2020年07月01日 第8回
ポアンカレ断面が実際どのような形になっているのか確認するためにネットで調べてみたが，いろいろな形があり，写像をみるだけでもとても興味深いものであった．
C言語で作っていたサイトもあったため実際に行ってみようかなと思う．
それが良いですね．自分で作るのが一番．
オシロスコープであのような実験ができることに驚きました. 周期解からカオスに変化するところを実際に見ることができてとても面白かったです.池口研究室のYoutubeチャンネルがあることを知りませんでした.
面白いですよー．是非みてください．
台風の予測線の形はカオスの計算式が使われていることは面白いと思いました．
「カオスの計算式」ということではなくて，
これはあくまで長期予測不能な例ということです．
・予測不可能性が，観測精度が無限大にはなれないから引き起こされるということは，仮にものすごく性能の良いマシンを用いれば，例えば数兆回までの写像後の値を決定することは可能なのだから，「全てを予測することはできなくても，ある程度先までは予測できる」ということを上手く利用できたりしそうだなと思った．
何に使うのかは分かりませんが・確率論的なコイントスから決定論的なロジスティック写像を導けるというのが興味深かった．
これは，具体的にはどのようにパラメータを決めるのでしょうか？ f(x)=ax(1-x)の式にひたすらたくさんのxを代入し続けて，最適なaを見つけるということですか？
おー．素晴らしい．その通りですね．
後半も良い質問です．次回コメントしますね．
電気回路でなぜカオスが起きるのでしょうか
紹介した回路には，非線形性があるからです．
決定論的と確率的は同時に現れることが不思議だと思うから，カオスについての勉強も面白くなりました！
素晴らしい．
決定論的な系列から確率論的な系列への対応があり，その逆も成立するということに驚きました．
面白いですよね．
今日一番印象を残ったことは最後の動画です．
「2次元の図とは異なって，カオスの3次元の様子こうでしたか」と感じました．
また，課題の〆切を延ばしてもらい，ありがとうございます！頑張ります！
頑張って．
分岐図について理解できました．
来週のデモが楽しみです．
次回はデモから入りますね．
ロジスティック写像は周期倍分岐をしていたが，他の写像だと全く違った分岐の仕方もあるのかなと気になりました．
例えば，ロジスティック写像のような曲線の分岐ではなく，直線で分岐するような分岐の仕方もありそうだなと思いました．
また，ロジスティック写像の分岐図や電気回路の動画を見て，綺麗な形だなという印象を持ちました．
おー，素晴らしい．周期倍分岐する条件はわかっています．
この講義は入門なので，深く触れませんが，大学院の講義で説明します．
大学院に進学してください．
フォンノイマンといえばかなり初期のコンピュータに関わっていた人物だが，その時代からカオス（の概念）が存在していた（発見・認知されていた）のに驚いた．
確かにすごいですね．
値の差が小さい2つの初期値も，写像を繰り返していくと値の差が大きくなり，初期値鋭敏依存性のイメージがつかめました．
台風の進路など，なにかを予測する際には初期値の精度が重要だと感じました．
微分方程式においてパラメータを変化させてカオスに到る様子を視覚的にとらえられて，微分方程式における周期性のイメージもつきました．
デモは必要ですね．
最後の映像は，実際に周期がかわっていく様子・カオスになる様子がわかってすごく印象に残りました．
授業が進むにつれてカオスの様々な特徴が学べておもしろいです．
面白いですよ．これからも．
ロジスティック写像の分岐図は前から知っていたが，読み取り方などがよくわかっていなかったので，講義中に知ることができて良かった．
ロジスティック写像の周期は2の冪だけだと思っていたが，分岐図にところどころある空白の部分が奇数の周期になっていると聞いて驚いた．
あんなに単純な式からこれほど複雑な振る舞いが生まれるということが，とても不思議だ．
そうですか．理解してくれて良かったと思います．
また，とても単純な式で，これだけ様々な現象が出てくる．
やはり非線形はやめられませんね．
実験で観測された値は目分量により細かい部分が四捨五入されますが，四捨五入された小数部分も大切であると思いました．
その通りですね．
aが増加するにつれ，n周期解のnは2，4，8，16，・・・と増加し続けるものだと思っていたのですが，途中で3周期解などが現れるのはとても興味深いと思いました．
「カオスとフラクタル」，時間を見つけて読んでみようと思います．
ぜひそうしてください．
決定論的カオスと確率論的カオスの互換性の話には，すごく興味がわいた．
特に，確率論的に与えられたコイントスの系列をロジスティック写像の系列に置き換えられるということは，ロジスティック写像の系列において，時刻tまでは同じ表裏の系列の集合のうち，時刻t+1で表となる系列は半分ということだろうか．
是非とも，この互換性に関する証明に目を通してみたいと思う．
是非そうしてください．
板書のスライドのPDF版欲しいです．
動画を公開しています．
周期が2→3→4じゃなくて, 奇数のものはもっと後に突然出てくるのが不思議でした.
突然ではなくて，理由はあります．
詳細は大学院の講義で！
ナビエストークス方程式は「数値計算」という他の授業で出てきたので，他の授業や他の分野とのつながりが垣間見れて面白く感じた．
ロジスティック写像は離散だったが，今日紹介されたレスラー方程式は連続と思われるので，離散でも連続でもカオスが見れて興味深かった．
大学院には行こうと思った．
しかし，その前に研究室配属がどう決まるのかが心配だと思った．
そうですか．藤井先生の講義ですかね．
流体力学分野ですね．
カオス理論を学んで世の中に役に立つことができると思うと勉強しがいがあります
面白いですよ！
いつもコメントBOXに時間内に提出するのを忘れてしまいます．
すみません．
授業内でもおっしゃられていたのですが分岐での突然空白になる部分が面白いと思いました．
一見法則性をつかんだら規則で表現できるように見えるカオスがまた不規則になるというところが面白いと思います．
実際の実験画像でもその瞬間光がほぼ０になるというのが確認できて面白かったです．
コメントの提出は，必須ではありませんが．最後に役立つかもしれないと，
最初に言いました．
動画を見て，可視化されているとわかりやすいと感じました．
自分が研究に取り組むときも，図や動画を用いて可視化したいと思います．
可視化は大切ですね．
ロジスティック写像の分岐図で白いところは奇数が関係するというお話をチラッとされていたが，その理由が考えても分からなかった．
少し興味がある．
ぜひ進学して大学院の講義を聴きに来て．
任意の無限記号列ωに対応するロジスティック写像が必ず存在するというのは，マクロな点から見てみればロジスティック写像の取りうる振る舞いは無限通りあるといえるので，そのどれかに一致するランダムな記号列が存在するのは当たり前ではないかと思ってしまった．
おー，素晴らしい．その通りですね．
論文で発表されたソリティアの説明で決定論的，確率論的な関係が腑に落ちました．
今日はネット環境がひどく悪く，途中何度も接続が切断したので，動画のアップロードは助かります．
後でゆっくり見ます．
理由は不明ですが．．．動画をあとでアップしますね．
フラクタル断面面白かったです！あまり原理がわからなかったので自分でも調べてみようと思います
ポアンカレ断面ですね．
・初期値における非常に小さな誤差が指数関数的に拡大されるので，初期値鋭敏依存性が生じる．
・決定論的→確率論的(逆も成り立つ)・固定点の安定性の変化や周期倍分岐について理解することができた．
よく理解できていると思います．
ウラムとノイマンのロジスティック写像によって乱数が生成できるという話の下りで，初期値について in the sense of Lebesgue measure とあり，この Lebesgue measure はどういう意味なのかが気になった．
また，Chua の回路のデモ動画を観て，カオス的過程の計算には無限精度の値を保持する必要があり，それはアナログ表現でのみ可能と考えられるから，こういった現実のアナログ的なモデルを応用することでカオス的な対象の数値計算が行えないかと考えた．
ルベーグ測度というのは，ざっくりいうと，面積とか体積を一般化して尺度です．
次回コメントしますね．
任意のランダムな無限記号列に対して，対応するロジスティック写像の系列が存在する ということに対してほんとか？っという風になっている．
天気も記号列とできるのだから，今までの天気すべてに完璧に当てはまるロジスティック写像も存在はするということなのだろうか．
それが予測に使えるかは別として．
その通りです．どれかを探すのが難しい．
8回ほど講義を受けているうちにカオスについて大分詳しくなってきた気がしていましたが，確率論から決定論への対応関係を持っていることには驚きました．
毎回新しい性質が出てくるので，聞いていて面白いです．
面白いのであれば良かったと思います．
今日の授業では,授業の後半からzoomの接続がとても悪くなってしまってあまりしっかり受けることができなかったので,アーカイブを参照して授業をまた受け直そうと思います.こういう時に授業アーカイブが残っていると助かります.他の授業では残していない授業もあるので...授業の内容においては,前回自分がコメントに初期値鋭敏依存性について予測を書いた通りの説明だったので自分の理解がある程度に達していることが確かめられました.後半の内容は前述の通りあまり聞き取れませんでしたが,デモ映像は丁度見ることができました.
動画は残すようにするので，再度確認してくださいね．
説明を聞いたら分岐図の面白さを感じました
面白いですよ〜
実在系の電気回路の分岐の動画なかなか綺麗だったなぁと．
くっきり３周期の部分も見えて驚きました．
分岐図で空白以外の部分で気になった部分として部分的にプロットされた箇所が濃い線状に見えるところもあってこれも何らかの形で影響を及ぼすのかなって疑問に思いました．
そうですね．うまく周期解となることも観測できます．
1000桁目の値が違ってもそんな大差出るわけないと思っていたんですが，今日の話を聞いて簡単に差が出てしまうことがわかりました．
もっといえばさらに大きい桁でも容易に差が生まれてしまうということもわかりました．
>
その通りです．
最後の動画が神秘的ですごく興味が惹かれたのでyoutubeでもう一回見たのですが耳が破壊されました
はい，是非そうしてください．
カオスに興味がわいたので，「カオスとフラクタル 非線形の不思議」を書店で見かけたら読んでみようと思った．
そうしてください．
今回の授業では，まず初期値鋭敏依存性が生じる理由が1回の写像ごとにビットが左シフトするところにあることがわかった．
また，無限の精度で観測できないから予測不能であり，天気予報もこういった理由ですべてが予測できないということも面白かった．
そして，ポアンカレ断面の動画は，音が不快だったもののとても興味深いものだった．
音もそんなに酷くないと思います．
分岐図はなかなか興味深かった．
安定性交代分岐と周期倍分岐が観測されるのも面白いと感じたし，2^n周期解が表れる中で奇数の周期解も存在するという話も興味がわいた．
詳しくは大学院の講義で！
ランダムな振舞を示す系列から，カオス的な振舞いを示す時系列への対応を考えることができることに驚き，興味が湧きました．
是非もっと調べて興味を深めてください．