．．
固定点の安定性を求める意味や，ロジスティック写像の周期解を求める重要性などがわかりやすい説明により，理解できた．
また，2周期解を求める方程式で4次方程式が出てきたときに，固定点の値が求まっていれば方程式を因数分解できるという話も，考えてみれば当たり前であったが話を聞かされたときは驚いた．
理解してくれたようで，とても良かったと思います．
2周期解では4次方程式になったので，4周期解や6周期解ではどうなるのか規則性はあるのか調べてみたいと感じた．
また，aの値により分類されることを講義で聞いて理解したが，さらに自分でもaの場合ごとの図示を行い理解を深めたいと感じた．
また，2^n周期解ではない3周期解や5周期解というのは安定しないことは講義より明らかだが，存在するのか作図を通して調べたいと思った．
ぜひ調べてみよう．
・ロジスティック写像の２周期解の方程式を導出する時,
先生のコメントの前に固定点について因数を持つはずだと気づくことができた.
・今回は2周期解の方程式を導出したから4次方程式で済んだが,4周期解やそ
れ以上の周期解の方程式はどうするのか気になった.
・固定点の安定と周期解に繋がりがあるとは思っていなかったので驚いた.また,固定点を1周期会と考えれば今思えば当たり前に感じた.
それは素晴らしい．よく考えていますね．
授業毎に周期やら固定点やらで少しだけその正体を知れたと思っていたロジスティック写像が,今回の授業で固定点をaを使って一般的に求めることで大分全貌が見えてきた気がしてとてもよかった．
a 全貌は，まだまだですよ．