2025年10月07日 第3回
ユークリッドの互除法など忘れかけていた公式の復習になれて良かったです。
理解してくれたようで良かったと思います．
ユークリッドの互除法は、
長方形を共通の正方形タイルで敷き詰めていくという幾何学的な解釈が可能であり、
除算の繰り返しは残りの部分を敷き詰める過程に対応することが分かりました。
素数Pを法とする場合に逆数が存在し、
演算の結果が整数内に「閉じている」（結果が元の数の集合に戻る）という点で、
この「逆数」の具体的な存在証明や、
除算がどのように定義されるのかが分かりませんでした。
演算の定義を厳密にするために、
セクション6で「群」「環」「体」といった代数的な概念と、
特に素数を法とする合同式との具体的な関連性（例えば「体」の性質）について詳しく知りたいです。
素数を法とする場合の除算についてはお話ししたと思いますが，
次回改めて議論できると思います．
分かったことは、
合同式は「整数の差がある数の倍数になる関係」表し、
a ≡ b (mod n)のように書くこと、
またこの性質を使うと足し算や掛け算、
累乗の計算も同じ形で扱えるということを知れた。
ユークリッドの互除法では、
最大公約数を効率よく求められる理由が式の形から理解できた。
一方で、
合同式の除法の定理（定理3.5）で、
なぜ最大公約数によって場合分けが必要になるのかを完全には理解できませんでした。
疑問に思ったのは、
こうした合同式の考え方がどのように暗号や情報処理の分野で応用されているのかという点だ。
今後、
その具体的な使われ方を学んでみたいと思った。
定理3.5については，うまくいかない例を講義で紹介しました．
ユークリッドの互除法を図で表すことで公式の意味を理解することができた。 合同式は若干理解することができたが、 定理3.3を理屈まで理解するには至らなかったので具体的な数字を当てはめて理解したい。
そうですね．具体的に考えると良いと思います．
ユークリッドの互除法を用いた最大公約数と最小公倍数の求め方、 大きな数のmodの求め方など暗号で重要な部分が分かりました。 また、 互いに素かどうかを判定するのをプログラムで行う場合は素数判定の処理とユークリッド互除法ではどちらが速いのか気になりました。
どのように実装するかですかね．
幾何学的な表現のやり方がわからなかったので理解できてよかったです。 また、 合同式については第一回にも説明してもらっていましたがより詳しい内容で教えていただいたことで理解が深まりました。
理解してくれたようで良かったと思います．
ユークリッドの互除法は高校の時にやったので理解していますが、 四角形の図形で表して説明するのは初めて見て視覚的に説明されると分かりやすいと思いました。
そうですね．図を用いるとわかりやすいですね．
高校で曖昧だった合同式の扱い方が再確認できてよかった
理解してくれたようで良かったと思います．
ユーグリッドの互助法を久々に思いだしました
よろしいと思います．
中学や高校で学んだことについて改めて確認ができた。 それぞれの定理の内容、 証明の内容についてよく理解し、 丁寧なレポートを書くことを心掛けようと思った。
そうですね．ぜひそうしてください．
授業最初のユークリッドの互除法を忘れていなくてよかった
よろしいと思います．
学生時代は義務感でやっていたことが多かったがよく考えてみると面白いなと思った。 合同がわかることで同値律がわかり様々な問題に応用できると思った。 高校の時とは違った使い方をしたので理解するのに時間がかかりそうだなと思った。
学籍番号と指名を書かないようにと伝えたと思います．今回からプラスアルファはなしにします．
高校時代の数学でmodについてをサラッとしかやらず、 反射律などの公式のようなものをきちんと知らなかったのでよく困っていたので今回理解することができて良かったと思います。 よりきちんと理解して使えるようになりたいと思います。
そうですね．基本からやっておくと得をすると思います．
ユークリッドの互除法についてやり方は知っていたものの、 その仕組み、 考え方の根拠等を改めて詳しく知ることができたのと、 幾何学的に考えるとかなり理解が深まりやすいことを知った。 合同についてはそもそもあまり深く学んでこなかった為、 今回加減乗算は同様に扱えること、 除算は通常と異なることを知ることが出来てよかった。 実践的な例題を通じて理解を深めることが出来た。
理解してくれたようで良かったと思います．
今回の授業では、
合同式やユークリッドの互除法、
素数の性質について学び、
整数の世界の奥深さに強い興味を持った。
特に、
合同式が「等しい」という関係と同じように扱えることが印象的で、
数の関係を別の視点からとらえる面白さを感じた。
また、
除算のときに「互いに素かどうか」で扱いが変わるという部分に疑問を持った。
なぜ同じ割り算でも条件によって結果が変わるのか、
もう少し理屈を理解したいと思った。
ユークリッドの互除法については、
単純な計算の繰り返しで最大公約数が求められることに数学の美しさを感じた。
さらに、
これらの考え方が暗号や情報処理などの分野に応用されていると聞き、
理論と実社会がつながることに強く興味を持った。
講義でなぜ単純に割り算をしては行けないのか，ゼロ因子の例を紹介しました．
話を聞いていなかったかな？
今回の講義で合同式について忘れていたことを思い出せた。 特に、 定理3.4のa≡b (mod n)の場合はa^k ≡ b^k (mod n)となることをすっかり忘れていたため、 k乗された整数をnで割ったときの余り問題でつまずいてしまった。 証明を見て理解できたので他の定理も課題を通して理解しようと思う。
そうですね．実際に計算してみると良いと思います．
数が大きいときにユークリッドの互除法が便利なことを理解した。 また、 ユークリッドの互除法で最大公約数が求められることを機械的に前までは行っていたが、 幾何学的意味を知ったことでイメージがしやすくなった。
そうですね．図を用いるとわかりやすいですね．
a=100 a1=1 b=11 b1=5 n=3とする
(i)
a≡a1(mod3)
b≡b1(mod3)
となっている
(ii)
定理3が成立しているかを確認する
コメントBOXは演習問題を行うところではありません．今回からプラスアルファはなしにします．
合同式の中にある反射律や対称律、 推移律などは大学1年生の時にやった離散数学で習っていた。 しかし、 いざ先生の話を聞いてみると、 〜なので〜になるという言葉が多く、 どれも似たような記し方だった為、 頭の中が複雑になり、 よく分からなくなってしまった。 次回までに、 違いをきちんと理解してから挑めるようにしておきます。
一度誰かに説明してみると良いと思いますよ．
そうすると何がわからないのかがわかるようになります．
ユークリッドの互除法のアルゴリズムの便利さと、
合同式は除算を行う際は気をつけなければならないことがわかった。
ユークリッドの互除法の幾何学的な説明があまり理解できなかったのと、
合同式という名前は図形的な合同と関わりがあるのか疑問に思った。
幾何学的な部分は実際に図にしてみると良いと思います．
ユークリッドの互除法自体は中学で習っていたが、 合同式を用いた除算ができることは知らなかった。
理解できましたか．
ユークリッドの互除法についてしっかりと理解することが出来た。 計算の仕方は過去に覚えたことがあるので、 計算自体は行うことが出来たが定義、 定理から確認できたことで理解が深まったと思う。
よろしいと思います．
合同式に関する定理についてはある程度知っていたが特に定理3.5の証明についてはあまり考えたことがなかったので興味深かった。
理解できましたか？
ユークリッドの互除法について、
幾何学的な表し方について改めてルゴリズムを理解することができた。
合同式の基礎的な考え方についても、
学ぶことができた。
わからなかったことについては高校数学と重なっている部分がほとんどだったので、
特にないが、
ユークリッドの互除法の様に、
合同式などにおいても幾何学的な考え方が活用できるものはあるのか疑問に思った。
そうですね．あると思います．
今まで使っていた一次不定方程式の解き方を文字で一般化して表すと少し難しく見えた。
実際の計算を通して解く過程と定理の意味を理解していきたい。
これは次回ですね，
質問です．すでに答えてたら申し訳ないのですが，Ｓａａｉ−ＭＡＳを使った出席は取らないのでしょうか？
この講義では取らないです．コメントBOXへの提出は記録しています．
ユークリッドの互除法を有限回行ったら余りが求められると講義で分かりました。 そこで疑問に思ったことは、 暗号で用いられるユークリッドの互除法の有限回とは実際どれくらいアルゴリズムを実行していますか？
最後の「．．．有限回」という部分ですが，意味がよく分からないので，
説明してくれますか．
今回の講義ではユーグリッドの互除法のやり方が分かりました。 高校の時も1度習ったのですがやり方を再確認出来ました。 合同式では、 反射律、 対称律、 推移律が成り立ち、 それぞれの定理は照明ができることがわかりました。 また、 合同式をXを用いた式で表せることがわかりました。
よろしいと多います．
今日の授業では、
ユークリッドの互除法を用いた最大公約数の計算や、
最小公倍数の求め方を復習しました。
普段は電卓やプログラムに頼ってしまう計算を、
実際に手順を追って解くことで、
アルゴリズムの仕組みを理解できたのが新鮮でした。
また、
一次合同式を解く問題では、
解の存在条件や計算の進め方を丁寧に確認でき、
整数論の基礎が暗算だけではなく理論的に支えられていることを実感しました。
特に「最大公約数を求める過程」と「合同式の解の導き方」がつながっている点に気づき、
今後もっと深く学んでみたいと感じました。
色々と考えていてよろしいですね，
ユークリッドの互除法や合同式など、 高校の時にやったことの復習ができた。 最大公約数や最小公倍数は少し忘れてしまっていたので復習したい。
すぐに思い出すでしょう．
ユークリッドの互除法を幾何学的に表すことができることを知らなかったので衝撃を受けた。
高校以前では結論だけ与えられて終わりなことが多かったので、
こういった応用のようなものは興味深く感じる。
また、
今回の課題の問題3に今日(10/7)紹介した定理を～とあるが最初の方に少し触れた定理2.2あたりからやるべきでしょうか？
冒頭の部分は前回の復習部分だと思います．
合同式において、 加減乗算は普通の計算と同じようにできるが、 除算は一度両辺の最大公約数を確認する必要があることがわかった。 また、 合同式は日常生活において様々なところ(時間や月、 曜日など)で用いられていることがわかった。
そうですね．用いられていますね．
証明の仕方が丁寧でとても分かりやすかったです。 2コマ続きの授業であるため、 今回のように演習を行ってもらえると集中力が高まってよいと思いました。
理解できましたかね．