2025年05月07日 第4回
今回の講義で，
固定点の安定性・不安定性について学ぶことができた．
前回に習ったロジスティック写像と図式解法に絡めて具体的に調べることでさらに理解が深まった．
理解できたようでとてもよろしいと思います．
今回は固定点の安定性，
不安定性について学びました．
固定点が安定な時はいいのですが，
固定点が不安定な時には周期解になるといってもいいんでしょうか？どのような時に周期解になり，
その周期解はどのような差分方程式の時に何周期になるか決まるのか気になりました
良い質問だと思います．次回コメントしますが，
ロジスティック写像については，固定点が不安定化すると，
その周りに安定な2周期解が発生することが知られています．
前回の授業で安定な振舞いをするか，
不安定な振舞いをするかは，
傾きが1より小さいかどうかが関係していることは何となくわかっていたが，
実際に手を動かして理解することができた．
また，
固定点の安定性，
不安定性の意味についてもより深く学ぶことができた．
まず，
線形な差分方程式からはじめて非線形な差分方程式の固定点の安定性について考えたので，
固定点の安定性が接線の傾きによって決まることもスムーズに理解することができた．
理解できたようでよろしいと思います．
固定点の安定性は固定点における接線の傾きによって
議論できるということを理解した．
よろしいと思います．
今回の授業では固定点の安定性，
不安定性について学んだ．
今回の内容は前回の内容からの続きとなる部分で安定な固定点と不安定な固定点，
そしてその境界についての理解がしやすかった．
それはよかった．
今回の講義では固定点や周期解の安定性について学んだ．
8周期解や4周期解にも固定点や2周期解が存在するとは知らなかった．
前回のコメントで安定という言葉を適切に使えていなかった．
2^n周期と比べて3^n周期解をとるような
ロジスティック写像のaの値は範囲が狭いのはなぜなのか気になった．
この範囲の狭さを不安定と表現していたが固定点の安定，
不安定とは別のものだった．
安定な4周期解をとるロジスティック写像で不安定な2周期解を求めることも，
固定点と同様の考え方でx_{t+2}=x_t, x_{t+2}=a^2 x_t (1 - x_t)(1 - a*x_t + a*{x_t}^2)のように
立式して導けるのではと思った．
結局x_tについての方程式なので3^n周期でもこのように方程式を作ることで
周期解をとるaの範囲を求められるのかもしれない．
安直かもしれないが，
2^n周期以外の場合のaの範囲の狭さはここから導けるのかもしれないと考えた．
よく考えていますね．素晴らしい．この話は次回にできると思います．
今回の授業では，
差分方程式の固定点の安定性・不安定性について学んだ．
ここでも図式解法を用いることで，
視覚的に分かりやすく，
よく理解できたと思う．
よろしいと思います．
今日の授業では固定値が存在する場合，
その固定点に安定性があるか否かを図式解法と数式解法で求める方法を学んだ．
カオスな事象のなかでも，
安定性を調べることができるという点が面白かった．
そうですね．安定性を見ることは大切です．
前回の講義で，
うまく初期点を取ればロジスティック写像とy=xの交点が固定点となりうるのではないかと想像していたが，
今回の講義で不安定な固定点として紹介されていてスッキリとした．
また，
「数値コンピュータ的にはこうした不安定な固定点はほとんどないものとして扱われる」ことは，
コンピュータ上では無数に初期点を取れるからであるゆえだとよく納得できた
「こうした不安定な固定点はほとんどないものとして扱われる」
というのが，良くわからないですが，不安定な固定点も存在はします．
今日の授業では前回の授業で実際に書いて解いた図式解法を
プログラムで書いたものを見た．
また，
少し前に学んだ固定点について新しい知識を入れたり，
安定性，
不安定性について学んだ．
自分が課題に取り組むうえで安定性，
不安定性について曖昧なまま判断を行っていたので再度確かめてみようと思った．
カオスな振る舞いが一番面白いというのは研究対象としてはその通りだと思ったが，
試験問題で私たちが解く問題だとすれば，
面白いより恐怖を感じると思います．
恐怖ですか．．．でも試験を解く頃にはそうではなくなるでしょう．
時間がたつにつれて，
固定点に近づいていくなら安定，
遠ざかっていくなら不安定ということがわかった．
また，
安定性，
不安定性を図で考えることができるようになった．
よろしいと思います．
今回はカオスの定義，
また線形な差分方程式で固定点の安全性，
不安定性について学び，
非線形な差分方程式での固定点の安全性の検討の仕方を学んだ．
早速カオス理論を学べるのかと勝手にウキウキしていたが，
まずその前に固定点やその安定性を学ぶのは必要だと思った．
固定点の定義として，
必ずしもその点に収束しないことと，
周期解に固定点は含まれないことは注意したい．
安全性ではなくて安定性ですね．理解してくれているとは思いますが．．．
本日は固定点が安定であるか
どうかに注目して差分方程式について学んだ．
どのようにすれば固定点が安定するか確かめれられるのだろうと考えていたら，
固定点とx_{t}, x_{t+1}の距離を比較すればいいと知って腑に落ちた．
一方，
差分方程式を扱う際にも微分は有用であると知って，
改めて微分の偉大さに感激を受けた．
そうですね．偉大です．
安定，
不安定のイメージが初めはピンとこなかったが，
授業内に理解できたと思う．
思う，ですか．大丈夫ですかね．
固定点とその安定性について理解することができた．
試験などでも使うと思うので，
図式解法には慣れておこうと思った．
うまく使えると良いですね．
固定点がどのようなときに
安定でどのようなときに不安定なのかがよくわかった．
また，
方程式で0,a-1/aが固定点であることを求め，
前回の図式解法と照らし合わせて，
収束する値は0かa-1/aになっていることを確認できた．
中学生レベルの簡単な方程式を解くことで，
複雑な振る舞いの考察ができるのが面白いと感じた．
そうですね．固定点を求めるときの2次方程式も，
微分も，それほど難しくないと思います．
ロジスティック写像において，
パラメータa=4のとき，
カオス的な振る舞いが観測される．
カオスとは，
不規則な振動を示しつつも，
発散も減衰もせず，
一定の値にも収束しないような振る舞いである．
こうしたカオスの振る舞いを理解するために，
それと対照的な，
規則的な挙動を示すロジスティック写像の固定点や周期解について学ぶことが重要であると知った．
図式解法を用いた考察から，
固定点x*の安定性は，
時刻tにおけるx(t),x(t+1)のそれぞれの値と固定点との距離の
変化に注目することで判断できるとわかった．
すなわち，
時間の経過とともに固定点との距離が近づけば安定，
遠ざかれば不安定とみなせる．
これらのことからカオス理論においては，
安定性と不安定性が複雑に混在しているのではないかと考えられる．
おー，良いコメントですね．次回触れましょう．
前回の内容より少し理解しづらかったのでよく復習したい
不明なところは質問してください．
2次方程式を用いて固定点を求めると2つ存在してしまうが,
その中で安定なものと不安定なものがあることが分かった.
理解できていると思います．
値が安定か不安定かが，
実際の現実の現象にどう関わっていくのかを結びつけられたらいいなと思った
講義でも述べましたが，固定点が安定であれば，その固定点は観測されます．
また，不安定であれば，その固定点は存在しますが，観測されません．
これは周期解でも同じです．となると，これらの固定点，周期解が不安定となれば，
どうなるでしょうか．
今日の講義で，
固定点や周期解，
そして安定性の概念について学べました．
不安定な解は現象としては観測されず，
世の中で観測できるものは，
安定しているものだけなんですね．
そして，
逆に安定性が失われていく過程を理解することが，
カオスへと繋がっていくと．
さらに，
固定点の安定性を図や微分を用いて判定する方法も理解できました．
よろしいと思います．理解できていますね．
非線形関数の固定点の決まり方を理論的に理解することが出来てよかった．
図式解放によって安定した固定点の規則性の境界を
視覚的に調べることが出来るので，
図式解放は便利だと思った．
ロジスティック関数以外の非線形関数でも固定点の規則性を調べてみたい．
そうですね．色々と調べてみると良いですね．
固定点の解法について学ぶ中で，
関数のグラフとその交点を用いて解を求める方法に触れた．
特に印象的だったのは，
同じ固定点であっても，
その性質によって「安定な固定点」と「不安定な固定点」が存在するという点である．
これは，
わずかな初期値の違いが，
関数の繰り返し適用を通じて，
固定点へと収束するか，
それとも発散してしまうかという振る舞いの違いに現れる．
実際に図式解法を用いて，
関数と直線との交点の周囲でどのように点が移動していくかを視覚的に確認したことで，
こうした固定点の安定性についてより直感的に理解することができた．
数式だけでは捉えにくかった関数の振る舞いを，
図を通して動的に捉えられた点が，
理解につながった．
そうですね．絵に書いてみると理解できることもあると思います．
固定点の考え方について理解が深められた．
よろしいと思います．
今日は固定点の安定性について学んだ．
前回，
前々回に疑問に思ったことがだんだんと解明されてきて面白いと感じた．
面白いと思ってくれたのであれば，大成功．
傾き(講義ではm)が1より大きいか小さいかによる安定，
不安定の判定について，
何故，
1が基準となっているのかと疑問に思った．
一つは単にtとt+1が等しいときであるため係数の1としてであるからと考えた．
もう一つは，
ロジスティック写像の2次方程式を解いたときに，
x*=1-a/aと解を求めたが，
このaの値がa>1のときは1からどんどん離れた値を取るので不安定であり，
a<1のときは1からどんどん近くなるから安定である，
ということなのかなと講義を通して考えた．
1よりも大きくなるかどうかに使うのは，
傾きの大きさで，x*の値ではないです．
今回の授業では, 固定点の安定性・不安定性について学んだ.
前回までの授業では, 固定点がどこになるかは, 図式解法によってしか分からず,
定性的な議論であった. しかし今回, 固定点付近の接線の傾きを考えることで, 固定点が安定であるか判断するといった,
定量的な方法を学び, 腑に落ちる部分があった.
理解してくれて良かったと思います．
前回の講義では，
収束するのと発散するのとでは何が違うのか疑問が残っていたが，
今回の講義で具体的にその差を理解することができた．
また，
見た目では同じような単純な式でも，
様々なふるまいをすることが印象的だった．
そうですね．単純であっても複雑な振舞いになると思います．
今回は固定点について学んだ．
周期解が存在する場合，
固定点は放物線と45°の直線との交点上に存在しているが不安定であるため，
安定である周期解の値が観測されるとわかった．
理解してくれたようで良かったと思います．
今日の授業で固定点を図式解法で求める際にaが4に近づくほど
とてもカオスになることがわかった．
また固定点の安定性•不安定性になる時の条件を理解できた．
次回は実際の式で固定点の安定性を求めたい．
とてもカオスというのはあまり定量的ではありませんが，
なんとなく気持ちはわかりました．
今回の授業では固定点の安定性と不安定性について学んだ．
安定な固定点は関数の収束の話などで馴染みがあったが，
不安定な固定点のような概念は今まであまり触れてきたことがなかったもののように感じたので，
面白く思った．
また，
非線形な差分方程式でも微小な区間を考えれば
固定点を求められるという話が興味深く感じ，
次回の授業でどののような話がされるのかがとても気になった．
安定性を考えるときに，微小な区間を考えれば，線形な場合と同じとなる，ということです．
ロジスティックス写像x_{t+1}=f(x)について，
ある固定点x^*の近傍の点xにおいて，
x^*>xであるとき，
x<f(x)ならば，
写像後にxは増加するので，
x^*に近づくと思っていたが，
f(x^*)の接線の傾きに依っては，
増加量が大きすぎるため，
xは写像後にx^*から離れることがあると理解した．
表現が不明なので，理解してくれているかわかりません．
差分方程式\( x_{t+1}=f(x_t) \)については，
時間発展しても変わらない点を固定点という．
式で表すと\( x^*=f(x^*) \)ここで，
\( x^* \)は定常状態となる．
固定点の安定性は，
微分(傾き)の絶対値で判断する．
\( |f^{\prime}(x^*)| \textless 1 \)を満たすときは安定，
\( |f^{\prime}(x^*)| \textgreater 1 \)を満たすときは不安定となる．
差分方程式\( x_{t+1}=ax_t(1-x_t) \)については，
固定点を\( x^* \)すると，
\( x^*=0 \)または\( x^*=1-\frac{1}{a} \)がある．
そうなると，
\( 0 \textless a \textless 1 \)において0点が安定，
\( 1 \textless a \textless 3 \)において非ゼロ固定点が安定となる．
\( a=4 \)のときに，
カオス状態となる．
4のときにカオスがひどい理由に興味ある．
そしてカオスとして有名な三体問題と関係あるかも知りたい．
a=4となる前に種々の過程が含まれています．
数理最適化における最適解と固体点は似たような議論をしていると感じた．
似ていますね．
今回は固定点の安定性・不安定性について学んだ．
演習で具体的な差分方程式に対して固定点を求めることができた．
よろしいと思います．
固定点における接戦の方程式を考えることで
線形な問題に帰着させるのに感動した．
感動してくれて良かったと思います．
固定点の安定性や不安定性について考える時に，
εを用いる方法が，
極限のε-δ論法みたいだと思った．
イプシロンデルタ論法のつもりでイプシロンを用いたわけではないです．
今日の講義では固定点の安定性と不安定性について学んだ．
ε_t+1とε_tの比が1より大きければ固定点は不安定となり，
1より小さければ固定点は安定となることがわかった．
そうですね．
聞き逃していたら申し訳ないのですが，
yt+1=mytの例でm=-1のときもリアプノフ安定でしょうか．
不安定な固定点は観測できない振る舞いなのに
どうして固有点の安定性を考えるのか疑問に思った．
リアプノフ不安定です．次回触れます．
前回少々あやふやだった図式解法についてと，
収束及び固定点の特徴や求め方について理解できました．
固定点を求める計算式だけではそれが本当に収束するのか発散するのかが分からないため，
図式解法の重要性が理解できました
理解できているようでよろしいと思います．
スライドを先読みした際，
固定点の部分のイラストがどのようなものかわからず興味を持っていたため，
今回の授業でイラストの意味を理解することができ大変うれしく思います．
また図ではとても複雑そうだった安定・不安定な固定点の左について，
数式に変換することで簡潔に記述できることに驚きました．
解析的に考えることは大切ですね．
復習を十分に行なってくれるので，
授業中に『これなんだったっけ』ということが少なく．
講義の理解度が深まるのでとてもありがたいです．
何周期解になっても固定点は存在している．
←1周期解と固定点は同じように言えると言っていたけれど，
厳密には違うのかなと思いました．
周期解の解軌道の値の間隔を求めると,その値はランダム性を帯びているのか少し気になりました．
もし，
ランダムであるならaの値をランダムシードとした乱数生成に使えたりしないかとふと思いました．
安定性について何周期解にもなると解が0に近づいたり，
他の固定点に近づいたりと時間によって変化すると気がします．
ランダムではないですね．
今回の講義では，
線形な差分方程式と非線形な差分方程式における固定点とその安定性について学んだ．
特に，
1次元の線形差分方程式においては，
係数mの絶対値が1未満であれば固定点は安定し，
1より大きければ不安定になることを，
図式解法を用いて直感的に理解することができた．
講義の最後の方では，
非線形な差分方程式における安定性の考え方にも触れたが，
説明の途中であったため，
次回の講義でその内容をより深く学びたい．
次回，詳しく説明できると思います．
リアルな現象のモデリングにおいて,
固定点の安定性・不安定性の議論がどのように役立つかがまだ分からない．
前回，前々回，初回でも話しましたが，講義では非線形な差分方程式の振舞いについて考えています．
今日の授業では固定点の安定性・不安定性について学んだ．
安定な固定点には近づいていき不安定な固定点からは遠ざかっていく様は，
昨年受講した数理最適化で扱った種々の探索法を想起させられた．
次回以降の内容もよく理解したい．
そうですね．良いコメントと思います．実質的には同じですね．
今回の講義では固定点の概念について学びました．
これまで「固定点」という言葉は聞いたことがあったものの，
実際にグラフを使ってその意味を視覚的に理解するのは初めてで，
とても新鮮でした．
aの値を変化させることで，
固定点が安定になったり不安定になったりしてて，
単純な式から複雑なふるまいが生まれることに驚きました．
手を動かしながら理解することで，
固定点の意味や重要性を実感できたと思います．
よろしいと思います．
普段私たちがただ数学的に式を解こうとすると
見えてこない解の安定性について知り，
とてもおもしろいと思った．
見えてこないということはないのでは？
非線形関数の場合でも局所的には線形モデルとして扱うという考え方が
今後も重要になるんだなと感じた．
パラメータaによってロジスティク写像が安定→周期解→カオスの順に変化していく様もなかなか興味深かった．
その通りですね．局所的に考えれば線形理論が使えます．
今日の講義では，
固定点の安定，
不安定について学んだ．
講義の序盤は固有点の安定性について，
近づけば安定，
遠ざかれば不安定というぼんやりとした理解だったが，
線形な差分方程式やロジスティック写像の図式解法を用いて考えたことにより理解が深まった．
a>1からは0でない交点が安定になり，
a>3からは2周期解が安定になるが，
その安定する固定点や周期解が切り替わる値には何か規則性があるのか気になった．
次回お話しできると思います．
授業で扱った差分方程式はすべて不動点を持ちますが，
パラメータ a の値によって状態値が不動点に近づくか，
不動点から遠ざかるかでその不動点の安定性を判断しました．
ロジスティック写像の場合，
a が3より小さいときは収束し，
4より小さいときは周期的な規則性を示しましたが，
4を超えると不規則な振る舞いをすることを覚えています．
では，
カオスの基準は「a > 4」のときなのでしょうか？
a が3と4の間にある場合は不安定ですが，
まだカオスではないのでしょうか？次回の授業でその基準について学びたいです．
aの範囲は4までなので，超えることはありません．
tとt+1による傾きを比較したときに変わる違いによって，
安定と不安定の差が生まれることで変化が現れるが，
その区別の仕方が1を基準にしておりシンプルな数から
複雑な違いがうまれることはとても不思議だと思った．
「tとt+1による傾き」ではないです．
初期値の設定によって振る舞いが変わってくることがわかった．
色んな振る舞い方があると思うので，
色々試して振る舞いを確かめていきたい
試すことは大切です．
安定な固定点と不安定な固定点は，
イメージ的にはくぼみの底で止まっているボールと，
山の頂上で何とかとどまっているボールに近いのようなものだろうと理解した．
そうですね．その理解でも良いですね．
図式解法により，
xがどのような振る舞いをするかを視覚的に理解することはできたが，
2つの固定点を持つロジスティック写像において，
なぜaの値が異なるだけで挙動がこれほど変わるのか分からなかった．
講義でも説明しましたが，安定な固定点に観測されますが，
不安定だと観測されなくなるからです．
ロジスティック写像を微分すると，
a(1-2x)，
講義内で求めた固定点はx=0,1-1/a，
これらをそれぞれ代入すると，
a,2-aになる．
だから0<a<1のとき，
x=0に収束，
1<a<3のとき，
x=1-1/aに収束となるのですね．
それであっています．
カオス理論について学び，
どのような場合に固定点が安定，
不安定になるかを理解した．
線形な場合から考えることでよりスムーズに内容を理解できた．
よろしいと思います．
授業では，
カオスの振る舞いについて学びました．
収束するからと言って安定なわけでもなく，
いくつかの値を繰り返すからといって不安定なわけでもないのが印象的でした．
グラフを描き，
図式解法で解く際には，
グラフの傾きがキーになるのが面白かったです．
解析的に解くときはどうなりますか？
今回の授業では，
ロジステジック写像におけるパラメータrの値に応じて，
解の収束先や軌道が大きく変化する点が興味深かった．
値が大きくなると周期が倍々に増えながらカオス的挙動に至るという流れが，
単純な式であるが，
様々な力学を含んでいると感じた．
特に，
図を用いた可視化が印象深かった．
数学的に複雑な現象を視覚的にとらえることができ，
分岐点やカオスのはじまりを直感的に理解できた．
周期解の安定性については，
どのようにして周期倍加が定量的に決定されるのかが把握しきれなかった．
どのように決定されるか，というような話はしていないです．
今回の講義では，
ロジスティック写像の固定点について，
安定か不安定か調べました．
前回まで，
ロジスティック写像の振る舞いは複雑怪奇といったところで，
突然固定点が移ったり，
周期解が生じたりしていました．
固定点が0からそうでないところに移る閾値はa=1であり，
周期解が現れ始める点はa=3でした．
今回，
線形な関数についてその傾きから固定点が安定か不安定か判断できることを拡張し，
非線形な関数についても接戦の傾きを用いることで，
安定性の決定ができることを確認しました．
実際にロジスティック写像について，
授業後に計算してみたところ，
確かにa=1やa=3で振る舞いが変わりそうなことがわかりました．
これまでのところで，
固定点については少しずつ様子がわかってきたように思います．
更に今後，
有限・無限の周期解について解き明かすのが楽しみです．
色々と試して理解してくれているようですね．
固定点の安定性について，
微分可能なら接線の傾きから安定か不安定を見分けられるというのは実用的だと思ったが，
初期値によっては，
特別な挙動をしてしまう音があるのでは無いかと考えた．
例えば，
途中までは縦横無尽に動き回っていた点が，
いきなり固定点に一致する，
のようなことあるのではないかと思った．
a=4の場合など，初期値を0.5にすると最終的には0に収束します．
今回はロジステック写像の固定点の導出方法や，
安定・不安定についての講義だった．
今まで数回の講義を通じてロジステック写像の不規則で不可解な部分ばかり見てきたので，
定式化された法則が出てきて安心を覚えた．
確かにルールがありますね．
固定点の安定性および不安定性の定義が直観的でわかりやすかった，
安定性を関数の直線近似によって考えるという点が面白かった．
次回以降が楽しみです．
理解していると思います．
状態値が固定点に近づくか，
遠ざかるかでその固定点が安定か不安定か判断できることが面白かった．
確かに面白い．
非線形な差分方程式でも，
接線の傾きを求めることで固定点の安定性が分かることを理解した．
理解していますね．
前回演習で行った図式解法の収束について
今回理論的に裏付けされて納得することができた．
今回のカオス理論に限らず根拠を理解することで
問題の意図が読み取れたり理解が深まったりするので，
根本から理解を深めることを続けていきたい．
納得できて良かったと思います．
今回の授業では，
固定点の安定性と図式解法について学んだ．
固定点の安定性を判別する方法について学んだ．
授業では，
図や具体例を用いた説明があったため，
分かりやすかった．
また，
演習を通じて，
自力で解くことでさらに理解が深まった．
自分でやってみると理解が進みますね．
図式解放について理解を深めた．
宜しいと思います．
本日の講義では安定性という新たな概念を導入した．
ある値に収束する場合，
その値が固定点かつ安定でなければならないということが分かった．
固定点を式で表すことで，
解析的に固定点を導出することもできた．
資料の流れをみると，
来週以降で周期解について扱うと思うので，
周期解はどのようにして求められるかを気にしながら講義を受けたいと思う．
色々と考えてみてください．
一周期解では，
固定点が安定しているのか不安定なのかで
どの固定点に収束するかが決まるということがわかった．
また，
線形の場合はその直線の傾きの大きさで安定か不安定かが調べられると分かった．
非線形の場合にはどうするのだろうと思っていたが，
非線形の場合では固定点を含む微小な区間で直線的な近似をすることで
線形として考えられると知って納得できた．
納得してくれて良かったと思います．
本日の講義では，
周期解や固定点の安定，
不安定について学ぶことができました．
前回や前々回に学んだ図式解法をしっかり覚えていたおかげで，
固定点への収束や安定，
不安定となる要因について，
より深く理解することができました．
グラフを用いて丁寧に，
ゆっくりと解説してくださるため，
途中でつまずいても挽回することができ，
とてもありがたく感じています．
理解してくれたようで良かったと思います．
本日の講義では，
主に固定点の安定性，
不安定性について扱ったが，
どのような場合に安定となり，
どのような場合に不安定となるのかを調べていく課程は面白かった．
また，
図式解放を使うと非常に分かりやすく求まり，
有効な手段だと感じた．
次回以降もさらに安定性について理解を深めていきたい．
次回も安定性，不安定性の話をするので，
今日の内容をもう一度考えてみてください．
固定点と安定性，
不安定性について理解できた．
微分によって安定かどうか判定できることに納得しました．
納得してくれて良かった思います．
ロジスティック写像の固定点および
2周期解の安定性について学びました．
これらは非線形力学系における重要なトピックであり，
特にカオスの発生メカニズムを理解するうえで不可欠な概念です．
固定点の安定性は，
システムが長期的にどのような振る舞いを示すかを判断するための基本的な性質であり，
その安定性が失われる過程で2周期解やさらに複雑な振る舞いが現れることが示されました．
ロジスティック写像のような単純な方程式でも，
わずかなパラメータの変化で非常に多様な振る舞いが見られることに改めて驚かされました．
今後は，
このような非線形系の挙動を数値計算を通じてより深く理解していきたいと感じました．
chatGPTのような答えですね．
線形な差分方程式とその局所安定性について学んだ．
また，
板書における安定不安定について理解した．
講義内で疑問が出ることが多くなったと感じたため復習する．
わからないところは質問してください．
今回は固定点の種類について扱った．
周期解についてはまだわからないが，
固定点なら3次以上の関数でもこれで議論ができると思った．
固定点以外はできないですか？
今回の講義では，
図式解法で確認したロジスティック写像の解を解析的に分析することを目的としていた．
周期解としての周期が無限となる場合を考えるために，
まずは周期的である方について理解をすすめ及び考えていった．
講義時点では，
固定点や周期解については，
あくまで存在していて安定であるか不安定であるかで
現実の挙動が変わるという点で引っかかっていた．
安定は直感的にも結果からみても理解が容易いが，
不安定で存在しているという状態について理解が及ばなかった．
講義の最後で触れたように，
安定であることの目安としての接戦の傾きと
その時の物理量の値と固定点の差で評価するという点に感動した．
次回以降で，
周期的な部分についてより深く知りたいと考えたし，
では逆にカオス的振る舞いって？とさらなる興味を持つこととなった．
色々と考えていて宜しいと思います．
カオス的振舞いはなんだと思いますか？