2025年04月30日 第3回
周期解の周期が無限になるとカオスになるというのは
周期なのに同じ値が出てこないという何か矛盾のようなものを感じて興味深かった．
徐々に周期の長さが伸びていくと．．．と考えると良いかもしれません．
図式解法は，高校時代の漸化式の授業で触れられたが，
今回は90分かけて本質的な意義を学習できてよかった．
しかし，正直今回のロジスティック写像を手で図を書いてやるのはかなり無理があった
(aが3.56,3.566のときは違いを見いだせなかった)ので，
コンピュータでの数値解法より実用性には劣ると思った．
そうですね．次回触れますが，aが大きくなっていくと，
周期の長さが伸びますからね．
- 出席コードについて初回授業で，
もし入力したい人がいたらmmddと仰っていましたが，
コードが違うと返ってきます．
コメントBOXで出席+参加点を取っているのであまり気にしていませんが，
念のため伺いたいです．
- 講義についておんなじ値が出てこない → カオスなんですね聞く限り，
解析が難しそうです．
次回からの講義が楽しみです．
mmddとは言っていないです．
逆だと言いました．入力できている人がいるので，
第1回目をよく聞いていないと思います．
今回の授業では図式解法のやり方に関して学び，
ロジスティック写像について図式解法を行った．
aの値によってこんなにも振る舞いが違うのかと驚いた．
周期解の周期が無限に大きくなると，
二度と同じ値をとらなくなるということが興味深く感じた．
そうですね．振る舞いが変わりますよね．
高校で数学を学んでいる時に，
今回の図式解法のような考え方を教わったことがあったが，
基本的に一点に収束する問題を扱うからか，
x(t+1)=x(t)となるtに収束するものだと勝手に勘違いしていた．
今日の授業で複数の値を周期的にとることがあると分かり，
興味深いと思った．
また周期が無限になると，
同じ値を取らなくなるというのは非常に興味深く感じた．
理解してくれていますね．
ロジスティック写像の例を通して，
aの値によって周期がどのように変化するかに興味を持ちました．
特に，aが小さい時には周期の変化が小さいが，
aが大きくなるにつれて，
ほんのわずかな差でも周期が急激に増加することがとても不思議で印象に残りました．
これまでカオスという言葉は聞いたことがありましたが，
今回の講義を通して，
その意味や具体的な現象について初めて理解することができました．
良いところに気づいていますね．aの差が小さくなることは
次回以降触れることになります．
今回の講義では，主にロジスティック写像の図式解放を行ったが，
定数aの値を増やしてくたびに収束する値の周期が増えていく点は面白く感じた．
また，周期が無限になるという表現が新鮮だった．
周期が増えすぎて同じ値をとらなくなるという点は非常に興味深かった．
講義内では，実際に手を動かしながら図式解放の手順を学べた点がよかった．
実際にやってみると理解が進みますね．
非線形の差分方程式の図式解法について，
図で方程式のふるまいを確認することで，
方程式の係数の違いによって値のふるまいが大分変ってくるということがよく理解できた．
ロジスティック写像の図式解法の解の周期について，
周期性が無限にならない組み合わせに規則性はあるのでしょうか．
良いコメントですね．次回触れます．
ロジスティック写像の図式解法では，
放物線と45°の直線の間に繰り返し線を引くだけで，
複雑多様な振る舞いが見られ，興味深かった．
書籍で分岐図というものを見て，
a=3くらいまでは固定点が定まるにもかかわらず，
aがより大きくなると周期が倍増し，
振る舞いが複雑になっていく様子がよくわかった．
また，単に周期が倍加されるのみならず，
ところどころ窓があり，
周期が小さくなったりもしており，
より混沌という感じがした．
そうですね．窓についてもどのようにできるのかは分かっています．
先週にロジスティック写像を学んだ際には全く見えてこなかった性質が，
今週の講義を通して具体的に理解できた．
ロジスティック写像の固有点が係数aによることは，
このように具体的に図式解法をしていかないと読み解けない内容だと思う．
以降の講義から固定点がより多くなったロジスティック写像から
どのようなことが解析できるのかを知りたい．
固有点ではなくて固定点ですが，図式解法を使うとわかりやすいということで，
実際は，どのような応答になるのかは解析的に考えることができます．
大学に入ってから視覚的に問題を解くことがなかったため，
等比の問題をグラフに書いて実際に体感するのはとても面白かったです．
現実問題に周期解の例があるか調べてみた結果，
バクテリアの増殖がその例にあたることがわかりました.しかし，
ITについての応用の例がまだわかっていないので
今後の授業で触れてくれることを期待してます．
バクテリアの増殖はどこで調べたのですか？
本日は図式解法について学んだ．
ロジスティック写像においての図式解法で，
係数が3ぐらいの値であると決まった値に周期的に動くのは
収束か発散していくと思っていた自分としては意外でした．
実際にやってみるとどのようになるのかがわかると思います．
図式解法を用いることで，
ロジスティック写像の振る舞いを視覚的に確認することができ，
数式が収束や発散するのを感覚的に捉えることができた．
よろしいと思います．手を動かすことが大切です．
今回の講義では図式解法について学んだ．
ロジスティック写像を実際に図式解法でxの値を求めるのが面白かった．
また，x_{t+1}=a・x(t)でaを変化させて時系列としてみた時に固定点に収束したり，
発散したりすることも理解できた．
周期はだんだん大きくなると無限になりその結果カオスになるというのも理解できた．
手を動かすと理解が進むと思います．
ロジスティック写像ではaの値によって周期が変わるが，
a=4の時では２度と同じ値が現れないというのはとても面白いと思った．
次回再度触れます．
収束性がなくなるのは面白いと思った．
面白いですね．
図式解法を使えば，
人間にとってわかりやすい視覚的な結果が生成できるのは魅力的だと感じた．
一方で，細かく書き込むことが困難になってくるときもあるので
一長一短だと思う．
その通りです．実際は解析的に行う必要があります．
非線形な差分方程式の解は求まるのか疑問に思っていたので，
その方法を知ることができてすっきりした．
ロジステジック写像の導入部分といえる部分を学んだが，
解の安定性や漸近的な振舞いを予測するのが容易ではないことが図式することで，
感覚的に納得できたと感じる．
そうですね．図を使うと理解できると思います．
差分方程式の図式解法を実践し，
1次元の場合は1を境に収束，
発散が決定する点など非常にわかりやすく有用な手段だと感じた．
それに対してロジスティック写像の場合には値を少し変えるごとに
周期が変化し徐々に複雑化してゆく点が興味深かった．
1次元の場合ではなくて，線形な差分方程式の場合ですかね．
図式解法を用いてロジスティック写像を解析し，
増加率 a の変化によって現れる収束や周期のパターンを視覚的に確認することができた．
中でも a = 4 のときに見られたカオス的なふるまいは特に印象的で，
規則性のない動きがなぜ生じるのかについて興味を持った．
良いコメントだと思います．理由は次回，or その次などの説明できると思います．
今回や講義は計算と線を引く時間が多くあり眠くなりませんでた．
それは良かったですが，そう言うこと言っていると今後困ると思いますよ．
ロジスティック写像は，
aの値を大きくしていくと，周期解の数が増えていき，
a=4でカオスになることが，図式することで分かった．
このように，図式化では，
数値計算では無く感覚的な理解ができるので，
有用だと感じた．
そうですね．ただ，あくまで定性的にしか理解できないので，
そこは注意が必要ですね．
今回はロジスティック写像を図式解法用いて解析した．
ロジスティック写像のa(増加率)によって
収束の仕方や収束する点の数(周機解)が変化する様を
実際に手を動かして実感した．
図を見ていて規則的な模様や時系列解法などをみて
収束の仕方などがすごい面白かった．
またa=4のときにはカオス理論のようないくら写像しても
同じ値がでない様子が見られることになぜa=4の時なのか，
など考えさせられるものを見れて良かった．
良いコメントなのですが，実際はa=4のときだけではないので，次回以降触れます．
図式解法による解の求め方について学んだ．
周期的な解があると手書きでは限界があると感じた．
その通りです．
カオスのところで本当に同じ点が現れないのかと思いましたが，
同じ点が現れるなら，
以降の点列は同じになって周期的になるので，
対偶をとって周期的でない(周期が無限?)ので，
同じ点は現れないのですね．
そうです．理解してくれていますね．
ロジスティック写像において，
曲線がx>0において交点を持たない場合は0に収束，
持つ場合には0でない交点に収束するものだと予想したが
周期解を持つとは思わなかった．
あと，2の累乗周期解しか今回は出てこなかったが
3周期解はないのかなと思った．
良いコメントですね．素晴らしい．次回触れましょう．
ロジスティック写像の振舞いを図式解法で調査するとき，
aの値によって固定点に収束したり，2周期解や4周期解が得られるなど，
結果がさまざまであることが分かった．
固定点の場合は，その値に限りなく近づき，その値になることはないが，
周期解の場合も同様に，複数の解に限りなく近づくだけなのか，
それとも全く同じ値をループしていくのかのどちらなのかは気になった．
同じ値になりますね．
今回の講義では図式解法を用いてどの固定点に収束しそうか，
あるいは収束せず周期的か散発的に動き続けるかを視覚的に捉えることを学んだ．
2^n周期解しかないのかと思ったが，
実際に調べるとa=3.83のときに３周期解をとるように，
2^n周期解以外もあるということが分かった．
2^n周期解は安定し，
それ以外は不安定らしいが調べても理由があまり理解できなかった．
プリントの続きを見ると2周期解の安定性について
言及されるようなので次回の講義が待ち遠しく感じる．
良いコメントですが，どうやって調べましたか．
今日の授業ではロジスティック写像の図式解法について学んだ．
aが小さいときは単純に見えたロジスティック写像も，
aを増やすと極めて複雑な動きを見せることがわかった．
特にa=4という小さい値で無限に発散してしまうというのは面白いものだと思った．
配布資料の図にも入れてありますが，
「a=4という小さい値で無限に発散してしまう」とは説明していないです．
図式解法について演習を通して理解した．
aの値によってモデルの最終的な振る舞いが変わっていく様子が興味深かった．
理解してくれたようで良かったです．
今回の講義では，
ロジスティック写像を例として図式解法を学んだ．
図式解法は，手書きでやると
aの値が3.52になったあたりで
気が狂いそうになったが，
aの値によってどういった振る舞いをするのかは
実際に手を動かすことでよく理解できたと思う．
固定点，周期解，カオスについて詳しく学んでいきたい．
そうですね．実際にやってみることが大切ですね．
今日の授業では具体的な図式解法のやり方について学んだ．
前回示された課題の中に図式解法の実装を必要とする課題があり，
インターネット上で調べて実装を行っていたため，
自分の調べた図式解法と実装するべき図式解法が一致していて安心した．
よろしいと思います．
今回の講義では，
図式解法について学んだ．
非線形なロジスティック写像ではaの値が大きくなると，
tの値が増えていくに従って複数の値が
繰り返し続いていくようになることが興味深く感じた．
a=4.0では繰り返しの周期が無限になる点も面白く感じた．
次回詳しくお話できると思います．
授業内で実際に手を動かした演習を行うことで
深い理解ができたように思えます．
線形な関数を図形解法で解決していた際は
そうする必要があるかを理解していませんでしたが，
ロジスティック写像へ拡張した際に
一気に視界が広くなったような感覚があり感動しました．
aの値が大きくなるごとに周期が増えていたため，
a=4にて周期が無限大になるような気がします．
そうですね．次回改めて話をしますが，実際は他の値でも周期が無限大になります．
実際に手を動かすとよく理解できた
よろしいと思います．
今回の講義では，
前回確認した線形な差分方程式と
非線形な差分方程式の例としてのロジスティック写像について，
図式解法を用いて，
それぞれの方程式についてあり得る解について知った．
ロジスティック写像については2^n周期解という数値解ではないが，
その物理量の特性をよく掴めている解の存在を知った．
私の伝聞では小さな初期条件の違いがある程度の時間をおくと
大きな違いとなることがカオスだと思っていました．
講義内では，
周期が発散することをカオスだと最後に仰っていました．
今回の場合でいうと，
モデルの定数という理解で大丈夫でしょうか．
初期値鋭敏依存性については改めてお話をします．
周期が発散するとは言っていないです，無限大になるとは言いました．
モデルの定数というのはどういうことでしょうか．
今回はロジスティック写像の図式解法について扱った．
疑似乱数発生器であるメルセンヌツイスタの周期が2^19937-1なので，
安直な推測だがa=3.999999...の
ロジスティック写像を利用しているのではないかと思った．
いえ，残念ながら違います．
差分方程式を視覚的に理解するための図式解法について学んだ．
簡単な線形な方程式の場合はパラメータの絶対値の大きさによって
収束か発散か否かわかりやすかったが，
ロジスティック写像に関しては
パラメータによって全く違う挙動を起こし，
作画途中は頭がこんがらがりそうになった．
そうですね．確かにこんがらがると思います．
本日の授業では，
ロジスティック写像で，
a=4の時には二度と同じところを通らないのはなぜかが気になった．
他の値でもそのようなものがあるのかを調べてみようと思った．
良いコメントですね．調べてみましたか？
今日の授業では，
ロジスティック写像について学ぶことができた．
単純な数式であるにもかかわらず，
パラメータaの値の範囲によって，
形やその様相がどのように変化するのかを実際に確認しながら，
分かりやすく理解することができた．
今後，このロジスティック写像を通して，
非線形な振る舞いをどのように表現し，
可視化していけるのかに興味が湧いてきた．
良いコメントだと思います．単純なのに，複雑な振舞いを示すのですよ．
線形な祖分方程式のロジスティック写像は想像がつきやすいですが，
非線形な二次関数のロジスティック写像はだと
aの値でこんなに変わるんだなと実感しました．
カオスについては二重振り子で知っていましたが，
カオスであることがわかってその後実際になにに使われるか気になりました．
「祖分方程式」ではなくて差分方程式②ですね．
そして，線形な差分方程式はロジスティック写像とは呼ばないです．
ロジスティック写像と図式解法についてよくわかった．
実際にグラフに書き込むことで視覚的に理解することができた．
よろしいと思います．
図式解法の言葉自体は聞いたことがあったが，
実際に自分でやってみると，
思っていたよりも単純なことをやっているのに気づいた．
そうです．それほど複雑なことはやっていないです．
ロジスティック写像のaの値を帰ることによって続く数が変わり，
周期解が増加することで
その数分の写像をして再び同じ値が現れる非線形の特徴を学んだ．
収束するというのは高校の時から使用していたが，
1周期解(固定点)のときは1回写像であるため
同じ値をひたすら取り続けることから収束するということを
原理から理解することができた．
理解できたようで良かったと思います．
講義でも先生が仰っていたが，
図式解法について，
x_tの厳密な解をあまり意識することなく，
動的な振る舞いを表現できるところが長所であると理解した．
そうです．まずは定性的に理解することが大切です．
今回の講義では，図式解法について学んだ．
1次元の場合は高校数学で似たような問題を
解いたことがあったので馴染みがあったが，
2次元の場合(ロジスティック写像)は
馴染みがなかったので非常に興味深かった．
特に，解が周期的に変化するというのが面白いと感じた．
aの値が3.56と3.566でaの値は0.006しか変化していないのに
周期解が2倍になるのが印象的であった．
講義でもいいましたが，ロジスティック写像も1次元写像です．
非線形性のことを言っているのであれば，次元とは言いません．
図式解法は視覚的にイメージがしやすくて考えやすかった
考えやすいというのはよいですね．
今回は自らグラフに書くことにより
ロジステック写像の具体的なイメージをつかもうと努めた．
正直，まだ『何が分からないか分からない』状況ではあるが
理解できるよう努める．
わからないことがあれば質問してください．
ロジスティック写像においてaの値が変化するにつれて
どのような振る舞いをするのかわかった．
よろしいと思います．
実際に図式解法を用いて点の振る舞いを観察することで
ロジスティック写像の特徴を理解できた．
理解できたのはよろしいと思います．
ロジスティック写像の振る舞いを図を使って観察することで，
パラメータaの値によって周期性が大きく変化することを実感した．
初期値からの繰り返し計算を通じて，
数列が一定の値に収束したり，
周期的に変動したり，
あるいは全く予測不能な動きを見せる様子が明らかになった．
特にa=4のときに現れる複雑で不規則な挙動には強い印象を受け，
なぜそのような現象が起こるのかを深く考えさせられた．
考えてみてどうですか？
ロジスティック写像の図式解法で周期が無限になると，
二度と同じ値がでないということがよく分かった．
よろしいと思います．
グラフ作成は数値を計算して今まで行なっていたが，
補助直線を使うことで数値を出さずともグラフが
どのような振る舞いをするのかを知ることができるというのは
画期的であると思った．
また，αの値がわずかに違うだけでも
あれだけ振る舞いが変化するのは驚きだった．
そうですね．少し違うだけで異なりますね．
今日は主に差分方程式の図式解法について学んだ．
x(t+1)=ax(t)(1-x(t))のaの値を変化させると
2^k周期解が出てくるのが非常に興味深かった．
今日は特にaの値に着目したが，
初期点x0によって振る舞いがどう変わるかというのも気になった．
良いコメントですね．次回触れましょう．
今回の授業では，
ロジスティック写像とその図式的解法，
さらに固定点について学んだ．
単純な式であるにもかかわらずaの値によって
さまざまなふるまいを示していて，興味深かった．
特に図式的解法を自分の手でグラフ上で行った際には，
点が収束する様子や，
場合によっては発散・周期的運動をする様子を観察することができた．
自分の手で行うことによって，
数式だけでは見えにくかった動きがよく理解できた．
実感してくれたようでよかったと思います．
今日の講義では，図式解法のやり方について学んだ．
あまり馴染みのない解法だったが，
たくさん演習したのでやり方をしっかりと理解することができた．
ロジスティックス写像での図式解法については，
aの値によって収束の仕方が違うところが面白いと思った．
面白いですね．ロジスティックです．
今回の講義では，図式解法と，
それをロジスティック写像に適用したときの振る舞いをみた．
インターネット上でロジスティック写像のaの値を変化させていったときに
図式解法を行うとどのようになっていくのかのアニメーションや動画を見つけたが，
やっていることは単純だが振る舞いが複雑になること，
また，aの値によっては複数の点に収束していくということが興味深く感じた．
よろしいと思います．
今日は非線形の図式解法について学んだ．
ロジスティック写像と図式解放の例では係数の値によって
固定点の数に変化があることを知った．
時系列でみたときにそれを確認できてとても興味深かった．
固定値に収束するということはどういうことなのか分からなかったので，
知りたいと思った．
次回，再度説明しますね．
図式解法は手作業だと限界があったので，
数値的な繰り返し計算の方が色々な場合に適用できそうでよさそうと思った．
x_t+1=x_tを図式解法のときに描くコツは良いと思った．
実際にやってみると理解が進みますね．
今までは定点に収束するか，
発散するかの漸化式ばかりをやっていたが，
周期的に同じ点を行き来するように収束するものがあるとわかり，
とても興味が湧いた．
今回のロジスティック写像だと2周期解までは
合成関数f(f(x))が4次関数であるため，
原理上は代数的に解けるとは思うが，
4周期からはかなりの高次方程式が出現してしまうと思うので，
数値計算の重要性を体感した．
そうですね．その通りです．
今回の講義ではロジスティック写像のaの値によって
発散するか固定点や周期解をもつか色んな場合を見た．
固定点において0とある値になるときの境界であるaの値が気になった．
どのような値になると思いますか．
図式解法では，
関係の場合は傾きを決めるaの値が1より小さいか大きいかによって0に収束するか，
発散するかがわかりやすかったが，
非線形になるとどこに収束しているのか，
あるいは発散しているのかを自分で読み取るのは難しいものが多かった．
しかし，得られた時系列の情報をもとにプロットされたグラフを確認することで，
周期解であることが視覚的にわかった．
自分ではわからなかった周期性が視覚的に捉えられるのはおもしろいと感じた．
まずは色々と描いてみると良いですね．
aの値によって振る舞いが変わり，
ある値に収束するのが規則的な動きのように感じたが，
aの値を変えると，
二度と同じ値にならないのがとても不思議に感じた．
そうですね．確かに不思議な感じがしますね．
今回の授業で図式解法について学んだ．
図式解法とロジスティックス写像を組み合わせた時に
aの値を変化させることで固定解，
2周期解，4周期解と2nごとに増えていくことがわかった．
ほかにもこのような変化をするものがあるのか気になった．
良いコメントですね．次回触れます．
本講義においてy=xの直線を補助線とすることで，
ロジスティック写像の振る舞いを容易に確認できることを知りました．
x_(t+1)=ax_t(1-x_t)のロジスティック写像において，
周期解となるaの値をどのようにして導き出しているのか気になりました．
次回説明できると思います．
前回に続いて図式解法についてよくわかった．
聞いただけではまだ身についていないため，
実際に問題を解いていってみに
途中で終わっているようですが，みについた，ですかね．
高校数学の漸化式を思い出しました！
よろしいと思います．
差分方程式の増加率による振る舞いの違いを，
図式解法を通して理解できたのでよかった．
よろしいと思います．
図式解法を学んだ．
線形関数のロジスティック写像は，
ゴールが見えているし単調な動きしか見ることができなかったので
やりがいをあまり感じられなかった．
一方で，非線形関数のロジスティック写像に関しては，
いよいよ時系列解析を学び始めたのだと感じられて楽しかった．
いろいろな振舞いが出ますね．
カオスを無限周期の数列と考えるところが非常におもしろいと思った．
同じ値が一回も出ないなんてことがありえるのかが疑問であり，
a_n=a_mを満たすn,mが存在すると仮定して証明できるのか挑戦してみようと思う．
ぜひやってみて．素晴らしい．
実際に値が与えられている場合は
x(t)とx(t+1)の関係をプロットできるが，
値がわからないときはどうするんだろうと思っていた．
今日の講義で補助直線(x(t+1)=x(t))を書くことで
縦軸の値を横軸に使えるとよく理解できた．
また，非線形の場合にはaの値が少し変わっただけで
振る舞いが全然違うのですごく興味深かった．
確かに面白いですね．
今回の講義を通して自分の手を動かし，
直接グラフに書き込むことによって図式解法の理解が深まった．
また，問題を視覚的に捉えやすかった．
そうです．自分でやってみることが大切ですね．