2025年05月28日 第7回
本講義では，
ロジスティック写像からテント写像への変換を行い，
テント写像差分方程式の特徴である傾き2および傾き-2の区分線形性によって，
2進数表記におけるビットシフト演算が可能であることが分かった．
しかしながら，
式中の2-2y0に対応する値が，
2の2進表記である10.0から1.111… に変化する理由が理解できなかった．
そうですか．では，以下のように考えてください．
まず，初項 a，公比rの無限級数を考えます．
この和をSとすると
S=a/(1-r)となります．
一方，2進数の1.11111…は，10進数で考えると
初項1，公比1/2の無限級数の和となるので，
10進数で考えると S=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2となりますから
2進数では，10.0 ですね．
ファレイ数列は見ていて面白いと思った．
ファレイ数列のような面白い数列が気になった．
気になりますね．確かに．気になります．
カオスについて学習を進めた.ロジスティック写像とテント写像との違いについても知見を深められた．
ロジスティック写像は今日の講義を受ける前は理解できている自信がなかったが，
改めて復習を行ったことで自信を持てた．
それは素晴らしい．この調子でお願いします．
テント写像において，
ビット列の反転とシフトだけでx_Nを確定できるのは，
非常に美しいと思いました．
ですが，
循環小数の場合，
必ずしも小数第1位から第N位の間が繰り返されるわけではない(0.0101 1100 1100 1100…のように，
第5位からの繰り返しなど)と思うのですが，
この扱いは有限小数の際の議論で事足りるため省略したという理解でよろしいでしょうか．
そうですね．本質は左シフトで，上位の固定部分はほとんど意味がありません．
全射単射や写像，
無理数など，
今までの数学の内容がたくさん出てきて復習になった．
有理数・無理数についての理解が深まった．
具体的な数値ではなく変数なので，
抽象的で理解するのが難しかった．
理解は深まったが理解は難しかったという感じでしょうかね．．．
今回はテント写像の挙動を2進数を用いて理解することができた．
y_0が有理数の際は周期的な動きをするのに対して，
無理数の場合は非周期的になることがわかった．
濃度については，
実数の濃度と自然数の濃度の間があるかどうかが分からないという話を以前聞いたことがありとても興味深いと思った．
差はあります．
今までと比べて授業の難易度がぐっと上がったように感じた．
そうですか．難しければ質問してください．
初期値が無限小数の場合に同じビット列は二度と現れない，
という話が，
情報理論に関する内容と似ていると思った．
情報理論でもこのような内容をやるのですね．
テント写像を2進数にして考えることで特性の議論を行った．
x_0の属性によって特性が変わることを理解した
よろしいと思います．
今回は最初テント写像を扱いました．
いつかの東大の入試問題で，
テント写像周りの問題が出されたらしいです．
https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2002/Kouki_3
ちょうど固定点？，周期，カオスになるかならないかの収束条件を問うような問題になってますね．
あと今回集合の濃度の話も出てきました．
今までの情報工学科の講義では濃度の話はされず，
ちょろまかされてます．
今年も神野先生と毎週末飲みに行かれてるのでしょうか．
そうですか．知らなかったです．
神野先生とは行く予定です．参加してください．
ロジスティック写像からテント写像への変換は数式が少し難しかった．
実際にどのような場面で用いられるのでしょうか．
2倍で1bit左シフトというのは何度か他の授業でも扱ったことができるのでわかりやすかった．
三角関数は知っていますよね．色々な場面で用いられますね．
ロジスティック写像からテント写像への変換は，
単に写像形が区分線形の形となってわかりやすいだけでなく，
傾きが2と-2の直線になることにより，
2進数を用いて考えることで長期的な振る舞いを見ることができました．
これにより，
有理数では0に収束するか，
あるいは周期解を持つということがわかりました．
また，
周期解を持つにせよ持たないにせよ，
N回写像すると初期値がNビット左シフトされるため，
元々の小さな差が2^Nされ，
初期値鋭敏依存性が表れるのだろうと思いました．
素晴らしい．その通りです．
有理数の濃度について，
有理数は可算無限個存在するが，
[0,1]にスカスカにしか存在していない点が興味深く感じた．
無限個あるけど，スカスカなのですね．
テント写像の仕組みについて詳しい内容を扱う講義であったが，
理解が追い付かなかったのでよく復習しておこうと思う．
分からなければ質問してください．
今日の講義ではテント写像と2進数を組み合わせることでどのような値が得られるかについて学んだ．
2(1-y_t)を適用する際の考え方について，
何も考えずにビット変換をとったが，
授業の方法で考えると知って驚いた．
円周率のように考えてよいということをしれてよかったです．
返信ありがとうございました．
授業の中で1年生の時にやったという話が出るたびにうっすらとしか覚えていなかったのが怖いです．
特に離散数学は自身がないのでついていけるように頑張りたい．
授業ペース的に今のところはわかりやすいです！
大切なのは，離散数学で学んだ，ということを思い出せるかですね．
10進数でなく2進数で考えることで2倍が扱いやすくなることは知っていたが，
具体的に利用することは中々なかったため便利さ実感することができた．
ビット反転が絡むと少し混乱してしまうため省略して解説して頂けたのでありがたかったです．
他の写像でもロジスティック写像からテント写像のようにわかりやすい写像に変換することができるのか気になりました．
できますね．実はビット反転が絡まないのは，ベルヌーイシフト写像があるのですが，
そこに持っていくのにさらにもう1回変換しないと行けないので，
テント写像で説明しました．
上手な変換を考えることで，
テント写像が出てくる点が興味深かった．
課題でも扱ったが，
テント写像の合成写像の直線の傾きは2^xで表されるため，
どの周期解についてもその点が必ず不安定になってしまうため，
非周期性を持つという証明はどうだろうかと思った．
幾何学的なものですが，これだと証明というのはちょっと難しいですかね．
有理数と無理数の違いがテント写像の動きにどう影響するのかを知ることができて興味深かった．
特に，
同じルールで動かしているのに，
初期値が有理数か無理数かで結果が全く変わるというのが不思議で面白かった．
テント写像自体はシンプルな式なのに，
少しの違いで予測できない動きになるのを見て，
「これがカオスか」と実感できた．
実感してくれて良かったと思います．
テント写像に特に名前がついているのが不思議だったが，
傾きの絶対値が必ず2であるために用いやすいからだとわかり，
腑に落ちたのでよかった．
また，
閉区間での実数の濃度を考える話が面白く，
無理数についてどのように考えるのかを来週の講義で聞くのが楽しみである．
カントールの対角線論法を習っていないですか？
講義課題でテント写像に触れていたこともあり，
今回の内容をスムーズに理解することができた．
課題を解いていた際は，
区分線形で扱いやすい写像という程度の印象しかなかったが，
今回あらためて実数をテント写像によって変換していく過程を学び，
テント写像のもつ便利さを実感することができた．
簡単な写像ですが，面白いですね．
テント写像がロジスティック写像から導出されるというのを知らないで課題1に取り組んでいた．
カオスの非周期性の特徴を区分的に線形性を持つテント写像を用いた考えた．
濃度を知る必要は，
振る舞いの振動？を理解するのに必要であるのか．
何に必要となってくるのか，
分からなかった．
はっつけばん？？が何か分からなかったです．
講義でも言いましたが， 濃度を用いるのは有理数の数と無理数の数を比べるためです．
可付番です．ある意味はっ付けるのですが．．．
今回の講義ではロジスティック写像をテント写像に変換できることや，
2進数で考えたときテント写像は初期値が有理数であれば周期的，
無理数であれば非周期的に値を取ることを学んだ．
現実の事象で[0,1]の範囲で有理数体より無理数体の方が濃度が大きいのでカオス的に振る舞うと思われる．
課題1のテント写像の2周期解の安定性を議論する問題で，
検算として初期値を0.1で与えたところ不安定な2周期解の値を取った．
一方で初期値を0.01とした場合は2周期解の値を取らなかったため不安定であると確かめられた．
今回の講義からテント写像において初期値が有理数ならば周期的に振舞うので検算の方法として初期値を有理数でおくのは適切ではないと考えられる．
よく考えていますね．素晴らしい．
今日の講義では，
ロジスティック写像からの色々な変換，
応用の仕方を考えることができて面白かった
面白かったのであれば良かったと思います．
最初，
テント写像を考えるときになんで2進数が出てきたんだろうと思っていたが，
変換や場合分けをする際にテント写像の係数が2でありそれを文字式で置き換えたときに表現しやすく10進数でやると都合が悪いからなのだと思った．
また，
今回有理数の濃度を考えて無限個あるとはいえ，
自然数と1対1に対応していることから，
無理数の濃度の方が圧倒的に大きそうだなと思った．
その通りです．
今回の講義では，
テント写像との関係，
有理数・無理数の区別の仕方，
数論的視点からの分析について学んだ．
ロジスティック写像やテント写像がどのように軌道の複雑さを生むか理解するうえで，
実数の構造的理解は重要であると感じた．
実数を2進数で表現する方法については，
テント写像における時間発展において各桁の変化がどのように起きるかを捉えるために重要であることが理解できた．
特に印象的だったのは，
有理数は可算無限個という事実の視覚的確認である．
分母を固定して順番に有理数を並べることで，
開区間[0,1]の有理数は列挙可能であるという可算性を実感できた．
よく理解してくれていますね．素晴らしい．
今日の講義では，
2進数がどのようにしてカオスと関係するかを学んだ．
2進数は0と1の単純な組み合わせだが，
それが時間とともに複雑なパターンを生み出す様子が印象的だった．
特に，
初期のわずかなビットの違いが全体の動きに大きな影響を与えることがわかった．
コンピュータの基本でもある2進数が，
カオス理論の中でも重要な役割を果たしていることに驚きと興味を感じた．
面白いところですね．コンピュータで実装するところに難しさがあります．
数字の濃度の話は，
デデキント切断による実数の定義を彷彿とさせる話だった．
有理数と無理数での内容が定義されて，
どんどんと数の集合が大きくなってきており，
どこまで拡張されるのかが気になった．
いずれ複素数範囲にまで拡張されるのであれば，
とても興味深いと思った．
残念ながら複素数までは拡張しないです．
有理数は可算有限個であるということを，
実際に番号で対応付けることで深く理解することが出来た．
よろしいと思います．
有理数の数と無理数の数はどちらも無限なのに比較できるのが不思議に感じた．
そうですね．無限にも色々とある，ということですね．
自分は単射，
全射，
全単射などの部分が少し苦手なため，
濃度が等しいという部分の理解に少し時間がかかった．
来週以降も出てくる内容だと思うので，
しっかりと復習しておきたい．
分からなければ復習してください．
二進数で小数を表す過程はよくわかった．
ファレイ数列は非常に興味深くて詳しく知りたいと思いました．
．
面白いですよね．調べてみてください．
講義で扱ったテント写像について，
手軽に実装できて今回のように解析しやすい性質からセキュリティ分野でもブロックチェーンと絡めて研究が行われているらしく，
カオスの応用力の高さを改めて認識した．
調べましたか．よろしいと思います．
今回の講義では, 初期値が有理数である場合と, 無理数である場合で, テント写像の振る舞いにどのような違いが生じるのかについて学んだ. 無理数体の濃度については講義内では触れることはできなかったが, それぞれの実数が加算無限個存在するのか, 非加算無限個存在するのかを考慮すると, 閉区間[0,1]からランダムに実数を選ぶと, ほとんどが無理数であるため, 多くの場合でテント写像はカオスの挙動を示すのではないかと考えた.
そうなのですが，加算ではなくて，可算です．
2進法については今まで他の授業でも扱ったことがあったので抵抗なくよく理解することができた．
有理数と無理数の濃度に関して，
我々は実は1以上の自然数と物体の数を対応させているという視点は興味深かった．
また，
授業の最後に触れていたファレイ数列については今まで見たことも聞いたことがなかったが，
見た目が面白く印象に残った．
面白いですね．色々と調べてみてください．
y0をテント写像で写像するときの振舞いについて理解するのが難しかったので, よく復習したいと思った.
分からなければ質問にきてください．
テント写像が2倍で表されることを利用して，
2進数で表記しようと試みる発想はなかった．
複雑なロジスティック写像が先人が作り出した素晴らしい置換によって，
視覚的に単純な関数になってすごいなと思った．
確かにわかりやすいですね．
9,10ページの内容が理解出来たような出来なかったような気がします．
残りの理解はヤバいかもしれないです．
分からなければ質問してください．
課題で扱ったテント写像がロジスティック関数を変換したものだということが分かった．
テント写像の傾き2の区分線形という性質がこれほど，
コンピュータ上で計算するのに都合いいことに驚いた．
確かに都合が良いのですが，困った面もあります．
次回触れましょう．
課題1にテント写像の問題があったが，
それがロジスティック写像のcosによる変換によりできていたことを知ってスッキリした．
よりa=4の時により簡単に固定点，
周期解が存在しないことを証明できていたので驚いた．
確かに面白いと思います．
今日の講義では，
ロジスティック写像からテント写像への変換や非周期性の秘密について学んだ．
ロジスティック写像の式からテント写像の式にきちんと変換できたときはとても感動した．
感動してくれて良かったと思います．
今回はテント写像について学んだ．
初期値の値でなく性質（有理数，
無理数）によって振る舞いが変化するのが意外だった．
そうですね．これにより変わりますね．
本講義では，
主にカオスやその非周期性などを学んだ．
テント写像に二進数の初期値を与え，
場合分けして最終的な値を考えるところがおもしろかった．
うまくできていると思いますよね．
自由度が小数でありながら，
ある時点の値y_tが与えられると次の値y_{t+1}が一意に決まるような非線形写像は，
「小数自由度決定論的非線形力学系」と呼ばれることを学んだ．
一見すると複雑で予測困難に見えるが，
実際には厳密な決定論に従って時間発展する点が興味深かった．
また，
数値を2進数で表すことで演算が簡単になる仕組みについても，
実際の計算過程を確認することで理解が深まった．
ビット単位での処理が演算を効率化していることが具体的にわかり，
コンピュータによる数値処理の基礎を実感できた．
よく考えていると思います．
課題でテント写像を解析したが，
テント写像と2進数にこのような深い繋がりがあることには気が付くことができなかった．
「無限」という概念に関する多くのことは直感的に理解することが難しいと感じるので，
よく復習しておきたい．
復習は大切ですね．分からなければ質問してください．
テント写像では，
y_0が2進法で有限小数なら，
解が最終的には0に収束し，
y_0が2進法で無理数なら，
解が最終的には非周期的になると理解した．
また，
ロジスティック写像をテント写像に変数変換したので，
初期解による解の振る舞いが理解しやすくなった．
そうですね．分かりやすくなりますね．
基礎的な内容だったので，
今回の講義の内容はよく理解できました．
よろしいと思います．
提出課題で勉強したテント写像が出てきたので講義内容がスムーズに入ってきた．
そうですか．それは良かった．
ほぼカオスになるロジスティック写像において，
不安定な固定点，
周期解に到達する初期解がテント写像の初期点の2進表示によってわかりやすくなったという理解でよいですか．
そうですね．良いのではないでしょうか．
レポート課題にて,テント写像について,場合分けして2周期解の安定性を調べていたので,理解しやすかった.また,テント写像がロジスティック写像の変形で現れるのは驚いた.
確かに面白いですね．驚きですかね．
ラジオ写像からテント写像を導くことができるというのは興味深かった．
y_0が有限小数であるのとき，
1が偶数個であるとか0が連続し，
1が奇数個のとき1が連続するのがよくわからなかった．
ファレイ数列の計算法が分数習いたてのときのよくある間違いのような求め方で面白かった．
ラジオ写像？
変数変換を通して，
傾き+- 2 の区分線形写像を得た．
得た差分方程式について，
2進数でのシフト演算を通し，
y_0 による場合分け(有理数，
無理数)によって周期的，
非周期的なビット列を得ることがわかった．
ロジスティック写像 a=4 のときでも，
y_0 が有理数であれば周期的になり得ることがわかった．
しかし，
y_0を適当な有利数としたときに，
ロジスティック写像の初期値 (\( \sin \pi y_t
\) についてもコンピュータで扱えるような丸め発生しない少数となる場合は極めて少ないことと，
初期値鋭敏性から，
結局予測不能な動きをしそうだと感じた．
（ただ，
近傍に真の挙動があるみたいなので，
どうなるのか気になった）次回以降有理数と無理数の濃度について扱い，
理解を深めることが楽しみである．
楽しみにしていてください．
講義ではカオスの特徴の一つである「非周期性」について，
テント写像を用いて具体的に理解することができた．
特に，
テント写像を2進数で表現したとき，
初期値 y_0 が有限小数・循環小数・無理数かによって軌道の振る舞いが大きく変わる点が印象的であった．
また，
少数自由度の非線形力学系でも複雑な動作を示すことに驚いた．
そうですね．少数自由度であっても，
複雑な振舞いを示しますがそこが大切なところです．
濃度についてはもともと興味があったので，
とても理解が深まった．
אってこれのことか，
と思った．
理解できて良かったと思います．
今日の授業では，
テント写像と二進数での表現，
実数の濃度について学んだ．
割とわかりやすい内容で，
1年次と比べ随分とバイナリに慣れたものだと思った．
19ページの無理数体の濃度に関しては，
飛ばされたという認識で間違いないでしょうか．
次回また見せていただけると幸いです．
飛ばしていないです．次の次のページに同じものがあります．
集合の濃度という概念を離散数学以来久しぶりに聞いて懐かしい気持ちになった．
加算無限という一見矛盾しているような言葉が面白いと思った．
可算無限ですね．
テント写像と2進数を用いて，
カオスについて調べたところ，
無理数である場合にビット列が非周期的に並ぶということが分かった．
また，
「濃度」という考え方を学んだが，
有理数体の濃度が自然数と同じであるのは，
直感的には不思議であると感じた．
調べたのは良いのですが理由はわかりますか．
本日の講義では，
テント写像による変換を用い，
初期値の2進数表現を通じて系の挙動を観察することで，
最終的に0に収束するか，
周期的な軌道となるか，
非周期的で無限に続く挙動を示すかを判別できることを理解した．
有理数，
無理数の違いが周期性に対応することについて理解し，
カオス的な挙動が決定論的でありながら長期的には予測不能であることについて理解を深めることができたと思う．
よろしいと思います．
今日の授業では，
ロジスティック写像からテント写像への変換を通じて，
その非周期性について深く考察した．
特に，
初期値が有理数化無理数かによって挙動がどのように変換するのかを数値的に理解することができた．
初期値が有限小数のときは最終的に0に収束し，
初期値が循環小数の時は周期的になることが観察できた．
一方で，
初期値が無理数のときは，
最終的に，
非周期的な挙動を示す傾向が強く見られた．
具体的には，
同じビット列は二度と現れなかった．
これは，
無理数がもつ非循環性．
非有限性がテント写像の反復によって増幅されるためだと理解した．
今回の授業を通して，
単純な写像が，
初期値のわずかな違いによって全く異なる長期的な挙動を示すというカオス的な現象を観察することができた．
理解していると思います．
y_tが有理数の時，
テント写像は収束するまたは周期的になるということなので，
a=4のロジスティック写像においてそのy_tに対応するx_tを初期値にとったとき，
必ず収束するかn周期解になるのではないかと思い，
そうならばとても美しい性質を持っているなと思った．
確かに美しいですね．
有限小数なら0に吸収されたり，
無限小数なら周期に入ったりするのに対し，
無理数では非周期的でカオス的な挙動になるなど，
テント写像を2進数で表すと，
初期値の性質によって軌道の振る舞いが大きく変わることを知った．
そうですね．理解していますね．
ロジスティクス写像の動き方が，
テント写像と比べると複雑なので，
これから先もっと難しい操作をすると分からなくなってしまいそう
難しい操作はないと思いますよ．
今回は，
ロジスティック写像からテント写像への変形，
そして2進数表現を用いたテント写像の初期値に基づくN回後の振る舞いについて学んだ．
まず，
ロジスティック写像をうまく変形してテント写像として表現する流れが非常に美しく，
最初にこの変形を見つけた人の発想力に素直に感心した．
また，
2進数表現を用いたテント写像の解析は，
情報工学科の学生として特になじみのある「2倍操作」などが登場し，
講義中にも先生が指摘されていたように非常に直感的かつ興奮を覚える内容だった．
写像を単なる関数として捉えるだけでなく，
ビット列の変換として理解できる点が面白く，
数理と情報がつながる瞬間を実感できた．
確かに繋がっていますね．
今日の講義では，
カオスの非周期性について学んだ．
前回の講義でカオスの特徴として同じ状態が二度と生じないことを学んだが，
たまたま発生する可能性もあるのではないかと考えていたので，
適当なy0を選んだ時にほとんどの場合y0が無理数となり，
無限小数となるため同じ状態が生じないのだとなんとなく理解した．
その通りです．素晴らしい．
今回の講義ではロジスティック写像からテント写像に変数を変換して，
その変数を2進数表記にしたときの動きを有理数，
無理数，
循環小数，
有限小数という観点で非周期性の写像に対しても新たな観点で周期性が見つけることができることがわかった．
理解できていますね．よろしいと思います．
ロジスティック写像から, 三角関数を用いた変換を行うだけで, 区分線形の差分方程式であるテント写像へと変化し, 視覚的にもわかりやすい写像になる様子は面白いと思った.
面白いですね．確かに．