2025年04月16日 第1回
波を考えるとき，
今までは正弦波を扱うことがほとんどだった．
しかし，
今回の授業を通して一見複雑そうな波でも時系列を2次元空間に変換するなどして，
それが実は非線形であったために複雑に見えていたためであって，
解析を行うことで見えるものがあることがわかった．
その通りです．素晴らしい．
非線形の言葉の意味を理解していたつもりだったがx(t)とtの関係が非線形のパターンしか想定していなかった．
x(t+1)とx(t)の関係が非線形の場合の複雑さについて実際に手を動かすことで実感できた．
漸化式，
差分方程式は知識としては頭にあったが物理的な現象に結びつけることができていなかったことを痛感した．
複雑に見える信号を周期的な信号に分解する手法があることは知っていたが周波数解析という名称は知らなかった．
ホワイトノイズのホワイトが白色光由来であることを今回の講義で初めて知り印象に残った．
ロジスティック写像で初期値が少し違えばその後の値も大きく変わると考えられる．
しかしこれは自分でロジスティック写像を定義してシミュレーションときの問題であって，
外から与えられたデータがロジスティック写像か否かを判別する時にはそこまで気にしなくてもよいのか疑問に思った．
よく理解してくれていますね．最後もいい質問ですね．次回触れましょう．
身の周りに存在する複雑な振る舞いを示す現象(振動現象)について，
さまざまな視点から丁寧に説明していただいたことで，
どのような現象なのか大まかに理解することができました．
また，
信号波形の例をいくつか示してくださったことで，
イメージをつかみやすかったです．
イメージしてくれたのであれば良かったと思います．
今日の講義では，
二つの状態間の関係として，
線形と非線形の基礎を学んだ．
モデリング理論の講義全体としてとても重要なことであると感じたので，
課題を通してしっかりと理解していきたい．
また，
データに関して，
線形や非線形といった視点で考えることはなかったので，
今後はそのような視点を意識して，
データについてより深く考えていきたいと思う．
穴埋め形式のプリントを用いた講義は授業に身が入りやすく，
理解しやすかったように感じた．
そうですね．まずは相手となるデータをよくみることが大切ですね．
具体的な振動現象の例が紹介されていたため，
身の回りにも様々な時系列信号が存在することをよく理解できた．
また，
これらをモデリングし予測する技術の必要性を感じた．
実際に，
時系列を2次元空間に変換する演習を行ったことで，
複雑で予測不可能なように見える信号であっても分解，
変換することで予測することが可能になることを実感した．
講義内容を聴きながら手を動かすため，
とても分かりやすく，
理解することを楽しみながら取り組むことができ，
よかった．
理解してくれているようで，とても良かったと思います．
少しペースが早かったです．
グラフの説明の部分はわかりやすくてよかったです．
最後は少し駆け足になってしまったので，次回，再度触れたいと思います．
まず，
時系列データの実例を確認して複雑な振舞いを示す現象が身近にあふれていることが理解できた．
また，
一見複雑さの点では似ている2つの現象においても，
実際に自分の手を動かして時系列を2次元空間に変換することで，
予測可能性に差が出る場合があることを確認した．
簡単な事例ではあったが，
周波数解析を行うことで見える世界が変わることがあるのは面白かった．
そうですね．面白いところですよね．
水疱瘡や日経平均株価，
音声など様々な時系列信号を見たが，
周期が無いものは解析のしようが無いと思っていた．
しかし，
フーリエ変換のような解析手法を用いることで二つの状態の関係が分かる非線形性が読み取れることが理解できた．
トランプ関税の影響で株価が暴落しています．
今後どのようになるか解析可能でしょうか．
二つの状態の関係について，みなさんに演習してもらいましたが，
これはフーリエ変換ではありません．
トランプ大統領は予測不能ですからね．
非線形ダイナミクスの導入で，
時間とともに状態が変化する現象の説明が非常に分かりやすかったです．
特に，
身の回りの例（気象，
経済，
など)を通じて，
複雑な振る舞いを観察する重要性を理解した．
理解してくれていますね．とても重要ですね．
今回の講義で，
私たちの身の回りで起こっている現象は様々な要因が絡み合い，
複雑な振る舞いを示しているため，
これらの現象を調査するための方法論が重要であると分かった．
また，
一見すると不規則で予測ができなさそうなグラフが，
x(t)とx(t+1)の関係を調べていくことで，
規則性が見えてくる場合があると分かり興味深かった．
現実での現象はこのようにすぐ関係を見いだせるものばかりではないと思うが，
いずれ関係性が見つかれば便利になると感じた．
その通りで解析してうまく結果が見出されば嬉しいですね．
一見ノイズの波形でも非線形の関数で予測できるのは不思議だと思います．
逆に言えば関数で予測できる波形は大体周期性を持つと思うが授業の青い波形はぜんぜん見えません．
青い波形は予測できるのですが，時系列にするとランダムに見えますね．
かなりシンプルな計算式によって計算される数列であっても，
単純にグラフ化しただけではほとんど規則が分からなくなってしまうのが興味深く感じた．
その通り，重要なのはシンプルであっても，というところです．
線形の例としてf(aX_1 + bX_2) = af(X_1) + bf(X_2)，
非線形の例としてf(aX_1 + bX_2) ≠ af(X_1) + bf(X_2)という式が示されていて，
抽象的な概念が数式で整理されていて理解しやすかった．
自然科学だけでなく，
経済，
医療，
社会システムにも応用が広がるということで，
この教科の意義を感じられた．
時系列データを2次元空間に変換する部分の意味や目的が理解しにくく，
座標としてプロットすることで何が分かるのか，
どう使われるのかが直感的に掴みにくかった．
予測可能性を探るという趣旨は分かったが，
どのようにパターンを見つけるのかが難しいと感じた．
x(t) と x(t+1) をプロットしてみた，というのは，
1ステップ先を現在の値から知ることができるだろうか，
ということですね．
一見規則の無いように見える現象でも，
時系列を2次元空間に変換することで非線形な関係性を見つけられることがあるというのが分かった．
理解してくれていると思います．
今日の授業では身近な時系列データと線形・非線形について学んだ．
一見ランダムに思われるデータも見方を変えると規則性が見えてくることがあり，
得られたデータをこねくり回してよく観察することが重要であると感じた．
時間が足りなくて「放物線見えてきた！」とならなかったのが少し残念．
そんなにプロットする点が多くなくても放物線は現れたと思いますが
そうでもなかったですか？
t-y(t)グラフではただのノイズのようにみえていたが，
(y(t),y(t+1))座標にプロットすることで放物線の形がみえ，
実は予測ができる波形であったと分かった時は驚いた．
確かに驚きですね．
現在株価や先物などの価格データを予測する時系列解析に興味があり，
本講義を受講することによりそのようなランダムなデータを分析する手掛かりが得られないかと期待して受講いたしました．
特に今回の x(n+1) = f(x(n)) の話は大変興味深く，
これを株価等に応用できないかこの1週間で学習したいと考えていきます．
1週間でなくて，もっと時間をかけて良いと思いますよ．
線形に関しての知識を掘り起こすうえで，
ためになる授業であったと思った．
今後とも授業のほどよろしくお願いいたします．
本質は非線形なのですが．．．
周波数解析では明らかにならななかった関係性が，
時系列解析によって明らかになることもあるということがわかった．
それが非線形性によるものだということもわかった．
そうですね．非線形性は重要ですね．
身の回りにある波と関係のある現象などについて知れた．
また，
非線形のデータになると複雑になることは予想はつけられていたが改めて確認できた．
確かに複雑ですね．
一年生の時の授業でもそうだったが，
資料配布があり，
穴埋めをしながら授業を行なっているので集中して取り組むことができる仕組みなのが良かった．
配布資料がiPad上のノートアプリにダウンロードしようとしたらパスワードがかかっていて，
資料をiPadを使って穴埋めなどができなかった．
たまには紙媒体でやる良さにも気づけた．
そうでしたか．変なことをしちゃったかな．では紙にしましょうか．
私たちの身の回りには非線形的な現象が数多く存在し，
それらは非線形的であるが科学的に捉えることができると分かった．
今まで，
非線形は線形の反対なので，
なんとなく予測するのが難しいという印象を抱いていたが，
実際に自分でデータをプロットすることで，
そのイメージが覆った．
非線形の振る舞いは，
複数の事象が複雑に関係することにより起きているため，
それぞれを読み解けば科学的に考えられるのだと驚いた．
必ずしも複数の事象ではないですね．
まず,「複雑な振る舞い」とは何かというモデリング理論において基本的な認識を理解できた(例: 平均株価の振る舞いなど).次に複雑な振る舞いの解析方法として, 周波数解析, クモの巣図法による作図について理解した.モデリング理論について, 深堀りしていくのが楽しみである.
クモの巣図法はまだ説明していないです．
私たちの身近な例を用いて非線形ダイナミクスと時間発展の関係について簡単に理解でき，
時系列データの可視化が印象的でした．
非線形ダイナミクスの具体的な応用例をもっと知りたいと感じました．
生体，自然，金融，データ解析，色々とありますね．
何の規則性もなく，
周波数解析の結果からも一見複雑なふるまいをするように見える時系列信号も，
2次元空間に変換することで規則性が発見できることが非常に興味深かった．
さらに，
それを演習を通して自ら発見できるようになっていたことが非常に良かった．
素晴らしい．その通りですね．
今日はとりあえず，
x(t+1)=f(x(t))に関して，
時間と共に状態が変化しf(x)の箇所が非線形だとグラフがとても複雑になることとデータについて，
グラフの起こし方によって規則が見えるかどうか変わることを再認識した．
終盤の詰め込みが凄かったので，
後日改めて内容を整理しようと思った．
最後時間がなかったので，次回，改めて説明しますね．
線形代数などの演習内容と被る内容もあったため，
理解しやすかった．
しかし，
波形を見てその事象をあてる点がとても難しかった．
時間の経過と共に状態が変化するものは身の回りにあふれていると思うため，
意欲が増した．
素晴らしい．その増えた意欲をそのままでお願いします．
非線形についての重要性がわかった，
一目で関係性が掴めなくても，
色々試作することで関係が見える可能性があることもわかった．
重要性がわかってくれて良かったと思います．
身の回りにどのようなものがあるかについて，
グラフや例を用いた説明によって多種多様で複雑な時系列信号がむずウニ存在することについて理解することができた．
また，
一見複雑に見える信号の解釈方法の例として周波数解析と時系列の多次元空間への変換について知ることができた．
周波数解析の面からは白色雑音の示す傾向に類似した結果を得た場合でも，
時系列の２次元空間での非線形的な関係を持つことがあり，
最も簡単な非線形要素である2次式が絡むだけで，
一見複雑に見える信号となることについて実感を得ると同時に非線形の重要性について認識することができたと考える．
素晴らしい．理解してくれていると思います．
複雑な信号でも，
周期的な信号に分解し，
元の信号がこれらの重ね合わせであったと捉えることで周波数解析ができるとわかった．
また，
周波数解析の結果，
低周波から高周波まで一様である信号を(白色光が全ての色を含んでいることから)白色雑音と呼ぶことを知り，
興味深く感じた．
よろしいと思います．
非線形である事ととデータに相関がない事はイコールではない事を知ることができてよかった．
与えられた時系列信号をどのように解析するかを見極めるのは難しいと思った．
そうですね．確かに難しいですが，でもそれだけ挑戦する意義があると思います．
演習を通して非線形性について理解し，
講義の概要が理解できた．
発表者の評価を加点する方法について，
成績が優秀な人しか発表しないと仰っており，
確かにそのようだと感じた．
どういう因果かは不明ですが，少なくとも相関はありますね．
周波数解析において複雑な信号でも分解してそれらを組み合わせて考えることで導けることがあることがわかった．
しかし，
その分解の仕方はどのようなルールの下で行われるのかなど疑問が残った．
この講義は周波数解析の講義ではないので説明しませんが，時系列解析とか信号処理の講義で習うと思います．
各周波数成分の線形和ですね．
今まで様々な授業を通じて考えてきた理論の殆どが線形的なものであること，
実際の世界の多くの事象が非線形であることに驚きを隠せなかったとともに，
非線形的なものを考えるこの授業の今後が楽しみになった
そうですね．重要なので，ぜひ考えてください．
線形，
非線形という概念についてあらためて復習を行い，
それぞれの違いや特徴について理解を深めた．
また，
時系列信号を変換するという考え方に触れ，
変換を通して，
信号の本質を別の視点から捉える重要性を学んだ．
これにより，
目に見えない情報を可視化する手法の有用性を実感することができた．
そうですね．うまく情報を引き出せるかということが大切なところなのだと思います．
株価や気象といった，
身の回りにはさまざまな非線形で捉えられるものがあることがわかった．
また，
一見ランダムに見えてもx(t)とx(t+1)を比較することで，
わかりやすい非線形性が出てくることがわかった．
その通りです．意外に簡単に見えますよね．
一見関係がなく同一に見えるものでも分解したり，
視点を変えることで見えてくるものがあるのだと知った．
実際に手を動かしてグラフを作ることで関係性を見いだせたとこをは分かりやすくおもしろかった．
身の回りに複雑なふるまいを示すものがあることが意外と多いのだと思った．
やはり単純なふるまいを示すもののほうが全体でみると少ないのでしょうか？
どうでしょうね．実際，世の中は複雑なもので溢れているように思います．
予測可能性について，
ある関数にあてはめれば2時間数などがでるのは凄いが，
それを発見するのが難しそうだと感じた
確かにその通りです．
2時間数じゃなくて2次関数ですかね．
今回の講義で最も印象に残ったのは，
一見複雑な振る舞いをする現象について予測するための分析方法として，
今まで知らなかった周波数分析や時系列を2次元空間に変換する方法を知ることができたことである．
特に周波数分析を行ってもランダムに見えていた減少について2次元空間に変換した時に放物線を描き，
予測がしやすくなった点は自ら手を動かしたこともあって非常に面白く感じた．
確かにその通りです．
減少じゃなくて現象ですかね．
今回の授業では, 線形と非線形の違いや, 現実世界で起きている振動現象がどのような動きをしているのかについて学んだ. 例として様々な時系列信号を見てみたが, それがどのような現象であるのかについては正解できなかったものの, 正解を知った後に見てみると, その現象の特徴が波形に表れており, 興味深く感じた.
そうですね．うまく正解にならないとしても本質をみることはできていると思いますよ．
本講義では，
モデリング理論のイントロダクションを通して身の回りにある線形，
非線形なものの事例や，
その時系列の二次元空間への変換を学べた．
また，
x(t)x(t+1)グラフによって予測可能性を探れるところが面白かった．
面白いのはよろしいと思います．
今日の講義で線形と非線形の違いや非線形の現象を2次元空間に変換して考えることを学んだ．
この世界のほとんどの関係が非線形なので，
これからの講義でどのように難しい非線形の問題を解きやすいようにするのか考え方を学んで将来に活かしたい．
ぜひ活かしてください．
今まで非線形と言われてもピンと来ていなかったが，
今回の授業を受けて非線形な関係がどのようなものなのか理解できた．
また，
世の中の多くの関係が非線形であることに驚いた．
理解できているようですね．素晴らしい．
周波数解析が具体的にどのような場面で使われているのか知りたいと思った．
時系列→二次元空間ではなく，
二次元空間→時系列の方向で変換することもあるのか気になった．
周波数解析は古くから使われていますよ．
また後半の質問ですが，変換はできますね．
今回の講義では，
モデリング理論の大まかな内容や複雑な動きをする現象などの非線形ダイナミクスの概念などを学んだ．
今回の講義では，
一見ノイズと思われていた時系列がx(t)とx(t+1)の関係を図に示すことで新たな規則が観察することができていろんな方法で物事を観察することで新たな規則を発見する面白さがあると思った．
そのさまざまな方法をこの講義で深く学べたらと思った．
またこの講義では生体情報工学につながるものがあると思うので，
しっかり根本から理解したい．
その通り，後期の生体情報工学にも繋がります．
世の中のいろいろなところに意識していないだけで非線形なものが存在するのだと思った．
この非線形なものに対するアプローチはさまざまな分野で必要とされていることがわかり，
これからの授業が楽しみになった．
楽しみにしていてください．色々とお話しできると思います．
今日の講義では，
ロジスティック写像がとても印象に残った．
はじめ，
複雑な振動の話ということで，
フーリエ級数の話をするかと思ったが，
x(t+1)-x(t)平面でプロットすると片方は規則的な形になるという，
初めて見る方法で面白みを感じた．
また，
コバルトγ線放射の時間間隔はx(t+1)-x(t)でプロットしても良い関係は見出せなかったが，
別の手法を用いれば良い関係を見出せるのか気になった．
いいコメントですね．次回触れましょう．
なぜ時系列を2次元空間に変換するのか，
完全には理解しきれなかった．
このようにするということは，x(t)から次の時刻の値 x(t+1) を予測できるか，
をみていることになりますね．
講義の最初の複雑なふるまいを示す現象の例が，
予想外で興味深い波形図が多く，
講義を楽しんで受けることができました．
赤と青の波形図のどちらも一見すると規則性がないように見える中で，
実は青の波形にのみ規則性が存在していたことには大変驚きました．
非線形な式になるだけで，
これほどに挙動が理解しにくくなるのかと実感しました．
また，
周波数解析や時系列データを2次元空間に変換する手法がいくつか紹介されましたが，
実際の研究においては，
どのようにして適切な手法を選択しているのかが気になりました．
実は，実際の研究においても，今日紹介した方法とは基本的には同じ方法を用います．
線形と非線形のいい復習ができました．
また，
複雑な振る舞いを示す現象について，
例を基に理解することができた．
そして，
時系列を二次元空間に変換する演習を通して，
グラフの形を予測することができた．
予測できたのは素晴らしい．
身の回りに起こっている平均株価や，
地震などを予想するということがとても楽しそうで，
とても興味がわいた．
これからの授業が楽しみである．
楽しみにしてください．
・良く分かった箇所非線形ダイナミクスについて，
周波数解析や二次元空間への変換など，
複雑な振る舞いを示す現象の時系列に対しての基礎的な分析方法が理解できた．
よろしいと思います．
複雑な信号は，
非線形であることが今回の授業で分かった．
複雑な信号だから非線形ということでは必ずしもないです．
時系列を2次元空間に拡張するという話で，
例の2つ目においてプロットしたときに放物線のようなものが描かれているのが面白く，
色々なことができそうだと感じた．
しかし，
現実でそのようなものがあったとき，
例えば(x(t),(x(t+1))で綺麗な関係性が出なかったとしても，
(x(t),x(t+2))ならば綺麗な関係性が出るかもしれない，
などと考えていくときりがないように思うので，
どのように処理して関係性を見つけているのかがとても気になった．
いいコメントですね．素晴らしい．次回触れましょう．
1番簡単な非線形である2乗があるだけで，
あそこまで複雑な振る舞いをすると知り，
ビックリしました．
また，
一見複雑なデータも正しく整理すれば単純化することができると分かりおもしろかったです．
確かにびっくりですよね．
同じように複雑に見えた時系列のグラフを二次元空間に変換しただけで，
一方はバラバラなままだがもう一方はきれいな放物線を描くというのが印象的であった．
また，
この複雑な振舞いを示す現象は身近に数多く存在しており，
その解析を行うことが現象の予測につながり，
さまざまに応用できることが分かった．
その通りです．我々の周りは複雑な現象ばかりですね．
時系列信号を周波数解析するか2次元空間に変換するかで周期性が観察できるかどうか変わるところが興味深いと思った．
研究時には手段選択が重要になりそう．
そうですね．重要ではあります．
本日の講義では，
予測の付きそうにない時系列の背後にある，
y(t+1)=y(t)(1-y(t))という関係を見つけ出すことができたのが興味深かった．
青と赤で示された2つの系列は，
どちらも予測がつきそうになく，
実際フーリエ変換による周波数解析では，
顕著な特徴を見出すことはできなかった．
にも関わらず，
シンプルな方法によって法則をあぶり出すことができた．
簡単な関係ではあっても，
非線形であることによって複雑な状況が生み出されるという点と，
ある1つの方法によって本質を掴めなくとも，
別の角度から見ることによってそれを掴みうるという点が面白く，
示唆に富んでいるように感じた．
そうなのですよ．良いコメントですね．
ノイズのように見える複雑な信号でも，
ダイナミクス的に解析することで，
実は単純な非線形の仕組みが隠れていることがあると理解できました．
放物線を描くような二次関数に従う単純なデータであっても，
解析の方法が異なるだけでノイズのように見えてしまうことがあります．
そのため，
非線形な関係式を導き出すための関数を見つけることは非常に難しく，
この講義の肝であると感じました．
その通り，肝ですね．
時系列を2次元空間に変換した際に，
周波数解析ではほとんど同じように見えていた2つの現象が異なる結果を表したのが興味深かった．
また，
去年の実験の際に線形，
非線形という言葉が出てきたがしっかりと理解できていなかったため，
今回の授業で理解することができてよかった．
理解できたのは良かった．
世の中にあふれる非線形の現象について理解を深めることができるとおもうので，
これからの授業が楽しみになりました．
楽しみにしていてください．
二次元空間に変換して解析する方法は，
高校でいう変化の割合を用いて分析する方法と似ているものではないかと思った．
微分，差分ということですかね．