2020年06月10日 第5回
周期解について前回の授業後疑問が残っていてたが，今回の授業で解決できたのでよかった．
また，決定論的カオスについて学んだ．
解決したのであれば，良かったと思います．
たとえば私たちは数学において，サイコロの目が出る確率が同様に確からしいとして議論を進めることがよくあるが，実際にはサイコロの物理的な挙動を追うことができれば，出る目は決定的である．
同様に，世の中で確率論的に論じられる事柄も，実際には今回学んだカオスのように非線形な力学系によって与えられる複雑で予測不能な事柄であるかもしれないのだとあらためて気づかされた．
その通りですね．良いところに気づいていると思います．
決定論的でありながら，そのなかでカオスな振る舞いが現れるというのが，直感では想像がつきませんでした．
面白かったです．
確かにカオスの特徴として決定論的であっても，
予測不能と言われると，最初は驚くかもしれません．
自由度がどんなに小さくても予測不能で複雑な振る舞いを示す決定論的カオスは興味深いと感じた．
具体的な例を示しながら講義してくださったので，わかりやすかった．
理解してくれて良かったです．面白いですね．
複雑な事象は複雑なモデルから生成されるという考えはとてもよくわかるし，自由度が１の簡単なモデルであるロジスティック写像から複雑で予測不可能な事象が生成されることに驚くこともとても理解できる．
逆に世の中の複雑な事象がとても簡単なモデルで表現できる可能性があると考えると夢があるなあと思った．
夢がありますね〜．
今日の講義では2周期解の安定性からn周期解の安定性の考え方について，よく理解できました．
決定論的カオスの導入だけ最後に触れ，少し複雑でしたが興味深いので，来週の講義でしっかり理解したいと思います．
次回詳細にお話しできると思います．
前の授業の資料において,aの様々な値によるロジスティック写像を見たが,実際に2周期解の安定性を求めるなどすることにより,そのaの値には意味があるということがわかってとてもスッキリした.
そうですね．最初からカラクリをお話しできれば良いのかもしれませんが，
実際に安定性，不安定性について理解できないと
分かりにくいと思います．
最初にカオスの話を聞いたときはとてつもなく大きな話に感じて，面白いとは思うけれど漠然としていてよく分からない，といった印象でした．
しかし今日はカオスの話をきいて，奥深さを感じわくわくしました．
奥深いですね．もっとワクワクしてもらえると思います．
n周期解の不安定性・安定性も普通の固定点と同様に考えられるということがわかった．
もし解がベクトルになって写像が行列のようなn×n次元の話となったらどうなるのか気になった．
おー，素晴らしいコメント．もちろん，多次元の場合も考えることができます．
次回，少しコメントしようと思います．
カオス理論がとても興味深かったです．
今後データサイエンスの研究や解析に携わる機会があるときは先生の言ってたことを思い出すようにします．
そうですね．そうしてくれると講義をして良かったと思います．
確率論的でないのに，小さな自由度であっても複雑な振る舞いをするという性質をもつカオス，しびれました．
しびれましたか〜．素晴らしい！
安定性の判断に必要な，周期解の性質より作った関数を微分した固定点における大きさを，解の公式を用いることでn回に拡張しても求められることがわかった．
今までのように固定点を求めなくても関数の性質を理解できることを知ることができた．
周期が長くなると計算なども大変なので，
今回紹介したのは定性的な話なのですが，
紹介しました．
２周期解を分析することより，ｎ回写像とその固定点の安定性・不安定性を考えて，周期解とその安定性を理解しました．
よろしいと思います．
2周期解の安定性，不安定性の考え方がわかった．
a=4のときはどんな周期でも不安定であり，有限な値の周期解が観測されないことをカオスということを理解した．
決定論的の意味や予測不能がどのようなことかを知ることができた．
理解できて良かったと思います．
差分方程式の n 周期解の安定性，不安定性を議論するのがなぜ重要か．
という前回の課題に，「 n 周期解を求めることができれば，未来を予測できること」と回答したが，それは n 周期解を求める重要性であって，安定性・不安定性を求める重要性は，「周期解が観測されるかされないかが分かること」であると今回の講義を受けて考えた．
その通りですね．
全ての周期解が不安定となれば，
周期的でない現象が出てくることになります．
決定論的だけど予測不能というのがどういうことなのか分かるように次の授業もちゃんと聞いていきたいです．
統計やデータサイエンスに興味あるので，一見複雑で確率論的な振舞でもカオスのような決定論的なものもあるということを頭に入れておきます．
次回詳しくお話しできると思います．
カオスの数理的な定義があることに驚きました．
もしかして私達の身の回りにある不規則な値のうちカオスに定義されるものはとても少ないのですか？
今日紹介したのは定義ではなく，
あえて言えば，特徴と言えるでしょう．
次回，定義についてはコメントしますね．
「これがカオスだ」の瞬間は鳥肌が立ちました．
ロジスティック写像がカオスの振る舞いを表すaの値は4以外に存在するのかが気になりました．
鳥肌が経ちましたか〜．素晴らしい．
昔は，複雑な振る舞いは大きな自由度で確率論的なものによって起こると思われていたと知り，カオスがなぜ注目されているのかよく分かりました．
非線形性は遍在するので，カオス的な応答が出てくるのは
十分にあることですね．
今回の講義では，n周期解を求める際にもしっかり求めるアルゴリズムがあったんだとわかった．
また，それが安定なのか不安定なのかも固定点の時の拡張として求めることができるということもわかった．
さらに，授業の最後での，少数自由度で決定論性があったとしても非線形なだけで予測不能で複雑なふるまいをするということも十分に伝わった．
伝わって良かったと思います．
統計の分野で対処できないものを対処できる可能性があると知って興味が深まった.
よろしいと思います．
いよいよ次の回からカオスに入っていくのがわかりすこしわくわくしています．
あと今更ですが黒板の字がきれいで読みやすいです
ワクワクしていると聞いて，ドキドキしています．
カオスを知って，さらに世界を広げていきたいなと感じた講義でした
そうですね．ぜひ世界を広げてください．
n周期解の安定不安定を求めることによって，ロジスティック写像がパラメータaでどのような振る舞いを示すのかを計算で求められることが興味深いと思った．
また，ロジスティック写像がa=4のときにカオスになる理由が計算によって求められるのも面白いと思った．
そうですね．ちゃんと求めることができるのは面白いでですね．
2周期解，n周期解の安定性について理解できました．
決定論的カオスについて詳しく知りたいと思いました．
次回，今日よりは詳しくお話しできると思います．
自由度が大きくて複雑な振る舞いをしないときはあるのでしょうか?
良い質問ですね．そのような場合もありますね．
例えば，たくさんの素子があってそれらが結合した系を考えると，
大自由度と考えることができますが，
例えばメトロノーム同期のような現象もありますね．
n周期解の安定性・不安定性への導入までが非常にわかりやすかった.後，今のところ高校数学しか使ってないので非常について行きやすいです....
とても良いところですね．
数学としては難しくないところですが，
そこで理解ができるということもポイントです．
決定論的カオス……事象を紐解いていけば複雑でも，次が予測できるってなんか不思議な感じがします．
確かに不思議ですね．
カオスとは何かという話を聞いて，カオスをカオスであると証明するのは骨が折れそうだと思った．
おそらくカオスだけど証明は成されていないみたいな現象が存在したら面白いと思う．
その通りですね．見つけてください．
カオスがどんなものなのかだんだんと見識が広がってきました.データサイエンス分野に触れる話は聞いていて面白かったです.
どんどん広げてください．
前回の授業でn周期解についてまだよくわからなっかたが，今回でn回写像の固定点という説明を聞くとすぐ理解できました．
よろしいと思います．
今回はn周期解の安定性不安定性について学び，すべてのn周期解が不安定となった時にカオスになることがわかった．
2周期解はFの固定点を考えた時に2つとも同じになったため2つセットで安定性を考えたがn周期解の時もn個セットで安定性を考えられるのか疑問に思った．
カオスについて少数自由度の決定的非線形力学系の解が示す予測不能で複雑なふるまいと言っていたが言葉が難しくて理解しづらかった．
次回，再度説明しますね．
初期値が同じ場合は全て同じ結果を示すにもかかわらず，少し初期値がずれただけで全く異なる挙動を示すのは興味深かった．
(話がズレますが，「バタフライエフェクト」という映画を思い出しました)
おー，この映画見ましたか．
完全にランダムであるものが確率論とは限らなくて，少数自由度の決定論のカオスという可能性があり，カオスの面白さを感じました．
面白いですよ．
図を用いた，a=4のときの周期解の不安定性の説明がわかりやすかったです．
理解してくれて良かったです．
内容がついにカオスに踏み込んできて，さらに難しくなっていくと思うので，講義動画を見て復習しておこうと思います．
課題を解く際，前に教えていただいたGnuplotを使ってみたのですが，意外と多機能で使いやすかったです．
おそらく機能の半分も使いこなせていないと思いますが，今後も使い込んでいこうと思います．
gnuplotは使いこなすと便利ですね．
本格的なカオスの話が始まって，頭の中がカオスになったのでしっかり整理しようと思う．
分からないところは質問してください．
・決定論的であっても複雑な振る舞いをして予測不能であるというのは，何となく直観に反することではあるが，とても興味深いと感じた．
・ロジスティック写像のa=4でのn周期解の安定性を考えるときに，数学的な裏付けによってカオスの存在を感じることができたので，ツールとしての数学の偉大さを改めて思い知った．
その通りですね．数学は素晴らしい．
課題が難しくなってきたので，頑張ってついて行きたいです．
周期解などへの理解が深まった．
分からないところは質問してください．
カオスの意味がよくわかってとても面白い講義だった
面白いと思ってくれたので，とても良かったと思います．
固定点と周期解の性質についての説明が分かりやすくてありがとうございました．
どういたしまして．
講義を録画してくれてありがとうございます．
復習の時にはとても役立ちました．
来年以降，コロナが収まっても，動画を撮ろうと考えています．
変数が少なく(小数自由度)で，さらに決定論的なのに，非線形であると，予測不能になってしまうというのが面白いと感じた．
以前の講義で，|f'(x*)|=1または-1のときは「リアプノフ安定」と呼び，安定か不安定かの議論においては，不安定に入れていた．
そのため，|f'(x*)|>=1なら不安定，|f'(x*)|<1なら安定だと思っていた．
2周期解での議論を行った今回，|{F(x1)}'|=|{f(f(x1))}'|>1なら不安定，|{F(x1)}'|=|{f(f(x1))}'|<1なら安定と解説があったが，Fの固定点という考え方に落とし込んで考えるなら，|{F(x1)}'|=|{f(f(x1))}'|>=1なら不安定のように，|{F(x1)}'|=1の時も不安定のほうに加えるべきなのではないかと思ってしまった．
まだ聞いたばかりのため，少しこの辺りの話が整理できていないので考え直したいが，|{F(x1)}'|=1の時を始めとする，「n回写像と補助線の接点における接線の傾きの大きさ(絶対値)が1」の時も不安定に加えるという認識で正しいか教えて頂きたいと感じた．
うまく伝えられなかったかもしれませんが，不安定とは言わないです．
漸近的に固定点に近づかないですが，かといって，離れるわけじゃないので．
その通りで乱数生成にも応用できます．
統計の授業にあまり興味を持てなかった理由が何となくわかったような気がしました．
まぁ，それは個人的な感覚なので，私にはなんとも言えませんが．．．
感想ですが，自由度の低い動きって何があるんだろうと今模索してます．
見かけが複雑でも実はカオスを用いれば案外すぐに解析出来るものもあるんでしょうか，というところです
あるでしょう．
今回の講義でロジスティック写像の内容が一区切りついたので，改めて講義の内容をおさらいしておきたいと思いました．
そうしてください．復習は大切です．
カオスについて，とりあえず複雑なのかなという印象しかなかったが，今日の講義で概要は何となく掴めたと思う．
少数自由度でカオスになるものは他に何かないか調べたところ，前回の課題で出てきたテント写像もカオスになることを知った．
他にも様々なものがあり，想像していたよりも少数自由度でカオスになるものが多く驚いた．
次回，テント写像が出てきます．
カオスはとても面白く，奥深いということがわかった．
「決定論的で予測不能」がとても難しい．
きちんと復習しようと思う．
面白いですよ．奥も不快です．
n周期解に対する理解が足りないと個人的に思いました.引き続き講義などで理解を深めたいです.
分からなければ，質問してください．
固定点と差分方程式の関係と周期解とカオスとの関係を前回の講義と結び付けて考えることで，より深度の深い理解が得られた
よろしいと思います．
三年生の授業になると，どんどん面白くなったことを感じました
それは素晴らしい．
二周期解の安定性，不安定性は合成関数の微分などでも求めることが出来ると分かりました．
また，範囲の設定をすることで更に安定か不安定かを知ることが出来るということが分かりました．
絶対値をつけたグラフの際に，範囲を知るやり方が良く分かりませんでした．
分からないところは質問してください．
途中式が細かくてすごく助かる
自分でも追えるようにしておいてください．
データサイエンスを学ぶ際に，確率論だけでなく決定論についても学ぶことが大切であるのだと知れて，とても良かったです．
また，カオスの決定論的であるにもかかわらず，予測不能であることがおもしろかったので来週の講義も楽しみです．
楽しみにしていてください．実際，楽しいですよ．
ロジスティック写像について少し調べてみたら，分岐図がフラクタルになっていることや，マンデルブロ集合のmain cardioidから順に連なるbulbやneedleと，分岐の間には対応があることを知った．
こんなにも単純な式から，とても複雑な振る舞いが見られ，とても興味深いと感じた．
物理は近似の学問のような言葉を聞いたことがあるが，カオスについての知らずに近似式を立ててシミュレーションを行うしてしまったら，現実とはまるで異なる結果が得られる恐れがあり，モデルの構築には慎重になるべきだと思った．
おー，素晴らしいですね．よく勉強しているとおもいます．
また後半もとても良いコメントですね．
以前の授業でもお話しされてましたがカオスの決定論的だが予測不可能という点が最もおもしろいです．
一意にかならず定まるのに予測できないそれほど身の回りの力学系の振る舞いは解明しきれていないということでしょうか？
良い質問ですね．次回，この話をしようと思います．