2025年10月22日 第6回
本日の講義では，
Hodgkin-Huxley方程式の内容に入りました．
方程式の構造がなぜ一変数や二変数の微分方程式になっているかなどを，
これまで扱った内容に基づいて見ていきました．
これまで，
いろいろな式やモデルを習ったり，
用いる場面はありましたが，
ただ使うだけということが多かったように思います．
精々，モデルのどの部分が実際のどの部分に対応しているか確認する程度であり，
今回のようにこれまでの内容を基に，
方程式の構成から辿っていくのは面白かったです．
面白いと思ってくれたのであれば，良かったと思います．
高校の時に物理を勉強しているときに，
定量的に議論することも大事だが，
定性的に答えを予想したり，
結果が整合するか考えたりすることも大事だと教わったのを思い出した．
授業でやったような考察は微分方程式を解かずともおおまかな振舞いを見るもので，
モデルのあてはまりの必要条件のようなものを簡単に調べるのに有用なのかなと思った．
その通りです．振舞いがどのようになるのかを知ることができますね．
本講義では，
Hodgkin-Huxley方程式を中心に，
K⁺コンダクタンスの時間変化をモデル化する過程について学んだ．
特に，
dn/dt の式が一次関数の形式で示せて，
どの時刻tに対しても安定点が存在し，
そこへ指数関数的に収束していくという性質が印象的だった．
この安定点の考え方は，
以前に学んだモデリング理論でも扱われた内容と重なり，
生理学的現象を数理的に同様の枠組みで説明できる点が非常に興味深いと感じた．
理解してくれていると思います．
今回の講義では，
神経細胞の活動電位が微分方程式によってどのように記述され，
シミュレートされるのかを再確認した．
これにより，
脂質二重層やイオンチャネルといった細胞膜の要素が，
数理モデルの各項にどのように対応しているのかをより深く理解できた．
まだシミュレートされるところまでは話していないですが，
次回お話しできるでしょう．
数学が苦手なので，
グラフとか式が難しくて混乱します．
分からなければ質問してください．
Hodgkin–Huxley方程式の導出過程を通じて，
実験で得られた電流データがどのように数理的に定式化されるかを理解することができた．
理論が単なる抽象的記述ではなく，
実測データから論理的に構築されていることを実感し，
神経活動を方程式で定量的に説明できることの意義を改めて認識した．
そうですね．説明できるので大切ですね．
本日の講義では，
回路からHH方程式の軽い導出を学んだ．
また，
微分方程式の復習も行った．
非斉次の1回微分方程式の解き方を忘れていた．
忘れていた，ということは，やはりすでに習っていて， 思い出せたということですかね．
本講義では，
関数とその1階微分が1次関数の関係(dx/dt=ax+b)になる場合，
その関数は指数で収束するか発散することが解析的及び定性的にわかりました．
tが増加するときに収束するのはa<0のときですが，
モデリング理論の時のように離散的にx_(t+1)とx_tの関係式を
x_(t+1)=x_t+dx_t/dt=(a+1)x_t+bと表したところ，
dx_(t+1)/dx_tはa+1で，
a<0のときa+1<1で確かに収束します．
ただ，
正確には収束条件は-2<a<0で，
a<=-2のとき収束しなくなってしまいました．
これはtのステップが1なのが問題だったようです．
時間の刻み幅の違いによる微分方程式と差分方程式の振る舞いの違いを垣間見ることができました．
色々とトライしていてよろしいと思いますが，
ちょっと違う部分もあるので次回触れたいと思います．
電気回路は知識が少なく理解するのが大変だった．
脳の回路という自然現象をモデル化して電気回路に当てはめ，
その動きを記述することができることに毎回驚きがあります．
微分方程式を最後まで解かなくても系の振る舞いのおおまかな性質を予測できるということを理解した．
理解できていますね．
微分方程式の良い復習になった．
よろしいと思います．
今日の授業では，
神経興奮の数理モデルとしてホジキン・ハクスレイ方程式について学んだ．
ヤリイカの巨大軸索を用いた実験から，
ナトリウムイオンとカリウムイオンの流れが
活動電位の発生に関係していることを示した点が印象的であった．
特に，
イオンコンダクタンスが電位や時間に依存して変化するという考え方が，
神経信号の伝達を定量的に説明できることに驚いた．
確かに驚きですね．さすがノーベル賞を受賞していることがあると思いますね．
今回の講義では，
RC直列回路における抵抗の両端電圧の時間変化を回路方程式，
そして定性的に解く方法の2通りで求めた．
特に，
dq/dt - Qのグラフにおいて，
平衡点に向かっていくようにQが変化していくことから，
V_R - tグラフの大まかな概形を導ける部分が興味深かった．
解かなくても，振舞いがわかるのは大切ですね．
今日の授業では，
イオンコンダクタンスの電位依存性について，
実際に積分することで式の導出を行ってもらった．
正直，
積分を自分ですることはほとんどなくなっているため，
あまり式変形はピンとこなかったが，
カオスしかり，
複雑な関数については手動で積分する必要があると思うので，
また復習する必要があると思った．
実際の場合は，解析的に進めるのは難しいので， 数値的に積分しますね．
ホキシン・ハクスレイ方程式を習って，
ヤリイカを用いた実験からこの方程式を導けるのはすごいと感じた．
そうなのです．すごいのです．
Hodgkin-Huxley方程式の学習を通じて，
生物の電気的活動を再現するモデルの奥深さを感じた．
特に，
Kイオンチャネルの動作原理やコンダクタンスの変化が，
ニューロンの動的特性を左右する点が印象的だった．
そうですね．実験データをみてそれに合わせるようにしていくプロセスが
面白いですね．
ホジキン・ハクスリー方程式について学んだ．
電位回路など学んだのは受験期か一年の物理学が最後であるので，
正直曖昧な知識も多かったが，
今日の講義を通して記憶が断片的ではあるものの戻ってきた気がする．
断片的ではなくて，全て繋げてもらえると良いでしょう．
今回の講義では，
膜電位の微分方程式について取り扱っており，
今までの内容をより深く理解することができた．
また，
ホジキン—ハクスレイ方程式についてもっと学びたいと感じた．
素晴らしい．元論文を紹介しましょう．次回．
今回の講義で，
前回分の課題の中でも問題7,8の部分についてさらに理解を深めることができた．
この範囲については課題の提出に先立って勉強していた部分があったので，
問題なく学習を進められた．
毎回の課題に解答するのは決して楽ではないが，
繰り返し学習することで定着が容易になるという実感もあるので，
以降の課題についても可能な限り完成度を高めていきたいと思う．
ぜひ高めてください．
今回の講義では，
主にホジキンハクスレイ方程式における，
カリウムイオンのコンダクタンスの式においてnという1変数が
なぜ用いられてるのかというのを学んだ．
グラフの形からや，
電流・電圧を1変数の微分方程式を解くことで求めることができることから
説明がつくと分かった．
定性的に求めるやり方で，
微分したQがどこに収束するかは分かったのですが，
そこからどのように微分方程式の解のQ(t)が求められるのか分からなかったです．
次回再度触れますが，定性的に求める方法では解の変化の様子がわかるだけなので，
具体的な式がわかるわけではありません．
イオンのインダクタンスの定式化，
モデリングに対して，
微分方程式から式を生み出すという手法は初めて見たので，
新たな視点が生まれて良かった．
色々な見方がでいると良いですよね．
神経興奮の電気的原理を，
ヤリイカ実験を通して理論と実験の両面から学び，
ホジキン・ハクスレイ方程式により神経活動を定量的に理解できた．
理解できたのであれば，よろしいと思います．
今回の講義では，
ホジキンーハクスレイ方程式モデルにおける等価回路にて，
各電圧の時間変化を回路方程式から求める方法と，
回路方程式を解かずに定性的に求めることからコンダクタンスの変化を捉えて，
回路方程式からKコンダクタンスの変化をチャネルの開閉を軸にモデル化した．
ホジキンさんとハクスレイさんは
このモデル化を試行錯誤しながら創ったことを想像すると，
よりすごい人達だなと思った．
そうなのです．すごい人たちなのです．