2025年10月21日 第4回
RSA暗号で必須となるオイラーの ϕ 関数 ϕ(n) が、
1 から n までの数のうち n と互いに素な数の個数を数える関数であると定義されました。
素数 P に対しては ϕ(P)=P−1 となること、
そして互いに素な数 A,B の積に対して ϕ(AB)=ϕ(A)ϕ(B) が成り立つという重要な性質も確認されました。
特に、
オイラーの定理 A ϕ(n) ≡1(modn) を用いると、
GCD(a,n)=1 の条件のもとで、
A ϕ(n)−1 が a の乗法逆元（逆数）となるため、
これを利用して一次合同式の解を容易に求められる点が非常に有用であると理解しました。
この方法は、
係数 a の逆数を求めることで、
一次合同式の解を直接的に導出できるという点で、
解法として最も楽なアプローチの一つであると認識し理解できました。
合同式に関する議論の中で、
定数 N を法とする場合に、
定理 3.5が「体構造（バ野券）」にならないという指摘がありましたが、
具体的に0因子の存在が、
この構造にどのような問題があるのか疑問に思い知りたくなりました。
「バ野券」の意味がよく分かりませんが，零因子があるということは，
aもbも a\equiv 0, a\equiv 0 であっても
ab=\equiv 0 mod n とならないことがあるので問題ですよね．
今回の授業では、 一次不定方程式や一次合同式、 素数、 オイラーの定理などを学びました。 最初は式の形や条件の意味が難しく感じましたが、 例題やアルゴリズムを通して少しずつ理解が深まりました。 特に、 合同式の解が存在する条件や逆元の考え方を学んだことで、 整数の計算に隠れた法則が分かって面白かったです。 最後に出てきたフェルマーの最終定理も印象に残りました。
フェルマーの最終定理は有名ですよね．
合同式は中高であまり使わず苦手意識を持っていたが、 講義がわかりやすく、 前から感じていた取っつきにくさが軽減された。
そうですか．それならば良かったと思います．
素数の所の最初にやった3種類の単語の所が、 内容自体は難しいもので無かったが、 その後の説明でその単語が多く出て来て、 これは何を表すんだろうかと確認に戻ってる間、 に授業が進んでしまい所々分からなくなってしまったり、 板書が間に合わないところがあった。
3種類の単語がどれのことなのかよくわからないですが，
質問してくれたらと思います．あるいは講義動画も公開しているので
そちらもみてください，
一次合同式を解くために一次不定方程式を用いる方法やオイラーの関数を用いる方法があることがわかったが、 正しく定理を利用するために覚えるだけでなく資料にある証明をよく読んで理解してから具体例を考えようと思った。
そうですね．それが良いと思います．
素数が無限に存在するという基本的な事実から、 オイラーの関数、 フェルマーの小定理へと理論が展開される流れが興味深い。 これらの抽象的な数学の定理が、 RSA暗号の安全性という具体的な技術の根幹をなしている点に、 理論と応用の強い繋がりを感じる。 特に、 べき乗剰余の周期性が暗号の鍵として機能する仕組みは非常に重要であると理解した。
良いコメントですね．
フェルマーの小定理に初めて出会ったのは小学生の頃、
教科書の最終ページの付録でした。
その頃は雰囲気でのみの理解で、
そんなことが成り立つんだという感想しか湧かなかった。
しかし、
時間が経ち暗号化に関する数学分野や講義を受けていくうち、
その定理の重要性が身に染みて理解できるようになってきたことを感じた。
小学生で，というのはすごいですね．
今回の授業で具体例を上げてみるということの大切さに気づきました。 定義や定理は文字で何を書いてあるのかわからなくても具体例を当てはめることで理解しやすく頭にも残りやっ少なるなと思いました。 僕は受験期素因数分解をあまり難しいとは思いませんでした。 しかしただ単純に素因数分解をやっていただけだったのでそのように考えていたのだと思いました。 積に分解されることによって証明が詳しくできるようになりより説得力が増すと思いました。 高校の受験期に使っていたことを違うアプローチから見ることは新鮮で新しいなと思いました。
何度も言いましたが，学籍番号と名前を書かないように．
次からは減点します．
素数は授業内でまだまだ素数は研究され続けているとあるが、 ここまで数学が発展してきた中でまだゴールにいっていないのも興味深いですし、 考え方によっては含む素数と含まない素数があるとも聞いたことがあるので素数は面白い数だなと思いました
含む素数？
授業を通して、
素因数分解の一意性やユークリッドの素数定理など、
数学の根本を支える原理の美しさを改めて感じました。
特に「素数は無限に存在する」という命題が、
わずか数行の背理法で論理的に証明できるという事実には本当に驚きました。
一見シンプルな考え方の中に、
これほど強い説得力と普遍性があることに、
数学の奥深さと魅力を実感しました。
確かに奥深いですね．
今回、 初めてオイラー関数を知った。 オイラー関数はφ(n) (nは自然数)で表すことができ、 1からnまでの素数の数を表すものだとわかった。 オイラー関数をを求める場合、 1からnまでの数で素数で割り切れるものを徐々に排除することで求められるが、 nが大きくなるほど手計算ではめんどくさくなる。 簡単にオイラー関数を求められる定理、 アルゴリズムがあるのか気になる。
そうでしたか．まず，オイラー関数の定義を改めて確認しておいてください． また，オイラー関数に関する定理をいくつか紹介しましたので， それらを用いれば計算が簡単になります．
今回の講義では1次合同式の解き方と素数に関する定理を学んだ。 中でも、 素因数分解が困難であることをRSA暗号の考え方に用いている点に興味をひかれた。 また、 現在発見されている最大の素数が想像もつかないほどの桁数であることに驚いた。
確かに大きいですね，
公約数や公倍数を始めや一次不定式や素数にも様々な法則性があることを再認識理解を深めることが出来た。 また、 オイラー関数については初めて聞いたが証明を通して仕組みから理解することが出来た。
理解できたのであれば，とてもよろしいと思います．
普段の整数計算と違い、 「割り算ができる条件」が最大公約数によって決まる点が印象的だった。 実際に一次合同方程式を解いてみると、 解が存在する場合としない場合があることが理解できた。 また、 エラトステネスの篩の考え方は、 単純な仕組みで効率的に素数を見つけられる点が興味深かった。 今後はプログラムでもこれらを実装してみたいと思った。
色々と考えてみると良いですね．
一次合同式の解き方とエラトステネスの篩のアルゴリズムの方法、
そしてオイラーの関数とは何か理解することができた。
オイラーの関数に関する定理についてはまだ理解しきれなかったので、
プリントを見たり問題を解いたりして改めて復習したい。
復習は重要ですね．ぜひ考えておいてください．
フェルマーの小定理というのを初めて聞いた
最終定理にも触れるとは思わなかったのでとても興味深かった
初めてであっても理解できましたかね．
今日は主に素数について学んだ。
鍵と素数、
オイラー関数など、
今までに聞いたことはあるがあまり深くまで触れてこなかったものの考え方について知ることができた。
オイラーの関数、
オイラーの定理などは、
実際にどういった場面で使われているのか疑問に感じた。
オイラー関数はセクション5のRSA暗号で用います．
この情報数学の授業は、
暗号技術の土台となる整数論の基礎を体系的に学ぶことができ、
非常に有意義だと感じました。
講義資料では、
まず素数や合成数の基本的な定義から始まり、
2以上の自然数は素数の積に一意的に分解されるという重要な定理、
さらには素数が無限個存在するというユークリッドの素数定理まで、
基礎理論が丁寧に解説されていました。
特に興味深かったのは、
合同式に関する内容です。
オイラーの定理 やフェルマーの小定理 といった、
大きな数の剰余（余り）を求める際に役立つ強力な公式を学べました。
これらの定理が、
現代の公開鍵暗号（RSA暗号）の基盤に関わる理論 となっている点が、
情報数学を学ぶ意義を強く実感させてくれました。
演習課題も、
学んだ理論を実践に活かす良い機会となっています。
一次合同式を解く問題や、
エラトステネスの篩というアルゴリズムを使って素数を求める問題 は、
単なる知識の暗記ではなく、
論理的な思考力と計算スキルを養うのに役立ちます。
また、
講義で紹介された定理の内容を具体的な数値例を用いて説明する課題 は、
公式を「使える知識」として定着させる上で非常に効果的だと感じています。
よろしいと思います．
エラトステネスの篩により、 倍数を順に消すだけで効率よく素数を求められることを学んだ。 単純な手順で無駄が少ない点が印象的だった。 実際に200までの素数を求めたことで理解が深まり、 アルゴリズムとしての有用性も実感した。
実際には他の判定法などを用いるのですが，講義では説明しませんでした．