2021年05月19日 第5回
決定論的であるがカオス・ランダムな振る舞いをするのは興味深いと思った．
逆にランダムな現象にも決定論的な法則があるかもしれない，というのがすごいと思った．
面白いところですね．こちらについては次回話をします．
固定点の安定性を考え，不安定であれば2回写像した固定点の安定性を考える．
2回写像でも不安定であれば4回写像のようにn^2回写像を続けていくのではないだろうか．
沼にハマった．
沼？
初回の講義で「見た目に予測不能でもルールが存在する場合がある」とおっしゃっていましたが，ロジスティック写像におけるn周期解の安定性を考えることで，規則があってもカオス応答になることがあるということがより身に染みて分かりました．
身に染みて理解してくれて良かったと思います．
ロジスティック写像のような簡単に表される差分方程式がa=4など，場合によっては非常に複雑な振る舞いをするということが良く分かった．
だから,非常に複雑な振る舞いに見えても,簡単な差分方程式で表せる可能性があるということ分かった．
これらは導入の時に先生が話していたが,今回の授業で改めて理解できたと思う．
理解してくれて良かったと思います．
資料のロジスティック写像のaの値がなぜ2.9，3.3，3.52のような中途半端な値が設定されていたのかがわかってスッキリした．
固定点の安定性の調べ方が，周期解の安定性の議論にも使えることには驚いた．
よく理解してくれていると思います．
今まで，一周期における図を用いていて，あまり拡張性がないと感じていたため，まさかn周期の解も同様に図で表せることに驚き，感動した．
また，図示には限界があっても，数式を解くことによって新たなことが導けたりと，図示と数式が共に，お互いの欠点を補い合っていると感じた．
感動してくれて良かったと思います．
固定点が安定か不安定なのかを判断するときに固定点の接線の傾きを見ることの便利さを知った．
視覚的な判断なので証明には用いれないことを覚えておく．
解析的な話は次回しようと思います．
カオスは非周期的な解をとることであり，ロジスティック写像においてa=4の時に必ずカオスになることがわかりました．
よろしいと思います．
複雑な振る舞いの背後にある関数が単純なものなのか複雑なものなのか，あるいはランダム性を含んでいるのか，はどうやって推定するのでしょうか．
良い質問ですね．それはモデル化のプロセスの話になるので，
別途紹介したいと思いますが，元のデータがランダム性が含まれているのかどうかは，
時系列解析手法などを用います．
決定論的なのに f が非線形だと非周期的な解がでてきてこんなに複雑な振る舞いをするというのがわかってとても面白いと思いました．
また，最後の予測不可能という言葉がとても気になりました．
面白いですよね．次回紹介しますね．予測不能という話．
今日の講義で2周期解についての安定性について実際に手を動かして計算しながら求めていくことができました．
写像と周期解，固定点と安定性の関係について今までの講義の内容も踏まえながら全体を捉えることができ，しっかりと理解した状態で次の単元に進めることを嬉しく思いました．
よろしと思います．
今回の授業を聞いて，メルセンヌツイスタは，周期nが無限に近いn周期解のような考え方が使われているというかと思った.
アルゴリズムは違うと思います．
ロジスティック写像という単純に見える図形からカオスが発生することが驚いた
驚きですね．
前回の内容も含め，不安定と安定の概念が理解できできた．
aの取る値が変わるにつれ挙動が複雑になってゆくところが難しいけど，考えがいがある
よろしいと思います．
シンプルな系からカオスな解が出てくることを，理論的に証明できるというのが面白かった．
面白いですよね．
差分方程式は決定論的システムであるが，fが非線形であると複雑なふるまいをするのがおもしろかった．
来週のカオスも楽しみです．
楽しみにしていてください．
簡単な式から非周期性を持つ数値を生み出せることに驚いた．
確かに驚きですね．
決定論的なシステムでも，それが非線形な関数で表されるなら，解は非周期的な振る舞いをするという話は大変面白かったです．
カオスというのは，全くランダムな現象だと認識していたので，決定論的なものにも存在するというのは衝撃的でした．
カオスとは何かについては，次回話をします．
固定点の安定と不安定に関する知識を誤解していた部分があることが分かったので，とてもよかったです．
理解できたのであれば，良かったと思います．
今回は2周期解の安定性から始まり，最終的にn周期解についても考えた．
非周期とわかる仕組みが理解できてよかった．
理解できてよろしいと思います．
2周期解をもつ式の微分した後にaの範囲を求めた時に，そのaがどこから来たのかがわかりませんでした
a はロジスティック写像のパラメータですね．
ロジスティック写像に関して，「カオス」と呼ばれる状態がどういうものであるか正しく理解できました．
aの値がマイナスのときはどのような動きとなるのか知りたいです．
マイナスとなった場合も同様なので，ぜひ自分で調べてみてください．
周期解に関する考え方自体は単純であったものの，実際に解を観測する際のふるまいは非常に複雑であり，計算量も多いため注意するべきだと感じた．
確かに振る舞いは複雑ですね．
カオスとは何か知らなかったが，今回の授業でカオスが登場し面白いと思った．
面白いですよ．
周期解の求め方や，その性質，カオスとは何かの触りがわかった．
次回，もう少し詳しく話をします．
ロジスティック写像のような，見た目が非常に簡単な式でもa=4としただけでカオス状態になってしまうのが非常に面白かったです．
次回以降のカオスについての詳しい説明がとても楽しみになりました．
楽しみにしていてください．
差分方程式によって導き出された結果から非周期性がカオスと呼ばれている一方で，一般的なカオスの解釈から考えると無秩序ととらえてしまうが，ここでは秩序だっていると考えると随分としゃれているなと思いました．
確かにそうですね．
前回は固定点の安定性を求めたがそのときに，aの値が少し変わるだけで2周期解，4周期解と大きくなると思っていたがちゃんと数的な理由があって，前回の授業では今回扱った計算方法が浮かばなかったのでそこを理解することができてよかった
理解してくれたようで良かったと思います．
a=4のときは非周期的な解になるとのことですが，それより大きくなった場合は，また周期的な解をとるようになるのですか？今回の授業は非常に楽しかったです
a=4を超えると，x_tの値が発散してしまいます．
n周期解に関す説明が詳細にされていたため，非常に分かりやすかった．
ただ，オンラインだとどうしてもまだ音が聞こえずらい場面があったり，画面がカクカクすることがあった．
動画も用意してあるので，そちらでも確認してください．
復習しながら進むので理解が定着しやすくていいと思った．
よく理解できていると思います．
周期解と安定性の関係について学ぶことができた．
カオスに対して以前より興味がわいた．
興味がわきましたか．．．素晴らしい．
前回出てきたn周期解について，グラフ上での直感的な理解ができました．
a=4の時に解が任意のnに対して不安定になっていることをグラフ上で確認することで，より面白いと感じました．
なぜこのように非周期的な解が発生するのか不思議です．
理解してくれたようで良かったと思います．
何回写像しても同じ値は出てこないことは，直感に反することで驚いた．
確かに直感に反するのかな．．．
資料p34の説明についてわからなくなってしまったのですが，その後のページの説明を聞いて理解できたので良かったです．
また，本日他の授業で「図式解法」という用語が出てきたのですが，本授業のおかげで理解を深めることができました．
様々な授業で学んだことがつながっていることを実感できたので，学習に対する意欲が高まって良かったです．
図式解法が出てきたとのことです，どの講義ですか？
n周期解についての理解が深まりました．
遠隔での授業が久しぶりでしたが，黒板を一画面で全て写してくださる方法がとても見やすく池口先生がたくさん移動してくださるため遠隔でも授業が受けやすかったです．
受けやすかったのであれば，良かったと思います．
2周期3周期…n周期解についての固定点について考えながら学ぶことができて良かった．
手を動かしながら考えていくことは大事だと思った．
そうですね．手を動かすのは大切ですよね．
決定論の話を聞いて，宇宙の未来は全て数学的に求められるというようなパラドックスを思い出しました．
そこ関連の話も今後聞けるのでしょうか．
身の回りにある非線形的な振る舞いを学ぶのが楽しみです．
関係しますね．
決定論的であっても，非線形性であることにより複雑で，見た目がランダムな結果が得られることがわかりました．
また，写像と45度の直線の交点の傾きを求めることで，計算しなくても簡易的に固定点が安定か不安定かわかることも理解できました．
よろしいと思います．
周期階について，理解に苦しんだ部分んがあるので，しっかり復習したいです．
どこが分からなかったでしょうか．質問して下さいね．
資料にあるa=3.3とa=3.52でどうしてふるまいが異なるのか今回の授業でわかった.
よろしいと思います．
カオスの存在から，一見ランダムに見えるふるまいでも簡単な式で決定論的に表せるかもしれいないということが分かりました．
その通りです．よく理解してくれていると思います．
n周期解の安定性が図式解法で傾きを調べるだけでわかるのは楽でいいなと思った.
1次元写像の場合はこれが分かりやすいと思います．
aの値がロジスティック写像や2周期解の安定性に影響を与えることが分かり，aの値はとても重要なことが理解できた．
a=4の場合にはカオスとなることを知った．
よろしいと思います．
カオスがどれだけ驚くべきものなのかがよくわかった．
素晴らしい．
非線形であれば，決定論的なシステムでも非常に複雑なふるまいをすることがあるというのはとても興味深かったです．
まだ，授業だけでなく質問にも分かりやすく答えていただけたおかげでとても理解が深まりました．
理解してくれて良かったと思います．質問は大歓迎です．
ロジスティック写像のカオスについてだが，複雑で予測できないように思えたが，区間を絞れば方程式を求めて予測が可能ではないかと考えた
おー，とても鋭いコメント．次回，話をしますね．