2025年05月21日 第6回
カオス理論では同じ値が発生することはないと書いていましたが，
出力された値の順番など数万回くらいデータを出力すると同じような値の流れが生まれたりしそうだと思いました．
それを踏まえるとカオス理論を学習データとして使用し，
テストデータの予測に使えたりできないのかなと思いました．
講義でも説明したように，「生まれ」ることはありません． 次回改めて触れましょう．
周期解の安定性について考えた．
実際に図で確認しながらの説明だったので視覚的に理解しやすかった．
講義資料ではカオスとは「少数自由度の決定論的非線形力学系の解が示す，
予測不能で複雑な振る舞いのこと」であるという説明があったが，
少数とは具体的にどのような値まで許されるのかきになった．
こちらも講義で説明したと思いますが，たとえば，
1自由度は少数と言って良いでしょう．
では，いくつまでならというのは，また難しいですね．
次回，改めて触れます．
2周期解の安定性について定量的に考察し，それを図として視覚的に捉えることで，
より一般的なn周期解の安定性に関する理解を深めることができた．
特に，任意の自然数 n に対してn周期解が不安定となる様子がグラフ上に示されるのを目の当たりにしたとき，
カオスという現象の本質が直感的に，かつ明確に理解できたように感じた．
今後はこの気づきを出発点として，カオスの性質についてさらに探究していきたい．
その際には，理論的な枠組みにとどまらず，
カオスの魅力や応用可能性といった多角的な視点からアプローチを試みたいと考えている．
こうした多面的な理解を通して，カオスの意義を改めて見つめ直すとともに，
その複雑さを的確に捉える解析手法についても深く学んでいきたいと考えた．
なお，ひとつ疑問に思ったのは，
「そもそもn周期解が不安定になるという現象が，なぜカオスの発現と直結するのか」という点である．
この対応関係の理論的根拠や，例外が存在し得るのかについても，
今後の学習の中で明らかにしていきたいと思った．
講義でも説明したように，任意のnに対してn周期解が不安定になるということは，
周期解が観測できないということです．となると観測されるのは，
周期解とはならないカオス解ということになります．
全ての周期解についてどんなにnを大きくしても同じような解が出てこないというのがカオス解になることを学んだ．
授業の中で図示することで安定性について考えたが，
式で考えている際にはよく理解できなかったが，
図示することで感覚的にだが理解につながってよかった．
安定性，不安定性についてはいろいろ学んだため，
結局安定性の考え方について自分の中でこんがらがってしまったため，纏めたいと思った．
カオス解について任意の値をとったときに全く同じ値が得られないというのは理解はできるのだが，
そんなことがあるのかと思ってしまった．
円周率が周期的な値でないことと同じような解釈を自分はしているが，
そのような考え方でいいのでしょうか？新しい単元に入ったが，
三角関数の変換について覚えていないことが多すぎるため少し心配です．
無理数という観点でいけば，そのような解釈であっています．
また，次回の講義でも説明します．
あと，「単元」というのは，やめたほうがよいですね．
高校生じゃないのだから．
今回の講義では，カオスの特徴について学んだが，
決定論的であるにもかかわらず，長期予測不能性もあると聞き，
最初は矛盾を感じたが，面白かった．
また，自由度が小さいにもかかわらず，
複雑な振る舞いを示すものがあるという点も興味深く感じた．
確かにその通りですね．矛盾を感じるかもしれません．
関数\( f \)の\( n \)周期解の安定性について，
\( f \)の\( n \)回写像の固定点の安定性を考えれば良い．
このことが講義を通して理解できた．
理解できていると思います．
周期解ではあるものの，全ての周期解が不安定であるため，
その解が二度と繰り返さない状態がカオスだということがよくわかりました．
よろしいと思います．理解してくれていると思います．
今回はn周期解の安定性とカオスの特徴について学習した．
ロジスティック写像においてはa=4では任意のnでn周期解が不安定であることを図を用いて直感的に理解した．
素晴らしい．
a=4のときのn周期解の図をみて，
さらにカオスへの理解が深まった．
よろしいと思います．
数値計算がディジタル計算なら値にある程度の誤差が含まれることが多いと思うので，
初期値鋭敏依存性があると予測をすることはかなり難しくなるのかと思ったのですが，
問題は起きないのですか？
こちらは講義でコメントしたと思いますが，
真の軌道が近傍に存在することが保証されています．
次回，触れましょう．
本講義において，
カオスは非周期性，有界性，初期値鋭敏依存性と長期予測不能性という三つの特徴を持っていることを学んだ．
予測不能で複雑な動きをし，有限な値の周期解が観測されないカオスについて興味が沸いた．
面白いですよ．
今回の講義では，
n周期解の安定性や（決定論的）カオス，非周期性などについて学んだ．
n周期解の安定性については，
n回写像f^(n)(x_t)と補助直線の交点におけるf^(n)(x_t)の接線の傾きに着目すればよいということがわかった．
その通りですね．
簡単なロジスティック関数という差分方程式から周期が無限な振る舞いが観測されることがすごいと思った．
逆に複雑な振る舞いをする現象が方程式で表せる可能性があるので，
未知の現象を解析することができるのはとても興味深いと感じた．
カオスのような複雑な振る舞いをする現象を解析する手法をこれらか学ぶのだろうか．
良いコメントですね．次回触れましょう．
今回の講義では2周期解を始めとするｎ周期解の安定性について学んだ．
またカオスの性質について学んだ．
実際に周期解の安定性を考える上で，
３回写像や７回写像の微分を実際に行うのは煩雑だが，
接線の傾きから視覚的，
直感的に確認できるのは目から鱗だった．
有界性と長期予測不能性について，
有界性を持たない場合は必然的に発散することが分かるので長期的に予測可能と言え，
長期予測不能性も持たないということになるのかもしれないと思った．
色々と考えていますね．よろしいと思います．次回触れましょう．
今回は授業の後半では，
カオスとは何かという問いに対し，
カオスの持つ3つの主要な特徴が提示された．
これらは一見矛盾しているのではないかと思ったが，
非線形力学系において共存していることが図を通して分かった．
特に，決定論的であるが予測できないという逆説的な性質は，
ロジスティック写像のような数式でも，
わずかなパラメータの違いや初期値のずれから軌道が大きく変化するということから理解できると考えた．
今回お話しした予測不能性という性質は，パラメータが変化せずとも，
初期値が少しでも異なると全く異なる挙動を示すという性質からきています．
毎回の授業でついていくのに精一杯ですが，
毎回新たな知見があり大変面白いです．
カオスは非周期かつ長期予測不能生があるにも関わらず，
隣接する2点には明確な関係性がある場合があるのが面白いです．
わからないところは質問にきてください．
f(x)の2回微分を新たな関数F(x)とする発想がなかったので面白かった．
aとF'の二次平面に表すことで，
どの範囲で固定点や周期解が安定するのかを捉えやすかった．
現実世界で, 周期解をもたないカオスな写像が役に立つ場面があるのか気になった．
f(x)の2回微分ではなくて，f(x)の2回の合成写像です．
非線形関数においては，
自由度の大小に関わらず，複雑な振る舞いを生み出すことができる性質がとても面白く感じた．
去年の神野先生の「オブジェクト指向開発」にて，
成績評価で「非常に複雑な非線形変換を行っている」とあったのでもしかしたらカオスなのかなと思った．
さぁどうでしょうかね．ダイナミクスはないと思うので，カオスじゃないと思いますが，
神野先生には質問しておきましょう．
今日の講義では, カオスの基本的な性質について学んだ.
感覚的なイメージとして, 決定論的カオスで現在の状態を入力することで,
出力である次の状態は確かに計算される.
しかし, 逆に出力を見て入力を推定/特定するのは難しそうだと思った.
良いコメントですね．ロジスティック写像のような写像は，
逆像をもたないので，そうなりますね．次回触れましょう．
パラメータの変化により定常解から周期解，
さらにはカオスに至る遷移の過程が印象的だった．
漸化式のようなシンプルな式でも，
初期値やパラメータの違いによって予測不可能な結果が生じうることに驚いた．
そうなのです．おどろきですよね．
本日の授業では，まず2周期解の安定性について学んだ．
数式や図を用いて具体的に確認することで，安定性の概念をより深く理解することができた．
n周期解の安定性については，周期が増えるにつれ解析が複雑になるが，
同じ原理が適用できることが分かった．
a=4のn周期解について考えるところでは，
実際の例からすべての周期解が不安定であるためカオス的なふるまいを示していることが分かり，
理解が深まった．
最後に，カオスの特徴について学んだ．
いままで漠然と捉えていたカオスの特徴を学ぶことで理解が進んだ．
難しい点もあったが，今後の授業を通してさらに理解していきたい．
理解してくれていますね．素晴らしい．
ロジスティック写像のn周期解を見て，カオスについての理解が深まった．
よろしいと思います．
カオスは予測不能でありながらも，
初期条件に強く依存するという点がとても興味深かった．
初期条件に依存するので，予測できなくなりますね．
２周期解を求める方程式に固定点の解が含まれているのを不思議に思っていたが，
今回の授業で図での表現を見て，
固定点が1周期解であるということを改めて実感した．
よろしいと思います．
たまに研究室の研究概要などに出てくるカオスの意味について知れてよかった．
知ってくれて良かったと思います．
先週に引き続き，二周期解の安定性について考え，
n周期解へ拡張することができた．
a=4の時のn回写像のグラフをn=8までみたが，
あっという間にすごく細かくなってしまった．
また，カオスの三つの特徴について学んだ．
よろしいと思います．
周期解の安定性について，
実際に図を書いてみたことでよく理解できたと思う．
n周期解が不安定になることで，カオスになるという流れも分かりやすかった．
今日の授業で，カオスの特徴について確認したので，
次回以降これらのことをしっかり意識しながらさらに理解を深めていきたい．
そうしてください．
a=4の場合のn周期解のところで,
n=3の時の解の個数が3個になると思っていたが6個になることが疑問に思いました．
なぜ2周期解の解は重ならないのか気になりました．
良いコメントですね．3周期解の場合は，安定なものと不安定なものが，
同時に発生するからなのですが，この講義でも触れます．
今日，ついにカオスに関する本格的な内容に入ることができて嬉しかったです．
カオスの特徴に有界性が含まれるのですが，
カオス（混沌）でさえ秩序の中に存在するという点が非常に興味深かったです．
例えるなら，まるで神が秩序の中に無限の自由を与えたような感覚を受けました．
これからカオスがどのように予測され，どのような振る舞いをするのか，
もっと勉強していきたいです．
おー，素晴らしいコメントですね．次回触れましょう．
これまでコンピュータで数値計算したロジスティック写像の振る舞いを見て，
浮動小数点数の桁数が有限である以上，
どこかで同じ値を取ってしまうのではないかと思っていました．
数学者がそれでも本当の値が近傍にあると示していると言うことで，
さすが恐れ入りました．
実際にロジスティック写像の初期値鋭敏依存性について計算してみたところ，
初期値が0.1と0.1+10^(-9)のときではt=15くらいまではほとんど同じ振る舞いをするにも関わらず，
15から20の間でずれが見え始め，
その後は全く異なる振る舞いを示していました．
最初の差を小さくすれば，ずれ始める時刻が遅れ，
また初期値自体を10^(-5)のように小さくするとずれる時刻が早くなるなどの傾向はあるものの，
ごく僅かな差が将来的に大きな差を生んでおり，
初期値鋭敏依存性を体感できました．
実際にやってみましたか．これも素晴らしい．やはり自分で試すのが一番ですね．
カオスの特徴である非周期性，融解性，初期値鋭敏依存性，長期予測不能性について理解s多．
よろしいと思います．
自分の中で曖昧だったカオスという言葉に対して，
知見を深めることができたのでよかった．
ここから更に深く理解していきたい．
そうしてください．
今回の授業では，2周期解の安定性について学んだ．
2つの値を交互に行き来する動きが安定かどうかを，
関数を2回くり返すことで調べる方法を学んだ．
このとき，元に戻る点を見つけることが大事であり，
その点での動きが小さくなれば安定，大きくなれば不安定になり，
もっと長い周期の動き，つまり3回や4回などのくり返しについても同じ考え方で調べられることを学んだ．
図を使って考えることで，安定か不安定かを視覚的に理解しやすくなり，
複雑に見える動きも，段階を追って考えれば理解できることがわかった．
「その点での動き」とは具体的にどのようなものか理解できていますか．
今回はn周期解の安定性・不安定性について学び，
固定点の安定性を議論することにより調べることを知った．
また，カオスの特徴について学ぶ中で，
初期値鋭敏依存性という性質が，
厳密な決定論に基づいていながら，，
長期的にはその結果を正確に予測することが極めて困難であるという「長期予測不能性」という，
対照的とも思える性質を併せ持っている点が非常に興味深かった．
その通りです．
傾きの大きさによって，
周期解の特性が変わってそれが安定なのか不安定的なのかという話を初めて聞いて，
今回の講義でそれを式で導けて，面白いなと思った．
また，授業の最後でテント写像が出てきて，
最初の課題でインターネットを調べていた際に出てきていてなんだろうと思っていたので，
話がつながってきて，来週の授業も頑張ろうと思った．
頑張ってください．
今日の講義ではn周期解の安定性とカオスの冒頭に触れた．
カオスの決定論的であるのに長期的には予測不能というところに面白さを感じた．
カオスなどについては今まで興味がなく触れてこなかったので，
これから講義と課題を通して学んでいきたいと思う．
ぜひ学んでください．
課題1に出てきていたテント写像がロジスティック写像に変数変換をして出てきた結果だと知り，
関係性があるとは思っていなかったのでとても面白かった．
面白いですね．
とてもシンプルなロジスティック写像の式が，
非常に複雑な振る舞いをする点が面白いなと思いました．
そこが大切ですね．
最後のページでa=4の時のロジスティック写像のn周期解について触れこれまで触れてきた伏線を回収してて熱かった．
回収されると嬉しくなりますね．
本講義を通して，ロジスティック写像において，
全てのn周期解が不安定であり有限な値の周期解が観測されない現象がカオスであることを学んだ．
よろしいと思います．
n周期解について，
安定点を考えるのがとても大変そうだと思っていたが，
任意のn周期解で不安定だということが分かって非常に興味深かった．
また，これを数学的でなく図で示せることができてすごいと思った．
すごいかどうかは不明ですが，定性的であっても分かりやすいと思います．
今日の授業でa=4のときのn周期解を図で見るとnが大きくなると波長が小さくなることがわかった．
非周期性についてロジスティック写像を式に表すと難しいと思ったが，
半角の公式を使うことで意外と簡単な式になることを理解できた．
よろしいと思います．
今日の講義では主にカオスの特徴について学んだ．
初期値が少しでも異なると全く異なる振る舞いを示すとあったが，
数値計算の講義でシミュレーションを扱っているので，
プログラムを組んでみても良いかもしれないと思った．
実際に試してみると良いと思います．
カオスの特徴について学んだ．
有界性は盲点だった．
決定性なのに確率的な分布と等しいというのはおもしろかった．
そうですね．面白いですね．
よかったと思う．
よろしいと思います．
2周期解およびカオスについてなんとなく理解することができた．
ただ，2周期解からn周期解への応用について少し理解するのに苦労した．
なんとなくですか．．．不明なところは質問してください．
二周期解について, 視覚的にだけではなく, 理論的に学習したので, 先週よりも理解を深めることができた.
理解してくれて良かったt思います．
a=4でnが大きくなった時の不安定さが，
厳密ではないにしてもグラフによって感覚的に理解することができた．
決定論的カオスは，
式さえ知っていれば次の値が分かるにもかかわらず，
長期予測ができないのはとても興味深く思った．
そうなのです．面白いですよね．
ついにカオス入門しましたね！
(決定論的)カオスの定義，
一目見ただけではパッと理解できないですね．
今までの話を聞いていたら自然な流れだろって言われると思うのですが，
カオス自体が決定論上に存在する概念ということに改めて感心しました．
「ぐちゃぐちゃで予測しずらいよ」って言われたら，
てっきり確率的因子が複数組み合わさった状況を想像してしまいます．
今まで扱ってきた，
ロジスティック写像ばりに変数少ない，
式も比較的単純って条件でも，
あんだけ不安定な挙動を示しますもんね，，
さらっと触れていましたが，
「決定論的なものでも確率論的なものと等価になる」，
これに関しては少し理解しきれていない節があります．
理論的に等価なのか近似なのか？
これから触れます．
カオスの深淵をのぞいた．
最後の式変形が美しくて，
次の内容が楽しみとなった
うまく変換できますか．自分でもやってみて．
カオスをやるのが少しだけ楽しみです
少しだけですか．．．
n周期解の安定性の議論はfのn回写像の固定点の傾きを考えればよいことを
2周期解を例としてよく理解することができた．
またカオスのもつ特性で，
初期値鋭敏性にとても興味を持った．
決定論的であるのにも関わらず，
初期値鋭敏性によって長期予測不能性となり，
現在では確率論と等価にしか扱うことができないことがとても面白いと感じた．
有界性の説明を受ける際に，
過去のコメント文で「発散する」を誤用していた事に気づいた．
無限大になることと発散(収束しないこと)は別なことを念頭に置くとともに，
他のことも勘違いして理解したつもりにならないように丁寧に学習したいと思いました．
色々と考えていてよろしいと思います．
カオスの決定論的な解説や，
ロジステック写像の非線形性を解説する為の変換の方法などを学習した．
よろしいと思います．
今日の講義では，
2周期解の安定性は，ｆの2回写像したFの固定点を考えることから
n回周期会の安定性はn回写像のFの固定点の安定性を考えることに発展させた．
その固定点におけるFの傾きが1より大きいか小さいかで安定しているか判別できることがわかった．
またカオスの3つの概要，非同期性，有界性，初期値鋭敏依存性，長期予測不能性を理解した．
ロジスティック写像の変数を変換し，
三角関数を用いる意図が気になった．
次回，お話できると思いますが，このほうが分かりやすくなります．
カオスについて少し理解した気がする
少しだけですか．．．不明なところは質問してください．
カオスがとても深い概念ということがわかった．
カオスになるための条件が以外にも3つもあるのだと知った．
「カオスになるための条件が以外にも3つもある」とありますが，
「カオスになるための条件が意外にも3つもある」ですかね．
ただ，講義で説明したのは，「カオスになるための条件」ではないのですが，
次回，復習から始めましょう．
周期解をその周期分だけ入れ子にした合成関数の固定点であるとみなし，
固定点の安定性条件を用いて周期解の安定性を導いていく方法は，
普通であれば計算量が爆発しそうなのでやろうとも思わないほどのことであるとは思うが，
2-3周期解くらいであれば十分厳密解を求めるのにはよさそうな方法だと感じた．
多項式関数なので，因数定理を用いれば，
どんなn周期解でも定性的に安定性を調べることができるのだろうか．
色々と考えていてよろしいと思います．
２周期解X1とX2は固定点という．
それらの安定性を考えるには，
固定点の安定性を考えればいい．
詳しく言うと，
固定点X1とX2の微分の絶対値は1より小さいならば安定する．
また今回からカオスの話に入った．
カオスには初期値に敏感するところと長期予測が不可能なところがある．
何の2周期解なのか，何の固定点なのかをはっきりと書くようにすると良いと思います．
2回写像を新たな写像で置くことで2周期解の安定性ではなく，
固定点の安定性を考えることでいいというのは今までの固定点の考え方を使えるかつ面白いと思った．
ロジスティック写像から新たな写像が導かれるのは楽しみである．
楽しみにしていてください．
今回の講義では，
まず2周期解の安定性について考え，
その応用としてn周期解にも着目した．
また，カオスの特徴を学び，
これまで漠然と捉えていたカオスについて理解を深めることができた．
次回の講義では，非周期性の秘密についての理解をさらに深めたいと感じた．
面白いですよ．楽しみにしてくてください．
後半で取り組んだロジスティック写像のx_t→y_tの変数変換は，
ロジスティック写像の関数形がx(1-x)であることに着目して発想したのものなのだろうか？
今日の講義ではF'の安定性を考えるときにも，
上手い式変形が出てきて，面白かった．
おー，良いコメントですね．それであっているように思います．
カオスな振る舞いがあんなに簡単な式で表せられることにとてもびっくりしたし，
とても面白いと思った．
数学にはまっている人はきっとこういうものにハマっているんだろうなと思い，
数学沼の一端を垣間見ることができた．
ぜひ，はまりましょう．
今までカオスという言葉について何か複雑そうだなという印象しか持っていなかったが，
今回カオスの特徴について学んだことでカオスという言葉の意味について少し理解することができた．
次回はテント写像について扱うとのことで楽しみである．
少しですか．．．
今回の学習を通じて，
周期を持つ解における安定性の判断は，
対応する写像の繰り返し構造を固定点の観点から解析することで把握できるという点に着目する必要があると理解した．
また，カオスに関する検討においては，
わずかな初期状態の違いがやがて著しく異なる挙動を引き起こすという微小変化への鋭敏な応答性が，
完全に決定論的な法則に従っているにもかかわらず，
長期的な見通しを著しく困難にするという，
一見矛盾するような二面性を内包している点に深い興味を覚えた．
そうですね．面白いところです．