2025年05月14日 第5回
簡単な例として2周期解を扱ったが，
nを大きくして行った時にこのような解法がどの程度まで現実的に適用できるのか疑問に思った．
nを大きくすると大変です．なので，定性的な方法で考えます．
講義で習った内容が試験でどのように出題されるのか気になった．
持ち込み可としたものがあるので，勉強して良いメモを作ってください．
今日の講義では，
固定点の安定性や2周期解について学んだ．
ロジスティック写像の場合の固定点や周期解の安定性，
不安定性の切り替わりが前回までは理解できていなかったので，
微分して固定点を求めることでようやく理解することができた．
また，
周期解の定義についてもかなり理解できたと思う．
周期解について少し理解すると，
a=4のときカオスになる解の状態がより気になった．
次回お話しできると思います．
今回の授業では，
n周期解についての理解を深めることができた．
しかし，
安定性のぶぶんについての理解がしっかりとできていないので，
そこを詳しく復習していきたい．
不明であれば，質問してください．
2周期解を求めるのは，
計算が煩雑になって手こずった．
しっかり理解してスラスラ解けるようにしたい
そうですね．スラスラでなくてもよいですが，確実にお願いします．
今日の講義では，
固定点の安定性の判定方法は図や解析的な導出方法からよく理解できた．
反復の様子を図で示した例は直感的で，
パラメータの変化による違いも分かりやすかったが，
高次の周期解を示す図については，
何が重ねられているのか分かりやすくするためにしっかりと整理しなければならないと感じた．
自分で図を描く習慣を身に着けて，
より理解を深められるようにしたいと思う．
考えるとき時に図を用いると良いと思います．
実際に方程式を用いて周期解の収束性を確認することで前回以前の内容が腑に落ちた
素晴らしい．
固定点の安定性を固定点における接戦の傾きで評価した．
また，
周期解の求め方を学んだ．
よろしいと思います．
f’(x)の範囲から条件を満たすaの範囲を求める，
のような問題は，
だいたい数式が複雑になったり，
必要十分条件を満たしてなかったりしていることが多く，
苦手だった．
特に範囲の境界についての理解が曖昧であったので，
復習したい．
不明なところは質問してください．
2周期解の安定性，
不安定性について理解することができた．
よろしいと思います．
今まで一番理解しやすかった．
固定解を求めたときに，
周期解はどう求めるのか疑問でしたが，
この講義で明瞭になりました．
n周期解のnが大きくなっていくときは，
一つ前の周期解が分からないと求められないのでしょうか？
理解できたのであれば，良かったです．
前回，
周期解における安定性について疑問に思っていましたが，
今回の講義内容で理解できたのでとても満足しました．
満足してくれて良かったです．
固定点の安定性について数式計算の観点から学んだ．
手順を丁寧にゆっくり解説してくださるおかげで，
段階的に理解でき，
図での理解も捗った．
周期解での計算は2周期解を求めるところで，
次数が多くなっているところから3周期.4周期と増えていくごとに計算が複雑になっていくことが直感的に感じ，
恐れた．
恐れなくても大丈夫ですよ．
ロジスティック写像の2周期解を求めることができたが，
3周期解などを求めることになると大変だなと思いました．
その通りで大変なのです．
今回は非線形な差分方程式の固定点の安定性を考えた．
f'(x*)の値の場合わけに順するaの値の場合分けによって固定点に安定するかどうか，
どの固定点に安定するか，
固定点には安定しないのか，
の区別の仕方が明らかになった．
また2周期解のときを例にn周期解の定義に乗っ取り，
方程式に含まれる解としての固定点と周期解の解があることが鮮明になった．
次回は2以上のn周期解のときの安定性を考えるが，
先生が言及していたとおり，
２回以上の複雑な写像をどのように式で表すかが課題だと思った．
次回議論しましょう．
授業の後半でn周期解の定義について学んだ．
これまで曖昧に理解していたが，
n回写像して得られる解ということが分かった．
理解できていますね．
固定点の安定点についてとてもよく理解することができた．
２周期解でもこれほど複雑な式になるということは，
３周期解やそれ以上の周期解は相当複雑で大変そうだと思った．
なので，講義では定性的に説明します．
今回の授業では，
ロジスティック写像を通じて，
固定点や周期解の性質について学んだ．
固定点がどのような条件で，
どのように変化するを数式とグラフを用いて理解した．
特にパラメータの値が変化することでどの固定点が安定か不安定かを図と数式を用いることでよりよく理解することができた．
また，
周期解のところでは，
前回までは図で理解しているだけだったが，
今回の授業で数式でも学んだことで理解が深まった．
そうですね．やはり数学は重要ですね．
写像の考え方が難しくて苦手だった．
これを機に克服したい．
分からなければ説明するのできてください．
今日は二周期解が満たす方程式について学んだ．
満たす条件を方程式として与えらえると分かりやすい．
そうですね．次は，解けるかどうかですね．
よかったと思う
よろしいと思います．
本講義では固定点の安定性についてや，
周期解のことについて学べた．
また，
ロジスティック写像の二周期点の振る舞いや，
二周期解についてその求め方の考えを学ぶことが出来た．
次回は安定性について考えます．
今回の講義では，
実際に二次方程式を解いた後に安定性について考えることで，
ロジスティック写像においてa=1を境に安定な固定点の位置が変わり，
さらにa=3を超えると全ての固定点が不安定になることが分かった．
また，
2周期解の求め方を学び，
n周期解はn+2次の方程式を解く必要があるのかなと思った．
次回一緒に考えましょう．
ロジスティック写像を例に，
固定点や周期解の安定性について学んだ．
固定点の安定性がf′(x∗) の値で判定できる点よく理解できた．
n周期解の考え方や，
それに対応する方程式については少し難く感じたのでしっかり整理したい．
自分で説明してみると良いと思いますよ．
本日の講義では，
ロジスティック写像の周期解について学び，
2周期解や一般的なn周期解が数式で表現できることが理解できた．
また，
周期解の安定性も重要な要素であり，
単純な数式から複雑なダイナミクスが生まれることが印象的だった．
その通りですね．簡単な式ですけどね．
固定点の安定性や2周期解について数式を用いて考えることで，
理解を深めることができてよかった．
実際に数式を解くシーンが多かったので改めてしっかりと復習しておきたい．
まずはそうしてください．不明なところは質問してください．
固定点の安全性を考えるときにゴリゴリ計算する方法に加えグラフと一緒に考えることでより理解が深まった．
よろしいと思います．
だんだんと難しくなってきているので，
前回の分の復習をしておこと思った
不明であれば，質問してください．
安定か不安定かの基準とその違いについて理解した．
よろしいと思います．
今回は2周期解の振る舞いについて学んだ．
n周期がn+1周期になると，
ロジスティック写像なら解が2個増えるはずであるが，
その場合３周期など奇数個解はどのような時に存在するのかと思った．
3周期解は次次回くらいに説明できると思います．
今回は固定点の安定性や，
2周期解を求める方法を学習した．
今回の方法を応用すれば，
3,4,5...というようにn周期解を求められることがわかったが，
5次方程式以上には代数的解法が無いので，
何かしらの方法で解を求めないといけないなぁと思った．
難しいですね．
今回の授業ではロジスティック写像における固定点の安定性と不安定性，
そして2周期解がどのようなものか学びました．
2周期解になる条件が気になっていたので理解できてすっきりしました．
2周期解を求めるときの固定点の除き方もとても分かりやすかったです．
n周期解を求めようとすると2^n次式が出てきて，
固定点の解で因数分解したとしても残りの解を求めるのは急激に難しくなっていくのかなと思いました．
そうです．難しいです．
4周期解について今日の2周期解で考えたので同じ方法で方程式を解いたときに解として固定点と,2周期解を含んだ解がでるという理解であっていますでしょうか？
あってますよ．
固定点の安定性を数式と図を用いて考えた．
微小区間においてf(x*)をxで微分するという考え方は前回の講義とつながっていたのでより理解しやすかった．
2周期解が満たす方程式を求めた際，
描画されたグラフを見ることで1周期解と2周期解の関係が見えるのがおもしろかった．
幾何学的にみると分かりやすいですね，
今日の授業では，
固定点の安定性および2周期解の求め方について学んだ．
安定性・不安定性に関しては数式によりその境界が求められることを体感し，
わかりやすかった．
よく復習したい．
理解してくれて良かったt思います．
3周期解を求める8次方程式の解には，
1周期解(固定点)の実数解2つが含まれる．
2周期解が存在するなら，
f^3(x)=xかつf^2(x)=xだが，
このときf(x)=xとなるので，
2周期解は存在しない．
では3周期解は6次方程式の解となるということでよいのでしょうか．
それとも重解などで次数は下がるでしょうか．
どのような解を含むかがいまいちよくわかっていません．
次数は下がらないですね．
前回までは固定点について視覚的にしか捉えられていなかったが，
理論的に安定・不安定の条件を導いて理解することができた．
自然や人工的なデータの変動で，
リアプノフ安定は存在するのか気になった．
良いコメントですが，ないとおもいます．
ロジスティック写像の例でaの値が2.9や3.33,3.52等バラバラな値となっていてなぜだろうと思っていましたが，
本日の講義で安定な範囲を知って理由が分かりました．
2周期解の場合でも固定点が不安定な状態で存在していることが自分の感覚とは異なり不思議に感じました．
確かに不思議に感じるかも知れませんが，実際，交点は存在しますよね．
今日の講義を通して，
2周期解を求める方法について学ぶことが出来た．
また，
固定点の安定性を図で考えることでより理解が深まった．
理解してくれて良かったと思います．
n周期解を求め方を学んだ．
実際，
2周期解を求めたがとても複雑だった．
図を用いてその方程式が因数分解できるか確認する必要があるので，
nが大きくなればもっと複雑になるのでその際も図を用いて因数分解できるか確認する必要があるのか気になった．
実数解を持てば，因数分解はできますね．
前回は固定点の安定性について考えましたが，
今回はそれを拡張し，
周期解についても安定性を検討しました．
ロジスティック写像の時系列での振る舞いを図式解法で調べ，
時系列データとしてみた際，
ある値に収束するような固定点は取り扱いやすいように感じました．
一方で，
周期解はどこかに落ち着くこともなく，
取り扱いにくそうに感じました．
しかし今回，
固定点に対する考え方を同じく用いることで，
式は面倒であっても簡単に考えることができました．
更に周期が増えると解析的に解くのが困難になり，
カオスを示す領域では全く解析的に解けなくなってしまうのだろうと思いました．
周期解は周期的な解に落ち着きます．
今日は固定点の安定性，
ロジスティック写像ときの安定性，
周期解の定義や解について学んだ．
前回までの講義で，
a=3.3のときや3.52，
3.56のときに周期解になるということは図からなんとなくわかっていたが，
「n回写像すると元の点に戻る」という定義を確認できたことで，
図が示す周期解の意味をより明確に理解することができた．
理解してくれて良かったと思います．
固定点と2周期解の関係性をグラフに描画することによって視覚的にとらえられ，
学びが深まった．
教室が暑く集中できなかった．
そうでしたか．次回，エアコンを最強にしましょう．
今日の授業では，
ロジスティック写像において，
パラメータaの値によって安定か不安定かを検討しました．
a>0という仮定のもとで，
a<1の場合は固定点が0で安定であり，
1<a<3の範囲では固定点が(a-1)/aで安定であることを確認しました．
私は今日の授業で「3」という数字にとても魅力を感じました．
もともと3は多くの人に「完全数」と呼ばれ，
安定した数字として認識されてきましたが，
このようなデータの中でも安定性が確認でき，
a=3.3の場合のロジスティック写像のグラフもとても興味深く感じました．
なるほど，面白い．
今回の講義では, 非線形な差分方程式の固定点の安定性について, 数式と図から理解を深めた. 実際に方程式を解くことで, なぜロジスティック写像が前回, 前々回の講義で扱ったときのような挙動を示したのかを理解することができた.
理解できているようで良かったと思います．
2周期解と固定点の違いを改めて認識でき，
それについて安定であるか不安定であるかのアプローチをすることが理解できた．
よろしいと思います．
今回は主にn周期解について学び，
具体例としてロジスティック写像の2周期解を学んだ．
ロジスティック写像において，
n周期解を求める方程式は固定点を解としてもつのでn+2次方程式になると思った．
n+2ではないのでは？
2^n周期解を代数的に求めるのはほぼ不可能かと思ったが，
求めるための方程式は2^(n-1)周期解を必ず解に持つはずなので次数下げができ，
大変ではあるが，
解けなくはないのだなと思った．
そうですね．解がありますからね．
今日の講義では周期解とその安定性について学んだ．
今日の授業では式変形が多く，
落ち着いてから自分で考えれば理解できる程度の式変形であったが，
授業内で写しながら考えている間では理解するのが難しかった．
2周期解の答えが因数分解で求められるというのが，
感覚的には分かるが違和感が残った．
自分の間隔としては2周期解であるなら解が2個であるから4次方程式ではなく，
二次方程式になるのではないかと思った．
たぶんx=0や固定点を2周期解としていないからこのようなことが起きているのだと認識しているが，
なんだか違和感です．
分からなければ質問してください．
固定点がどのような時に安定でどのような時に不安定になるのかがよく理解できた．
図式解法の交点のうち，
どれが固定点でどれが周期解なのかを式に基づいて考察することができた．
よろしいと思います．
今回はそこまで難しくなく, よく理解できた
そうですね．落ち着いて考えたら難しくはないでしょう．
周期が多くなれば解くべき方程式の次数が高くなる事が考えられる．
高次方程式の解の公式は4次まで存在し，
5次以降の解の公式は存在しない事が証明されている．
しかし，
解の公式が存在しない事と解が存在しない事はイコールではないため，
5次以降の方程式を解く時にどの様にして解くのかが気になった．
一般には難しいですね．
数式が長くなり，
複雑になってきた．
理解はできましたか？
固定点の安定性について，
安定するか不安定かだけじゃなく，
場合によってその安定さにも差がでることがわかった．
差が出る？
今回は固定点の安定性の場合分けについてロジスティック写像などを通して，
図から視覚的に学ぶことができた．
また，
周期解についても方程式を用いた因数分解による解法など後に必要な知識も学ぶことができた．
よろしいと思います．
今日は固定点の安定性と2周期解の定義, 導出について. 固定点の安定性, 2周期解の導出だけでもやや計算に時間がかかった. n周期解の導出や安定性の議論はnが大きくなるにつれて大変になりそうだと思った.
大変になりますね．
今回は二つの固定点0,1-1/aの安定性や，
2周期解を求める方法などについて学んだ．
f'(x*)の絶対値によって安定性を判別できることが分かった．
前回時点で2周期解の安定なaの範囲を2周期解そのものを求める方程式から導けないかと思案していたが，
固定点の場合と同様に微分を利用して導けるのかもしれないと思った．
次回の講義が楽しみである．
2周期解を求める時に固定点を利用して因数分解したのと同様に，
2^n周期解を求める際には2周期解が必ず方程式の解となることを利用して因数分解できると思われる．
どうしたら良いのか，考えてみてください．
周期が増えていくごとにややこしくなっていって大変でした．
大変ですね．
差分方程式の基本と，
時間とともに変化する仕組みを学び，
定常点のまわりでは難しい式も簡単にできることがわかった．
非線形関数でも定常点のまわりを線形で近似することで解析が可能になるということも理解した．
理解できていますね．
n周期解の解が高校数学のみで，
そこまで複雑でなく求められていくのは驚きだった．
一般のn周期解までは話をしていないです．
安定な固定点を谷底に止まっているボール，
不安定な固定点を山頂でかろうじて止まっているボール に例える説明, 直感的で分かりやすかったです. 勾配を見てるから微分係数に自然に繋がりますね．
2周期解を具体的に求めるために4次方程式を扱うのは少し難しかったです.ただ, 図式解法で軌道の振る舞いを視覚的に追うことで，
理解が助けられました．
みんなコメントで，
いろんな概念を提示していて凄いですね．
色々と考えてくれているのが大切なことだと思います．
固定点x*の安定性は，
x*における傾き（導関数値f'(x*)の絶対値）により決定することが分かった．
ロジスティック写像における固定点の安定性はa>0とすると，
x*=0のとき0<a<1，
x*=(a-1)/aのとき1<a<3で安定であった．
p.19で触れた，
ロジスティック写像の時系列グラフでa=3を境に振る舞いが変わる理由を数学的に理解することが出来た．
固定点における安定性について学べたので，
次回からは周期解とその安定性について学ぶので，
頑張って数式を追って理解しようと思う．
是非そうしてください．
ロジスティック写像の周期性(2周期解・4周期解など)が4次方程式などの高次方程式への解法に応用出来ることが理解出来た．
よろしいと思います．
今まで図式解法で求めた固定点，
2周期解，
４周期解，
が出てくる理論の理解が深まった．
また，
固定点の安定性を求める式は簡単だったけど，
２周期解になると一気に難しくなって，
４周期解以降はさらに難しくなるかと不安になった．
難しいですね．
固定点の安定性について図や式を用いることで理解できた．
また，
周期解についても同様に学ぶことができた．
理解できましたか？
固定点の安定性，
不安定性の条件を理解し，
実際にどのようなパラメータの範囲で固定点が安定するか理解できた．
よろしいと思います．
2周期解ですら大変なのに3周期解や16周期解など求めるのはとても大変だと思った．
4次関数でも場合によっては簡単に求められる．
大変ですよ．
ロジスティック写像における2周期解の導出，
およびその安定性の解析では，
固定点とは異なり，
合成写像を用いて周期解を評価する必要があることが分かった．
また，
安定性を判定するためには合成写像の導関数の絶対値が1未満であるかどうか確認する必要があり，
この考え方は今後さらに複雑な周期解やカオスの解析にも応用されると考えられる．
その通りですね．理解できていますね．
今日は前回の固定解のつづきと，
周期解についての求め方などについての話を行った．
前回に引き続き，
カオスに法則性を見る行為自体が興味深かった．
次回は周期解の安定性についての話でしょうか
講義でもいいましたが，その通りです．
本講義では，
非線形な差分方程式における固定点の安定性を主として学び，
最後にn周期解の定義およびロジスティック写像における2周期点の導入についても軽く取り上げられた.x_tとx_{t+1}の関係，
およびその写像先での残差を考察し，
固定点近傍におけるテイラー展開を用いて残差を解析する際には，
2次以上の項を切り捨てて一次の項までを用いて議論を行った．
このようなテイラー展開と微分の性質を活用することにより，
固定点の安定性や不安定性についての理解を深めることができた．
理解してくれて良かったと思います．
2周期解を方程式で求めていく過程がとても分かりやすかった．
4周期解，
8周期解となるにつれて式が複雑になっていくと考えられるためどのように解を求めていくのか今後の授業に注目していきたい．
注目してください．
ロジスティックス写像の図式解法についてよくわかった．
図式解法は今回はやっていないですね．
前回の最後に扱った固定点の傾きの大きさが固定点の安定・不安定に関わってくるという部分を，
微分係数を用いて解析的に理解することができたと考える．
また，
2周期解の必要条件としての4次方程式について，
固定点が2回の写像で元の点に戻ることから，
4次方程式の解に固定点が含まれていることと，
それにより2周期解を得ることができることを確かめた．
2周期解の安定・不安定について気になったとともに，
4周期解以上の2n 周期解についても同じようにそれまでの 2n-1周期解までの情報が含まれていることが想像できる．
ただし，
4周期解については4回2次の写像を行うことから16次方程式になることを考えると，
解析的な手法の限界を感じた．
ま他の周期解の安定・不安定を考察していくことによって，
周期が発散し，
カオスとなる条件について気になった．
確かに大変です．
2周期解について深く理解することができたのでよかった．
資料のp41で，
X_(t+2)とX_(t+1)に1周期解以外に一点だけ交点があったが，
それに意味があるのかどうかが気になった．
以外にとはどれのことでしょうか．