2025年04月23日 第2回
今回の講義を受けて，非線形の情報で溢れた世界で良かったと感じた．
それは，線形だけで構成されるような世界であれば簡単に解析できてシンプルすぎるゆえに美しくないと思えるからである．
そして，このような世界だからこそ，複雑な情報をうまく処理する技能が肝心だと考えることが出来た．
気になった点としては，
改良したモデルがどれだけ正確に現実の事象を記述するのかテストするノウハウもまた必要ではないかということである．
そのテストがまたどれだけ良いテストであるかを確認することも必要と考えるが，
こうした循環がどう解決されるのか知りたいと思った．
モデルの良し悪しについての検討が必要であることは，
講義でも説明しました．また，その際，この講義では，
この改良から出てくる非線形性について考えるともいいました．
循環については後期の生体情報工学で話をします．
様々な変数がでてきて複雑だなと感じた．
見た目では複雑な現象が，非線形な差分方程式で解けるのがすごいと感じた．
それほどたくさん出てきていないですね．
差分方程式は高校数学の漸化式と似ており，
また特に線形差分方程式は，等比数列と似ていて，
なじみがあったので理解しやすかった．
また，ヤマネコの個体数の例を通して，
簡単なモデル化の方法を理解することができた．
りかいできたのであれば良かったと思います．
モデルを作り，そのモデルについて改良を行おうとするとその方法は人それぞれであり，
様々な答えが出てくることを学んだ．
つまり，今はどんな改良の仕方があって，
なんでその改良が良いのかを知ることが大切であり，
そのために非線形なダイナミクスについて色んな例を見ていくことによってよりよい改良法が考えられると感じたので，
これからの講義で特にかの部分に注目して行きたいと感じた．
そうですね．非線形性について考えることが良いと思います．
一見複雑な差分方程式が簡単な変換によってロジスティック写像があらわれたことが大変興味深かった．
そうなのです．意外に簡単な変換で出てきますよね．
今日の講義では，
線形な差分方程式と非線形な差分方程式について学んだ．
特に印象的だったのは，Lynxの個体数の変化をモデル化する部分であった．
講義前から，このような自然界の現象は単純な線形の差分方程式では表せないだろうと予想していたが，
実際に非線形の差分方程式でモデル化されたとき，
予想よりはるかにシンプルな式で驚いた．
非線形というと複雑で扱いずらいイメージがったが，
今日扱ったモデルは直感的にも理解しやすく，
個体数の増減に関する現実的な要素をうまく反映していると感じた．
数式が抽象的な数学ではなく，
現実のデータとつながるものだと実感できた．
いいところに気づいていますね．複雑ではないですね．そこがポイントだと思います．
良かったと思う．
ありがとうございます．
今回の講義では，
線形な差分方程式の振舞いと実際の現象（非線形）の振舞いのモデル化などを学んだ．
差分方程式という概念は今日初めて学んだが，
高校のときに学んだ漸化式と同じようなイメージだったため理解しやすかった．
また，実際の現象が線形な差分方程式だとうまく表せないのは
それぞれの時点で増加率が異なるからであるということがわかった．
次回は非線形な差分方程式を扱う方法について，詳しく学んでいきたい．
理解してくれていると思います．
今回の講義では，
離散的な時間変化を扱う差分方程式について体系的に学ぶことができました．
特に，線形差分方程式と非線形差分方程式の違いや，
それぞれがどのような現象をモデル化するのに適しているかという点が印象に残りました．
非線形差分方程式では解の挙動が直感に反する場合が多く，
特にカオス現象が生じる可能性がある点に興味を持ちました．
カオスについてはお話ししますので，楽しみにしていてください．
カナダヤマネコの個体数の推移は，
一見不規則に見えるが，実は前年の個体数に依存しているのが分かり驚いた．
非線形でも，工夫すれば方程式に表すことができるが，
その表現に気がつくためには数学だけではなく知識が必要で，
研究職には教養も求められると思った．
カナダヤマネコの画像を検索したらもふもふで可愛かった．
そうですね．モデリングの際は大切になると思います．
時間tの間隔(tとt+1の間隔)はどのように決めているのだろうかと思った．
時間tの間隔の取り方によって，モデルの形も変われば，
精度も変わってくるだろうと思った．
いいコメントですね．次回触れましょう．
モデルの改良で線形な差分方程式が非線形な差分方程式になることを手を動かしながら理解することができた．
変数の数が1つ＝1次元という表現に対してx^2+x=0が1元2次方程式であるように，
変数の指数が2つなら2次ではないのかと疑問に思ったが，
調べると空間幾何での広がりを次元と表現することが分かった．
ロジスティック写像も動的に変化する数が1つなので1次元なのだと納得した．
今回のx_{t}=b*n_{t}/aの変換はグラフの縦軸と横軸の縮尺をスケーリングしたようなもので，
ロジスティック写像に変換可能なことは変換前のグラフから視覚的に判断可能だと考えられる．
講義で言った「変数の数が1つ＝1次元」というのは，「1元2次方程式」の1元のことです． また，「1元2次方程式」の2次は非線形性ですね．
2年生の時に学習したアルゴリズムの授業で局所的最適解について学んだが，
差分方程式の固定点と安定性の話は似ているようだと感じた．
おー，いいコメントですね．次回触れましょう．
差分方程式を利用してLynxの個体数の変化をモデル化する例において，
「前年度の個体数が大きいと捕獲されやすくなる」といった既知の知識をもとにモデルを改良していたが，
このようにモデルを改良したりする際には常識であったり，
別の分野の知識による予想が重要になるのではないかと思った．
分野も含めて，必要なことが違ってくると思います．
区分線形については，重ね合わせの理が各区間内では成り立つものの，
全体としては異なる線形則に基づいているため非線形であることが理解できました．
また，差分方程式については，
解法に関しては講義を通じて理解することができましたが，
概念そのものについては表面的な理解にしか至りません．
なので，次回の講義までに調べておきたいと思いました．
分からなければ質問してください．
今回の講義では実際の数値の変化をモデル化し，
さらにその改良を順を追ってできたことがよかった．
また，線形な差分方程式の振る舞いについて確認することで，
実際に周りに存在する現象に関しては非線形な差分方程式を利用してモデル化した方がよいということを
スムーズに理解することができた．
次回以降は，差分方程式の扱い方がポイントとなるので，
しっかりと学んでいきたい．
色々と演習をやりながら進める予定です．
カナダヤマネコの個体数の増減の変動を再現する過程にワクワクしています．
ワクワクするのは大事ですね．
非線形な実際の現象に対しても，適切なモデルを定めることで，
その挙動をロジスティック写像として表現可能であることがわかった．
うまく表現できると思います．
モデルをどのように改良するかは全く検討がつかなかったが，
方針まで示あり，わかりやすかった．
実際に差分方程式を現実で用いる場合は，
非線形な事象に用いることが多いのかなと思った．
そうなることも多いと思います．
正直高校の頃は，漸化式が日常にどのように落としこまれるのかが全く理解できなかったが，
今日の授業を通じて，少しずつ現実と数式が結びついてきた
実際の場面でも出てくるものですね．
差分方程式が漸化式のようなものであるというのはとても理解しやすかった．
高校数学における漸化式では一般項を求める上でたくさんの解法が存在したが，
差分方程式でも同じようになっているのかが気になった．
いい質問ですね．線形だと色々とあるのかもしれません．次回触れましょう．
線形モデル・非線形モデルの具体的な形や線形モデルがとる六種類のグラフを実際に確認することができ，
分かりやすかった．
また，カナダヤマネコのグラフから当てはまりそうなモデルを考える際の流れを感じることができ，
数学的な側面だけでなく，捕獲数といった現実の背景をも考える必要があると分かった．
色々な側面を考えることが必要になりますね．
今日の授業では新しい概念として差分方程式と，
それを視覚的に解く方法として少しだけ図式解法について習った．
図式解法について最後に触れるまでの流れで丁寧に式変形についてやっていたことで
そのような作業が視覚的に理解できることの良さを個人的には実感できてよかったです
（まだ図式解法で解いてはいませんが）．
分かりにくかった個所としては差分方程式の説明が流れでされていたため，
何となくの看過うとしては理解しているのですが，
明確にどのようなものなのかと聞かれると答えることが難しく，
良かったら明確な定義な定義が欲しいです．
ロジスティック写像の前段階でモデルの改良を行った際には，
式を展開する前の形では改良が良く理解できなかったが，
展開後にはわかりやすい形になっているように感じた．
差分方程式の定義は説明したと思いますが，次回再度説明しましょうかね．
前回コメントを提出しそびれてしまったので，悔しいです．
授業について，最初シラバスを読んだときは，非線形やらカオスやらの用語があり，
きっと講義では恐ろしい数式がたくさん出てくるのだろうと思っていましたが，
今回学んだ差分方程式は，割合直感的に理解できる概念でしたので助かりました．
差分方程式は，
現在の状態が次の挙動に影響するような場面を扱うのが得意そうだと感じました．
マルコフ性？とかは関係あるのでしょうか．
また，恐らく自分が聞きそびれたのですが，
微分ではなく差分を採用する理由とは何でしょうか．
計算量が少ないから？巨視的かつ平均的なふるまいを扱えるから？
関係すると思います．講義で説明しましたが，差分方程式はある意味扱いが楽だからです．
前回と異なり，数式が沢山出てきたため，
ちょっと抵抗が出たが，1つずつ理解していくことで案外簡単に分かった．
数式が出ると抵抗があるようだと困りませんか．
本日の講義では，
ヤマネコ個体数のデータを用いて，実際にモデル化や差分方程式等について考えました．
その中で，動物の個体数の変動とヒトの人口は，
同じように表す事ができるというお話があり，
マルサスの名前も登場していました．
前回見た時系列データの中にも，
株価指数や感染症患者数などがあり，
社会科学との近さも感じられました．
以前受講した社会科学系の授業でも，
ネットワークモデルでのスモールワールド現象などは興味深かったので，
非線形ダイナミクスや複雑ネットワークを併せて見ていくのが楽しみです．
また，今回のヤマネコのモデルをfortranで動かしてみたところ，
どこかに収束してしまうなど，パラメータによって随分振る舞いが異なり，
非線形現象の難しさに振り回されました．
実際に自分でやってみたのはとても良いと思いますが，まだ，
フォートラン使っているのですか．
線形か非線形かどうかを考える際に，
区分線形の際に正確に判断することができなかったため，
線形ならば重ね合わせの理が成立，
非線形ならば不成立という関係をしっかりと理解しておきたいと感じた．
差分方程式では新しい変数に変換することで，
定数が一つ減るというトリックがとても興味深かった．
全ての場合について変数が減るわけではありません．
線形な差分方程式の解き方を学んだ．
カナダヤマネコを具体例としてモデル化して解いたが，
モデルを改良する点が少し難しかった．
次回は非線形な差分方程式の２種類の方法を学ぶので難しいと思うが頑張りたい．
演習を交えながらやろうとおもいます．
モデル化したい値の変動要因を多く考慮すればするほど,
数式は複雑になり計算量も増大するのかなと思いました.
そうですね．複雑になれば，計算量自体は増大してしまうと思います．
個体数によって増加率が変化する話が確かにと思いました．
chatgptは分数の計算に弱いイメージがあります
計算には弱いですね．分数の計算ができないとなると小学生以下ですね．
差分方程式というものを全く聞いたことが無かったので少し理解に時間がかかった．
差分方程式＝漸化式という認識でよいのかが分からなかった．
帰って調べようと思う．
差分方程式を漸化式と考えても良いですよ，と講義でも言いました．
講義を通してロジスティックス写像の式 x_{t+1}=a(1-x_t)x_tが
どのような過程を経て考えられた式なのか理解できた．
理解できて良かったと思います．
ある現象を線形な差分方程式でうまく表せないときに，
定数aを変数を含んだ形に変更して非線形な差分方程式に改良するという着眼点がおもしろかった．
一つの改良ですが，簡単に非線形が出てきますね．
線形と非線形の違いがよく分かった．
また，区分線形について説明がわかりやすかった．
素晴らしい．理解してくれているので良かったと思います．
今回の講義では，
区間線形の概念また，線形と非線形の差分方程式．
そしてカナダヤマネコ個数増減のデータを元に
非線形な差分方程式を新しい変数に変換することでロジスティクス写像できる仕組みを学んだ．
高校では線形の差分方程式しか学んでいなかったので
今回の講義で非線形な差分方程式のあり方みたいなものを学んで扱える範囲がまた広くなったと感じた．
ロジスティクス写像，図式解法の特性や実際の解析の例などを今後学んで生きたいと思った．
ロジスティック写像，ですね．
変数変換をすることで，式の見通しが良くなることがよく分かった．
色々な工夫でみやすくなることが多いですね．
今日の講義で一番印象に残っているのは，
Lynxの個体数変化のモデル化である．
増加率を少し改良しただけで非線形になり，
現実の問題の多くが非線形であるか実感した．
そうですね．簡単な改良ですが，そうなりますね．
モデリングにおいて煩雑な漸化式は変数変換を行うことで良く知られた形を見出すことができることが，
大学受験の数学知識がそのまま活きていて感激した．
感激ですか．
カナダヤマネコのデータのような予測でしにくいデータをモデル化できるのだろうかと思っていたが，
講義で与えられた式(n(t+1)=an(t)-bn(t)^2)で確かにある程度は表現できるなと思い，
自分では思いつかなったのですごくおもしろいなと思いました．
ここはあくまで一例なので，実際には色々とあると思いますし，自分でも考えてみてください．
モデルを少しずつ改良していく方法を学んだ．
しかし，どの改良が正しいかの判定は難しいと思う．
人口や，ヤマネコが少ない場合に線形に近似できることを知り，
実世界でも線形な関係を使えることが分かった．
その通りです．講義でも言いましたが，実際はこの後検証する必要がありますが，
この講義では非線形な差分方程式の振舞いを調べたいので．
今回の授業では線形な差分方程式と非線形な差分方程式について学んだ．
線形なものと非線形なものの違いについてモデルを参考に理解することができた．
線形な差分方程式に関しては大学受験の知識を用いることで解を簡単に求めることができた．
モデルの改良の話では増加率を考慮して，
bという変数を追加して式の改良を行なっていたが，
他の改良方法についても考察してみようと思う．
非線形な差分方程式を扱う際の図式解放を次回扱うとのことで楽しみである．
楽しみにしていてください．
前回の課題でも思ったのですが，
課題の提出締め切り日は，
締切日1週間前までの講義を聞くことで解けるように設定されているのでしょうか？
線形な差分方程式と非線形な差分方程式の違いの説明が実際の現象の振る舞いを用いていたので分かりやすかった．
増加率aが時間の経過で変化すると考えるだけで非線形ダイナミクスに変化してしまうことが分かった．
現実の複雑な事象はほぼ非線形であることが理解できた．
締切日の設定はそのようにしています．
区分線形が部分的に線形な関係がある非線形な関係であるということを学んだ．
実際の世界にありふれているのは線形な差分方程式で表すことのできる現象は少ないので，
非線形な差分方程式を扱うための変換について理解した．
また，差分方程式において新しい変数をおくことによってロジスティック写像に変換する過程は興味深いと感じた．
うまく変換できるようになっていますね．
線形の振る舞いには6種類しかなく，
それにより非線形モデルのほうが圧倒的に多いということを知った．
線形モデルでは増加量も一定となるため表すことのできるものが限られている．
つまり，今回理解できたのはほんの一部であることを知り残念な反面，
これから学ぶ非線形な差分方程式が楽しみでもある．
楽しみにしていてください．複雑です．
ロジスティック写像が人口に関係することは知っていたが，
今回の導出を通してどのように関係するのかを理解できた．
単純な考察から複雑な関係が生まれてくることが興味深かった．
シンプルですが，実際は複雑なのですよ．
講義を通じて，
現実の世界は単なる線形な差分方程式でモデル化できるほど簡易な作りになっていないことを改めて感じてた．
前の状態からある程度は予測できるものの，
現時点では完全に次の状態を予測できるようなモデルを作るのは容易ではないため難しい問題だなと感じた．
そうですね．ある程度はできますが，難しいところも多数あります．この内容も講義で紹介できると思います．
高校の漸化式と似てる部分が多くあり，理解がしやすかった．
tはサンプリング数(区切る数)に依存する離散的な数だと思われるが，
サンプリング数によって差分方程式が変化すると感じ，その扱いに疑問が生じた．
どのような疑問でしょうか．
今日の授業では主に差分方程式について学んだ．
線形な差分方程式では表現できる振る舞いが思った以上に限られており，
日常に現れる変化に線形なものはほとんどないのではと感じた．
内容とは関係ないですが，
食糧自給率の低さには私も思うところがあります．
自国の主食が高くて買えないって結構ヤバイですよね．
良いコメントですね．確かにやばいです．大丈夫かね．
戦争になったら，まずいと思います．
今回は差分方程式について扱った．
差分方程式の解が手計算で導出できない（ことが多い）のが意外だった．
また，x_t=b*n_t/aと線形変換する発想が面白かった．
非線形の場合は導出できないことが多いですね．というか導出できるのは稀です．
今回の講義では，
なんとなくのイメージでしか区別できなかった線形や非線形に関して，
区分線形などの概念を学び理解を深められた．
差分方程式の解は数値ではないというのがあまりよくわからなかったが，
ロジスティク写像の例を通して雰囲気はつかめた気がする．
分からないところは質問してください．
今日の内容 -差分方程式の基本的な定義・解法と導入，
線形から非線形へのロジックわかりにくかったところ
-Lynxの数のモデルをnt+1=antに改良した理由がわかりにくかった．
nt+1=antに改良したのではなくて，
nt+1=antを改良する，とお話ししました．
ロジスティック写像は特別なaの場合のみ三角関数を用いて解けることを入試問題でやったことがあるが，
そうでないときにどのようなアプローチをとるのか気になった．
次回お話しする方法ですね．実際に大量に計算する場合はコンピュータになると思いますが．
離散的な時刻にしかダイナミクスを適用できないのかと思っていたが，
微分方程式を使えば連続的な場合にも適用できると聞き，
なぜ情報系の文脈で微分方程式をよく見るのか，
やっとわかった．
実際，物体の動きなど，ダイナミックなものの振舞いは微分方程式で記述されますからね．
先週に続き，非線形，線形を学び，区分線形を理解した．
また，差分方程式を学び非線形差分方程式において新しい変数に変換することによるロジスティック写像を学び，
その有用性に触れた．
図式解法についての興味が沸いたため，来週が楽しみである．
楽しみにしていてください．
差分方程式が具体的にどのように機能して活用できるか，
実例と重ね合わせながら理解することができた．
次回以降の図式解法の詳細について，
置いていかれないようにしっかりと復習しておきたい．
復習もしてもらって不明な点は質問してください．
確かに，常に線形な変化をしているものの方が少数だと思うので，
どのように変化則を見つけてモデル化していくのかを学んでいくことが楽しみになった．
いずれは身の回りのことについて自分で規則性を見つけてみたいと思った．
自分は米派なので米の値上がりはとても困る．
そうですね．お米は大切だよね．
本講義を通して，非線形な現象は増加率が一定ではないため，
線形な差分方程式では表すことができないので，
モデルを改良する必要があると分かった．
その通りです．
高校で学習した数列的な内容だったがそれを現実でのモデルに当てはめて改良していくのは非常に面白いと思った
実際にモデルを用いて面白みをさらに説明できると思います．
今日の講義では，主に差分方程式の基本的な考え方について学んだ．
カナダヤマネコの個体数の増減を例としてその非線形な変化をモデル化させる流れが現実的に考えやすく，
このような生態系などに関することが数式で表現できることが面白いと感じた．
次回以降の講義では，非線形な差分方程式の解を図式解法などでどのように扱うのかを学んでいきたい．
演習も行う予定です．
線形な差分方程式って前のt値と現在tの関係を使って，
次の値を決めていく式(差分方程式)かつ線形の性質を持つ式であることがわかり，
それらの振る舞いがaの値によって全然違う振る舞いをしている部分が興味深かった．
線形な差分方程式は線形であり，我々の世界は非線形な世界なので，
非線形な振る舞いをどのように予測していくのかをその手法の基礎を先生が教えてくれると思います．
ロジスティック写像のわかりやすさはあまり実感できなかった．
(非線形のものが非線形なままだったから)毎回新鮮すぎる内容で面白く感じました．
分かりそうでまだ理解できてない部分が多い講義内容で，勉強の必要性を感じます．
これらの知識が基礎となり，
ニューラルネットワークの研究などでどのように利用されるのか想像できないので
簡単に説明していただけないでしょうか．
流行りのニューラルネットワークも同じように力学系ですが，
違いは次元が高いということでしょうか．実際はこれからお話しする内容は基礎的なところにもなると思います．
本日の授業では，線形性と非線形性の違いについて良く理解することができた．
また，線形な差分方程式の振る舞いは，
数列と同じようなものだったので理解するのに苦しまなかった．
最後に，今回の授業はこれまで習ってきたことが多かったので，いい復習となった．
理解してくれたようで良かったと思います．
講義のはじめで前回講義の残りを扱い，
区分線形はすべてのXについて重ね合わせの理が成り立つわけではない点で非線形であると紹介されていたが，
いかに線形という関係に対して非線形であると考えることができる関係が多いかについての想像力が足りていなかったと自覚した．
今回の講義では，差分方程式について学んだ．
まず線形な差分方程式とその取りうるふるまいについて理解した．
カナダヤマネコの個体数について，差分方程式を考えていった．
線形差分方程式ではないのではないかとして，
簡単なモデルの改良を行った．
増加率をtでの個体数に依存すると捉えた方程式を考えたという簡単な操作を行っただけで，
非線形な差分方程式になってしまうことを実感することができた．
多次元の差分方程式を扱う手法として，
コンピュータによる繰り返し計算が挙げられていたが，
これを実行するか否かについて，
１年生２年生で扱ってきたP,NPの話が関わってきそうであると考えた．
力学系においても関係しますね．決定不能なものもあるので．
本日の講義では，差分方程式の基礎的な考え方およびその応用について学んだ．
特に，モデルを段階的に改良していくことによって，
問題点などがわかりやすく学べた．
線形，非線形関係なく，新しい変数に変換すると分かりやすくなる場合があるというのは，
実際のどのような現象の振舞いに相当するのかあまりイメージがつかめなかった．
講義で式変形したと思いますが，式変形後がわかりやすいと思います．パラメータが一つ減るので．
Lynxの個体数の増減の例では，
増加率の決め方が実際にはもっと複雑になると考えられ，
個体数に影響を及ぼすさまざまな要素を考慮しなければならない．
モデルの確立だけでも手間のかかる作業であることが改めてわかった．
また，<差分方程式は高校数学では漸化式という名前で学習したが，
今回の講義において，
高校数学で学んだ内容が大学で学ぶ内容の理解に大いに役立っていることを改めて実感した．
基礎にはなっていると思います．
今回は主に差分方程式について学んだ．
例として挙げている側面が大きいのだとは思うが，
Lynxの個体数の変化のモデルを改良したとしても
グラフの数値に完全に沿う差分方程式にはならないのが気持ち悪く感じた．
このため，現実でデータから差分方程式を立てるときに
方程式の解と現実のデータのずれがどの程度までなら許容されるのか，
また，方程式が単純になることと解がデータに即すことのどちらが優先されるのかが気になった．
良いコメントですが，モデル化についてはその通りです．ですが，講義でも述べたように， ここではそれには立ち入らず非線形性が出現するというお話しをします．
本日の授業を通して，
線形方程式と非線形方程式について様々なことを学ぶことができました．
比較的単純な形を持つ線形方程式と，
自然現象のような複雑な現象を表現するための非線形方程式とを，
どのように区別し分類するのかについて，深く考える機会となりました．
そこで一つ疑問が生じましたので，質問させていただきます．
非線形方程式には，現実世界の複雑なシステムをすべて表現できる可能性があると言われています．
しかし，実際にはそうした方程式を立てても，
カオス的な振る舞いにより予測の可能性が大きく下がってしまうことが多いです．
そこでお伺いしたいのですが，カオス性が少なく，予測可能性が高いために，
非線形方程式を用いることで科学的または実生活において大きな役割を果たした例はありますか？
それとも，非線形方程式は起こった現象を数学的に表現すること自体に意味があるのでしょうか？
「カオス性が少なく」というところがちょっと微妙なところですが，
これをある意味気にせずに答えるとすると，例えば，天気予報はその一例です．
今回のモデルの改良においてaを変えたが捕獲し毛皮をとっていると考えたら個体数が減少していると考えた．
なのでntの部分をnt-n`tなどの新しい変数にしたらどうかと思った．
変数の数を増やすということでしょうか．それもありですね．
連続的な微分方程式と異なり，
差分方程式では時間が離散的に進むため，
解の導出過程やその意味づけが新鮮に感じられた．
特に，初期条件が少し変わるだけで解の形が大きく変化する例を通じて，
モデル化における初期条件の重要性を改めて実感した．
実感できたのであれば，それは素晴らしい．
今回の講義では, 実際の現象の振る舞いを非線形な差分方程式でモデル化することについて学習した.
n_tの変化率aが常に一定ではないということがモデル化を考える際の重要なポイントであると感じた.
その通りです．ポイントです．
カナダヤマネコは可愛かった.
前回の講義を受講していて, なんだか難しい分野だなあと感じていたが,
漸化式と似たような概念だと説明されて以降は理解がよく進んだのでよかった.
モデリング理論の目的が未来の出来事を現在や過去の事象を用いて推測, 説明することだとしたら,
2年までで学んだ確率統計と重なるものがある.
いいコメントですね．世の中の事象をどのように考えるか，というところにあると思います．次回触れましょう．
非線形な差分方程式と聞いて最初はあまりイメージがつかなかったが,
線形な差分方程式から, 時刻によって増加率が変わるようにした結果,
非線形な差分方程式の形につながったことで理解することができた.
よろしいと思います．
本講義では，主に差分方程式のことを学びました．
カナダヤマネコと違い線形な差分方程式では表現できないlynxの個体数の増減を考えたときに，
増加率に注目しモデル改良したところがおもしろかったです．
色々な着目点がありますので，今回はあくまで一例ですね．
今回の講義でダイナミクス，
差分方程式などについて理解することができた．
モデル化の例として，Lynxの個体数の増減が挙げられており，
非線形ダイナミクスをどのようにモデル化するのかをイメージしやすかった．
次回の講義では，ロジスティック写像に関して理解を深めたいと感じた．
ぜひ深めてください．
線形・非線形に関係なく変換するなどしてわかりやすく理解することは大事だと思った．
その通りです．理解しやすくすることは大切ですね．
線形・非線形系の違いやダイナミクスの概念について具体例や数式を交えて学べたため，
理解が深まりました．
ダイナミクスという概念が実際にどのように役立つのかを把握できていないため，
これから理解を深めていこうと思います．
講義でも説明できると思います．
Lynxの個体数の増減をモデル化した際に，
モデルを改善することでロジスティック写像の式にたどり着いたことが印象的だった．
どんなに複雑で，一見説明のつかなそうな現象でも，
モデルの取り方次第で説明がつく可能性があると思うと，
興味深い分野であるなと思った．
面白いでしょう？
今回は非線形な動きの一つとしてロジステック写像を勉強し，
式として表すとかなりシンプルな部類であるにも関わらず非線形の例として例示されていて，
非線形の『複雑』のイメージとは乖離していたので，
しばらく「ここから式が複雑になって非線形なものが生まれるのだろう」と予想していたが，
この式を進めていくだけでかなりカオスを生んでいることに驚いた．
簡単ですが振舞いが複雑になりますね．
現実の現象は線形な振る舞いをすることはほぼなく非線形なモデルを考えることが必要．
その際に現実のさまざまな状況を考慮してモデルを作らなければならない．
その通り．
モデルの改良を行う際に簡単に非線形の形が出てきてしまい，
むしろ線形で表せるほうがめずらしいのだと感じました．
また増加率を意識して改良を行っていくのが大事だと思いました．
あくまでこの改良は一つの考え方でしかないので，本当はもっと他のものもあるかもしれません．
複雑なダイナミクスを非線形な差分方程式で表現する過程が理解出来た．
よろしいと思います．
本日の講義では，
「線形の差分方程式では扱いきれない課題に対して，
非線形の技術を導入する」という流れが非常に自分に合っており，
内容を深く理解できたと感じました．
また，講義中に生徒に問いかけていたのがとても理解の助けになりました．
もし授業運営に合うようでしたら，
以下のようなWebツール（https://papapac.com/）のご活用も，
対話的なやりとりの一助になるかもしれないと感じました．
これ，昔zoomを使い始めた頃にやったことあるような気がします．
連続的な時間を扱うのが微分方程式，
離散的な時間を扱うのが差分方程式だとわかった．
連続的時間を離散的に扱うことで，
方程式の結果にどれくらいの誤差を与えるのか気になった．
いいコメントですね．次回簡単に触れましょうか．
Lynxの個体数を題材にした例を通じて，
なぜ線形な差分方程式では自然界の状態を正確に表現できないのか，
よく理解することができました．
最初にグラフを見たとき，
これは線形ではないと感じましたが，
その理由を考えながら学ぶことで，
より深く理解することができたと思います．
また，授業の合間に出てきた食料自給率などの雑談も個人的には興味深かったので，
今後もこのような雑談があると嬉しいです．
雑談は入れてしまうかもしれません．．．
差分方程式については初めて学習したが，
時間を離散的に捉えるという点で微分方程式との違いを確認できた．
実際にLynxの個体数の増減をモデル化する過程で，
現実の現象に沿ったモデルを作成しようとすると，
線形な差分方程式を扱うよりも非線形な差分方程式を扱う必要性が出てくることの方が多そうだと感じた．
また，現実の現象をモデル化するには，
何がどのように影響しているのかということを分析する能力が必要になると思った．
分析能力というよりも，どのように考えるかという力ですかね．
色々と考えることが大切だと思います．