2025年07月09日 第13回
本日の講義では，
RSA方式で公開鍵，
秘密鍵を作成したり，
暗号化，
複合の仕方について知ることができた．
高校のときに絶対に使うと思わなかった合同式が暗号理論のとき出てきて，
習うもので必要ないものはないんだなと感じた．
暗号理論において，
合同式は非常に有用であると知ることができた．
使うことがないことは無い，ということですね．
今回の講義では公開鍵方式の仕組みや例を学んだ．
名前だけは聞いた事があったRSA暗号の仕組みを学ぶことが出来て面白かった．
使い捨てパッドで鍵が長くなるのが欠点の1つとして挙げられていた事を踏まえると，
離散対数や楕円曲線はただ複雑化させるだけでなく解読の難しさに対し鍵が長くなりにくいという点でも改善されているように見え暗号化技術の発展を感じた．
そうですね．発展していますね．
今日の講義では，
RSA暗号・ElGamal暗号・楕円曲線暗号の加法について学びました．
RSA暗号では素因数分解の困難性を利用した公開鍵暗号の仕組みや，
逆元の計算の重要性を理解しました．
また，
ElGamal暗号ではDiffie-Hellman鍵共有をベースにした暗号化の流れを整理できました．
関連していますね．整理できて良かったと思います．
今日も授業ありがとうございました．
複合はうまくいったのですが，
概念があまり理解できていないので復習を頑張りたいと思いました．
うまく復号できたのであれば，良かったと思います．
分からないところは質問してください．
本日は少しだけ暗号化の方法を試してみることができ，
より暗号化・複号のことを理解できました．
課題でも実際にやってみる問題があったので，
じっくり取り組みたいと思います．
そうですね．まずは実際にやってみるのが良いと思います．
楕円曲線暗号で何をやっているのか，
難しくてあまり理解できなかったので，
次回までにある程度の理解ができているように復習します．
来週改めて説明しますね．
今回の講義では，
暗号化の仕組みについて実際に数式を用いて学んだ．
暗号化と合同式がこれほど密接に関係しているとは知らなかった．
数式とグラフが出てきて，
すぐに理解することが出来なかったため，
自分で試行錯誤しながら理解できるようにしたい．
合同式は重要ですね．
楕円曲線は暗号と結びつかなそうな名前をしているのに重要な役割を持つのが興味深い．
確かに結びつきそうに無いですね．
RSA暗号の強度は素因数分解の難しさに頼っているという部分しか知らなかったので，
どういう経緯でその話が出てきているかがわかってよかった．
また整数になると逆の演算が全体的に難しくなると感じた．
逆演算が難しくなるというのはその通りだと思います．
特に，乗算と除算，累乗と対数ですね．
本日の講義ありがとうございました．
楕円曲線暗号について，
新しく学ぶことができ大変興味深かったです．
授業時間の都合上，
記号接地問題についてお話しいただけなけないのは非常に残念ですが，
自分で調べてみようと思います．
ところで，
情報工の先輩から，
先生がナナヲアカリさんの「チューリングラブ」が好きという噂を聞きました．
私も大好きな曲なので，
もし本当でしたらとても嬉しいです．
この先輩は誰なのですかね．．．．
ナナヲアカリさんの「チューリングラブ」は全く知らなかったので，
調べてみたら，この先輩が言ったことが推察できました．
この曲は，リケ恋のアニメ版のエンディングで使われていたのですね．
リケ恋の作者の山本アリフレッド先生は，私の研究室で卒論をやったので，
その話からこの曲が好き？という噂になったのかな．
楕円曲線暗号がビットコインなど幅広く使われていることと楕円ではないことに驚いた．
楕円ではないのですよ．
RSA暗号は今もうあまり使われておらず，
楕円曲線を用いた暗号が主流ということに驚きました．
どの暗号方法もきちんと鍵情報が共有できるのが計算で求められて仕組みを納得できました．
計算が正しくできましたか？良かったです．
RSAを用いる場合は鍵の長さを長くする必要があると言われています．
RSA暗号，
楕円曲線暗号などの名前だけ聞いたことがある暗号方式の内容を知れてよかったです．
そうですか．これらはどこで聞いたことがありましたか？
今回の講義では，
実際に手を動かして楕円曲線上の点を書いてみたが，
やはりとてもわかりやすかった．
そうですね．実際にやってみるとわかりますね．
今回の講義では本格的な数式や楕円などの複雑なグラフが出てきて内容がより一層難しくなったと感じた．
テストが近いため，
遅れをとらないようにしっかりと復習を頑張りたい．
分からないところは聞いてください．
rsa暗号の使い方について理解することができた，
あのような暗号を作れる天才がいた事にすごく驚いた
確かにすごいですね．
楕円曲線暗号と聞いた際に，
なぜ楕円の形をしていないのに楕円曲線暗号という名前なのか気になった．
また前回から引き続き複数の暗号を習ったが，
考え方が違うことはわかるものの，
どれはどの場面に適しているのかやセキュリティにどのように影響してくるかなども気になった．
暗号自体は強いかそうでないかという観点が第一ですかね．
今回の講義ではRSA暗号や楕円曲線暗号などの暗号について学んだ．
RSA暗号に関しては素因数分解ができれば解けるということは知っていたが，
具体的に平文を暗号化して復号する流れまでは理解していなかったので，
知ることができてよかった．
また，
Elgamal暗号の基礎にはDH鍵共有があるので，
暗号技術の歴史を感じた．
RSA暗号を暗号化，
復号する流れは複雑だったが，
Elgamal暗号は公開鍵が2個だがシンプルで，
覚えやすくて良いと思った．
もし興味があれば，元論文を読んでみましょう．
何ごとも第1次情報を参照するのが大切です．
楕円曲線の方程式を，
合同の記号で繋げた式のグラフのイメージが，
難しかった．
次回の授業で理解を深められたら良いと思う．
次回続けてお話ししたいと思います．
今日の授業も面白かった．
数学を勉強して習ったものが暗号化に実用されていることを実感し，
感動した．
数学は大切ですね．
本日も講義ありがとうございました．
様々な暗号について教えていただきましたが，
数学の話が難しかったのでもう一度自分で勉強しようと思います．
分からなければ質問にきてください．議論しましょう．
今回の講義ではオイラー関数を用いてRSA暗号が作られている事を学びました．
楕円曲線暗号については次講，
詳しく知りたいと思いました．
改めてお話しします．
RSA暗号は高校の情報の授業で触れたが，
当時は解説が雑すぎたので今回で理解できてよかった
そうですか．高校でも習うのですね．すごいね．
RSA暗号の説明が少しむずかしく，
理解できない部分がありましたが，
課題をやりながら自分で調べて理解できるように努めます．
まずは自分で数値を入れて確認してみると良いでしょう．
今回の講義では，
公開鍵暗号の様々な方式を学びました．
RSA暗号についてはよく理解できましたが，
楕円曲線暗号はざっとはやりましたが，
まだ理解が全然深まっていないので，
次の授業を楽しみにしたいと思います．
次回話しますね．
RSA暗号は素因数分解の困難さを利用した暗号方式でありとても面白いと思った．
もし，
RSAが今破られると何がまずいのでしょうか？
そもそもですが，暗号が破られると，まずくないですか？
今回の授業中での整数の計算問題で，
改めて数学とコンピュータのつながりを実感しました．
理系でよかったなと素直に感じました．
そうですね．いろいろと面白いことがたくさんありますが，
文系も色々と面白いことがあると思いますよ．
今回は，
RSA暗号，
楕円曲線暗号について学習した．
今回の講義は難しく，
理解を深めるために復習をしていこうと認識したが，
今回のRSAから楕円曲線暗号にかけて効率性や安全性の向上が成されていたと実感して，
情報を守るための数学的な設計によりセキュリティを強化しており，
これら２つは大きな革新であるものなのだとは強く感じた．
その通りで数学はとても大切ということですね．
mod演算を用いた鍵の作成はとても興味深かった．
鍵の作成について疑問に思ったのはe=1は考えないのかということ．
e=1の場合φ(n)の値に関係なく互いに素になるため考えないのだろうか．
また合同式の計算があまりわかっていないので個人的に勉強しておこうと思う．
合同式の計算は高校のときに習うようですが，違いますか？
今回の講義では暗号理論について学びました．
RSA暗号は少し知っていたくらいでしたが，
実際に例を挙げてやってみると複雑な工程をやっているんだと実感しました．
やはり現在でも用いられているだけあるなと思いました．
しかし，
やっていることは素因数分解など計算が主なので，
これから量子コンピュータの発展によりRSA暗号がどのようになっていくのか，
また，
新たな暗号理論がこれからできるのかについてが楽しみです．
計算機の進展でどのようになるかは重要ですね．どうなると思いますか？
今回の講義では，
RSA暗号と楕円曲線について学んだ．
RSA暗号は聞いたことがあったが具体的なアルゴリズムまでは知らなかったので，
今回の講義で学習することができてよかった．
今日の内容は抽象的な話も多かったので，
実際に数値を代入して確かめるなどして理解を深めたいと思った．
そうですね．具体的にやってみることが大切です．
今回はRSA暗号とelgamal暗号と楕円曲線暗号について学んだ．
授業の演習内で自力で解くことが出来なかったので，
自分で手を動かして解決したい．
そうですね．自分でやってみることが大切ですね．
RSA暗号が非常に面白かったです．
今日の授業で説明してもらったとき，
暗号化の所までは「なぜこんなプロセスなのだろう」とちんぷんかんぷんでしたが，
復号のときになってちゃんと元の値に戻るためのものなのだと理解し，
感動しました．
質問なのですが，
公開鍵e,nのうち，
nは必ず2つの素数の積なのですか？3つ以上の積の方が見破られにくいような気がします．
三つ以上？p, q, s ということ？三つ目をどのように使うのでしょうか．
楕円曲線の形については何となく理解できたが，
それと同時に様々な疑問がわいた．
そもそも，
なぜy^2 = x^3 + ax + bという式を考えようと思ったのか，
そしてなぜその式に和を定義しようと思ったのか...などである．
ラマヌジャンではないが，
自分だったら神から教えられない限り一生思いつかないであろう概念だったため，
どのような経緯でこの研究が始まったのかが気になった．
楕円曲線自体は，代数的な演算を適用できるということで，
研究対象となっているためですかね．
本日は具体的な暗号理論に少し触れてみました．
RSA暗号やElgamal暗号は，
高校で少し扱ったことがあったのと，
実際に数値を入れて計算してみたことで，
ある程度は理解できたように感じます．
しかし，
楕円曲線暗号については，
授業内で仰っていたことについては分かった気ではいますが，
ここからどのように話が展開していくのかあまり想像できませんでした．
特に，
最後に仰っていた加法についても，
現時点ではあまり納得いっていません．
なので，
少し予習してこようと思いました．
次回説明できると思います．
今まで名前だけ触れられてきた楕円曲線暗号について少し知れたから良かった．
まだ初めの部分しか習っていないが，
大きな素数を扱う必要があるRSA暗号と比べて，
加算で構成されている分，
処理が軽そうだと思った．
質問になるのですが，
RSA暗号の方が楕円曲線暗号よりも検証は早い気がします．
それを活かせるようなシステムはありますか？
検証が早いというのは計算が早いということですか．
RSAの手順が思ってたより複雑で作った人たちは頭がいいなあと思いました．
実際にやってみましたか？
今回の授業では，
RSA暗号，
Elgamal暗号，
楕円曲線暗号といった，
より発展的な暗号について知ることができました．
RSA暗号であのような複雑な計算を経てなぜ平文を復元することができるのかの数学的な仕組みを高校の時に見たことがあるのですが，
あまり理解することができませんでした．
池口先生の解説を聞いたので，
再度証明を見てRSA暗号の仕組みを理解したいと思いました．
そうですか．高校のときにやるのですね．すごいですね．でも今回理解できましたか．
公開鍵を送信者から受信者に配送するためにこんなにも手の込んだことをすることに驚いたとともに，
これによって私たちの情報のやり取りの安全性が確保されているわけだから考えた人は讃えられるべきだなと思いました．
そうですね．守られていますね．
今日も面白い授業ありがとうございました．
今回は楕円曲線暗号などについて学びました．
楕円曲線暗号なのに楕円ではないことを聞いて，
暗号は沢山あるがその名前の由来はどのように決まるのか，
背景が気になりました．
ぜひ調べて教えてください．
RSA暗号を小さい数で実際にやってみたが，
nが1桁*2桁の数であるにも関わらず，
結構暗号化，
復号に時間がかかったため，
実際に実用化するときに使う素数は，
とてつもなく大きい桁数の数であるだろうし，
計算量的安全性がある暗号であることが実感できた．
また，
楕円曲線暗号について学んだが，
関数がいろいろある中で，
楕円曲線を利用している理由はあるのだろうか？
実際はもっと大きい素数を使いますよ．また，手計算じゃないのでね．
今回も暗号の講義であった．
rsa暗号にも楕円曲線暗号にも難しい内容の数学が使われている．
数学の授業のようで理解しにくいところがあったが，
暗号の裏でこの作業が行われていることが興味深かった．
数学は大切ということですね．
現在の最大の素数は2の1億3627万9841乗引く1らしいのですが，
それともうひとつの巨大な素数を使って講義の内容の鍵を用いてメッセージ取引を行うとなると，
ハッキングどうのこうのよりまずメッセージを取引する人達同士が暗号化や複合する時に苦戦して遅延などが生じてしまわないでしょうか．
確かに計算は大変になると思います．
ですが，現在で，RSAだと鍵の長さが2048ビットくらいだとまだまだいけるのはなかったですかね．
本日も興味深いご講義ありがとうございました．
楕円曲線暗号について，
まずは楕円曲線がどのようなものなのか知ることができた．
次の授業の内容が気になりすぎて，
帰りの電車でYouTubeで調べてみました．
一回見ただけなのでまだまだ中途半端な理解です．
次週師がどのように説明されるのか楽しみにしております．
期待していてください．
公開鍵暗号方式の基本理念を踏まえ，
実際に現実で使われている各種暗号方式を学ぶ中で，
どれも巧妙なアイディアに基づいて実装されていることを強く感じました．
特に楕円曲線暗号は，
楕円曲線上の点の加法演算を離散対数問題へと帰着させることで，
非常に高い安全性を実現している点が印象的でした．
まだ加法演算までは行っていないですが，その通りではあります．
本日の授業では具体的な数字を用いて暗号の仕組みを確かめることが出来た．
話が変わるが授業内で度々耳にした仮想通貨がなぜあんなに価値が着いているのかが気になった．
やはり実際にやってみることが大切ですね．
計算をしてみてマイニングするとそれに応じた報酬として，
ビットコインを得ることができるからだと思います．
RSA暗号など名前はしっているけど，
その実態はよくわからないようなことに関する内容が多くて，
とても楽しかった．
楕円曲線と言っているにもかかわらず，
楕円でないことがとても面白かった．
楕円，
放物線，
双曲線は英語のEllipseなどと比べて日本語の命名が酷いとよくいわれていたが，
今回も，
もっとよい命名があるのかもしれないとは思った．
どのように命名しましょうか．
RSAやElgamal，
楕円曲線暗号といった現代暗号の基本原理が段階的に紹介されており，
暗号理論の広がりを実感できた．
暗号について数学的背景とともに解説していただいたため，
理解することができた．
理解してくれて良かったと思います．
今日の授業も楽しかったです．
有限体上で合同式を考えたら解の集合が大きくなるなと思いましたが，
加法などを使うことを考えたら，
そっちの方が都合がいいのですかね．
最近習う暗号化の方式にはよく合同式が絡んでいる気がします．
そうですね．合同式は使われますね．
本日の授業も面白かったです．
暗号に楕円に関する問題が関わってくるというのは意外で面白いと思いました．
楕円に関するとありますが，講義でも説明したように，
楕円とは直接的には関係ないです．
師の授業はとても分かりやすく良かったのですが，
内容の難しさもあって理解に苦しみました．
しっかりと復習して次の授業に臨みたいです
分からなければ質問してくださいね．
DH鍵共有で2<=a,b<=p-1となっているのは，
余りに周期性があるからだと思った．
例えば，
2^n mod 5の値は，
1→2→4→3→1のように周期4で循環する．
べき乗は一つ前の値から次が決まるから，
周期は最大p-1であり，
a,bはp-1までで全ての余りを網羅できる．
またRSA暗号は，
素因数分解の部分より平文を暗号化して復号するともとに戻るのが不思議だった．
ed≡1となるようにe,dを定めた（逆元？）のが重要そうだと思ったが，
仕組みはわからなかった．
RSAもElgamalも楕円曲線暗号もすごく上手く設計されているようなので，
時間のあるときに勉強してみたい．
証明してみると良いと思います．
以前，
a^x mod b = c のような離散対数問題を解くようなプログラムを作ったことがある．
総当たりでの解法だったが3桁程度の数字であれば一瞬で解くことができた．
しかし，
これが何十桁にもなると計算量が天文学的なものになることは予想できる．
今日の授業について，
楕円曲線上での加算の定義が紹介されたが予想していたものとは全く違っていて衝撃だった．
自分でやってみたのはすごいですね．これが重要ですね．
楕円曲線は楕円ではない，
しっかり覚えておきます．
覚えておいてください．
今回は楕円曲線について学びました．
高校時代の数学Cを懐かしみながら授業を集中することができました．
楕円曲線は楕円じゃ無いですよ．
本日は暗号化と複合化についてわかった．
あのような複雑なプロセスを必要とする場合の具体例を調べてみたいと思いました．
調べてみましょう．
実際に数値を当てはめて計算することで，
高度そうな暗号理論でも高校レベルの数学が基礎に深く根付いているのだと実感することができた．
ネット上の電卓やエクセルで計算できないような大きな数値計算でも，
ダメもとでPythonに計算させたところ一瞬で一の位まできちんと出力され，
当たり前のことなのかもしれないが少し驚いた．
色々とやってみると良いですね．