2025年06月04日 第8回
確率論的な系列をロジスティック写像で再現できるとのことであったが,ロジスティック写像を0.5を境に分けたときにどちらに偏るのか,つまり期待値的なものを調整するにはどうすればいいのか気になった.
良い質問ですね．確かめてみるとわかるのですが，ロジスティック写像で，
a=4とすると，ちょうど0.5で対称性が出てきます．
実数の濃度や非線形ダイナミクスなど，
カオス理論絡みの法則について学んだ．
特に，
線形ダイナミクスの理論が古来から使われていたということや，
確率論など，
興味深い内容が多かった．
古来から使われていたのは線形ではなくて非線形ですね．
ランダムな数列がロジスティック写像に必ず対応すると聞いて驚いた．
まだまだ自分の知らない直感に反する性質がありそうでワクワクした．
確かに驚きですよね．もっとワクワクできると思います．
今回の講義では主に，
カオスの特徴である有界性と初期値鋭敏依存性を学んだ．
有界性はパイ生地をこねる際の折りたたみ時に，
ベクトルが折り返されたときに逆になり長さが伸びたときのパイ生地の長さを超えない様がテント写像でも同様の形で観察できた．
初期値鋭敏性依存性では初期値の小さい誤差において，
写像の最初の方は，
差が小さいが写像の回数を重ねると差が非常に大きくなることを理解した．
また決定論的系列が確率論的系列が結びつく現象はすごいおもしろいと思った．
よく理解してくれていると思います．
カオスの非周期性や初期値への鋭敏な依存性が，
決定論的でありながら予測困難な振る舞いを生むことに驚きました．
関係がなさそうで決定論的な系列から確率論的な系列には繋がりがあるなんて「非線形ダイナミクスは面白い」と思いました．
パンや餅をこねる比喩で非線形ダイナミクスが直感的に理解できて面白かったです．
そうなのです．面白いですね．理解してくれたようで良かったです．
決定論的な考え方は非常に気持ちがよく，
それ以外との考え方の比較を非常に興味深く感じた．
そうですね．理解はしやすいですね．
カオスは，
決定論的な法則が適用されるにもかかわらず，
予測可能性が失われる現象を示すことで，
決定論と確率論の間に橋を架ける役割を果たしていることが分かった．
理解してくれていると思います．
パイこね変換の折り畳み効果によって，
状態値が発散せず，
有界であることが理解できた．
また，
パイこね変換の引き延ばし効果によって，
状態の差が拡大する．
そのため，
状態値の誤差が微小でも，
写像を繰り返すことによって，
最終的には異なる振る舞いを示す，
と理解した．
よろしいとおもいます．
決定論的な法則に基づくカオス理論から，
確率論的な考え方へと話が展開された点が興味深かった．
カオス理論は確かに決定論に立脚しているが，
その予測困難性から擬似乱数の生成にも利用できるという説明には納得できた．
これまで医薬統計など他の講義では，
決定論と確率論は別々に捉えるよう教えられてきたが，
カオス理論の中では一部，
両者の結びつきを見出すことができた．
その点に，
カオス理論ならではの面白さを感じた．
そうですね．繋がっているのですね．重要ですね．
今日はカオスの有界性と初期値鋭敏依存性について学習した．
引き延ばしとたたむ込みによってこれらの性質が実現している，
というのが分かりやすかった．
理解してくれたようで良かったと思います．
本日の授業では，
無理数の無限性，
決定論と確率論の関係などを学んだ．
食文化という一見無関係に思える分野ともつながっているという点は大変興味深く，
非線形ダイナミクスの面白さを感じました．
その通りです．面白いですね．
Åという記号を初めて見ました．
今日の内容はたぶん理解できました．
そうですか．初めてですか．．．今は習わないのかね．
今日の講義では初期鋭敏依存性と長期予測不能性，
有界性について学んだ．
パイこね変換は料理においてよく使われる行為であり，
特に理論的意味を考えてはいなかったが，
日々の生活で本当に身近にカオスを観測できることを感じられ，
不思議な感動を得た．
そうなのです．日々使われているのです．
非線形ダイナミックスは初期値鋭敏依存性と有界性の両方が存在する場合にカオス現象がよく現れる．
決定論的な非線形ダイナミックスには確率な要素は含まれていないが，
初期値が少しでも変わると引き伸ばし効果によって値が全く異なってくるので長期的に予測不能となる．
これで決定論である非線形ダイナミックスは確率論的な振る舞いとして現れることもある．
ここまではとてもわかりやすかった．
だがランダムな系列からロジスティック写像に変換するところはわかりにくかった．
ランダム列がロジスティック写像列に対応しているということは確率論的系列から決定論的系列に変換できると思っていいか．
思っていい．
今回の講義で最も印象に残ったのは，
非線形ダイナミクスにおける引き延ばし効果と折り畳み効果が世界の食文化にまでつながった点である．
この講義で学習している内容が，
全く関係ないように思われるそばやうどんといった食文化に関係しているという話は非常に面白いなと感じた．
改めて人類の知恵というものに驚かされた．
そうですね．古来から用いられている方法ですが，うまくできていますね．
カオスは，
初期条件に敏感で決定論的な法則に基づいていることがよく理解できた．
また，
パイこね変換では視覚的に学習できて面白かった．
画像処理の分野でテント写像が暗号化などで使用されていると調べて，
カオス的に変換しているとセキュリティが高いのかなと感じた．
場面によると思いますが，うまく使うこともできるということだと思います．
今回はカオスの特徴として有界性について学んだが，
混合性として引き伸ばしや折り畳みといったプロセスを通じて，
初期状態がどんどん複雑に変化していく様子が示されていた．
これらの概念が単なる数学的な理論にとどまらず，
古くから人類の生活や知恵の中に自然に取り入れられてきたことは非常に興味深く，
また驚くべきことであった．
カオスという一見複雑で難解に見える現象の中にも，
古代から培われてきた人間の直感や経験に基づく理解が息づいていることに感動を覚えた．
そうですね．確かに感動しますね．
カオスの特徴について特に，
初期値鋭敏性について気になった．
ごく小さな初期値の違いが長期的に差を生み出す点は，
天気予報や経済予測の限界を直感的に理解するために使えると感じた．
さらに，
テント写像から作り出される{y_t}の系列は，
ほとんどすべての場合にカオスになるという点については，
決定論的カオスを理解する上で象徴的な例だと思った．
非常に単純な数式でも，
初期条件に鋭敏なカオスが生じる可能性が高い点は，
単純さの中に複雑さが生まれているという点で興味深かった．
良いコメントですね．天気予報については次回触れることができると思います．
Ｃ言語におけるrand関数は決まった種を与えると必ず同じ乱数を与える関数だが，
これは決定論的であり，
乱数は確率論に基づくべきという前提から外れている．
にもかかわらずrand関数が残っていることが不思議だと感じた．
使わなければ良いことだと思いますよ．
課題でテント写像の固定点を求める際，
プログラミングを利用したことから「初期値を無理数にする」という発想が出なかった．
そのためテント写像はカオスではないと勘違いしていた．
しかし，
今日の講義でテント写像について詳しく教わったため，
その勘違いがなくなった．
なくなって良かったと思います．
初期値鋭敏依存性の影響力が想像以上に大きかった
確かに大きいですね．
カントールの対角論法とパイコネ変換がいまいち理解できなかったので，
後で自分で調べようと思う.
分からなければ質問してください．
今回，
ロジスティック写像やテント写像のようなカオスが，
単に複雑な振る舞いを示すのみならず，
決定論と確率論の架け橋となるものとして見ることができる他，
パイこね変換と結びつけることで食文化においても見出すことができるとなど，
思っていたよりも関係する範囲が広く，
普く見られる現象であることがわかりました．
ご紹介いただいた解説論文について，
これまで非線形ダイナミクスについて扱ってきたことで，
内容を理解することができました．
実際に自分でも試してみたいと思います．
自分で試すのは素晴らしいですね．色々と確認できると思います．
ロジスティック写像について，
決定論に従うにもかかわらず，
確率論的な現象も再現できるというのは感覚的に納得できる面があったが，
ランダム列に対応するロジスティック写像の系列が存在するということに驚いた．
決定論と確率論が両極端に断絶して存在しているのではなく，
相互に対応付けられるのは面白いと思った．
その通りです．そこがポイントですね．
決定論的な系列から確率論的系列に対応がつくことはなんとなくわかるが，
逆が成り立つのは意外ですごく面白かったです．
また，
逆が成り立つことが否定できないことは直感的にわかるが，
成り立つことをどうやって証明できるのかすごく気になりました．
証明については参考書籍を参照してください．
パイこねのところで竜のひげを思い起こしました．
引き延ばして折るを繰り返して2のべき乗で細くなっていきます．
竜のヒゲ？細いということですか？
パイこね変換を用いることで初期値鋭敏依存性と有界性についての理解が非常にしやすかった.
理解してくれて良かったと思います．
テント写像への変換を，
ぱいこね変換という比喩？に例えているのが面白くて且つイメージがしやすく分かりやすかったです．
そうですか．理解してくれて良かったと思います．
「決定論的であるが，
予測不可能」という言葉が，
矛盾しているようにしか聞こえないため，
非常に興味深い．
分からないところは聞きにきてください．
決定論的な視点からカオスを扱ってきたが，
カオス的な系列も確率論的に捉えることができると学んだ．
確率的なデータに決定論的な式を当てはめられるのは面白いが，
それは未来の予測ではなく，
過去のデータに対する近似にすぎないと感じた．
あと，
最後に触れた初期値鋭敏依存性はバタフライ効果であると感じた．
そうですね．バタフライ効果としても有名です．
パイこね変換をグラフ化するとテント写像になるということがよくわかった．
のばしておりたたむという動作のおかげで値が発散しないということもよく理解できた．
私の母はパン作りが趣味なので．
今度テント写像との関係の深さについて話してみようと思った．
そうですか．ぜひ話してみて感想を聞いてください．
カオスの特徴について理解した．
決定論と確率論の関係が面白かった．
理解してくれて良かったと思います．
パイこねの正しいやり方がわかってよかった．
では，
パイを横に引き伸ばして折り畳み，
縦に引き伸ばして折り畳みをするとよりよく混ざる気がするのですが，
対応する写像はありそうでしょうか．
多分，回転するだけなので，同じになるのでは？
カントールの対角線論法は自分が履修した授業では，
扱っていないと思う．
閉区間[0,1]における実数の濃度に関して，
ファレイ数列やカントールの対角線論法より無理数が非可算で無限個あることが視覚的かつ体系的に理解できた．
テント写像では，
初期値によってその振る舞いが変化するが，
初期値が無理数であると最終的には非周期的となる，
つまり，
ほとんどすべての場合，
非周期（カオス）な挙動を示すことになる．
テント写像は，
パイこね変換と同じように，
たとえ無限に発散する線形写像であっても，
解が無限に発散するわけではなく，
有界性が保たれる．
また，
ロジスティック写像の決定論的に得られる系列が，
コイントスより得られる確率論的な系列と対応付けることができる．
このように，
線形な構造を持ちつつも，
ダイナミクス的な性質を持つカオス現象が観測されることが分かった．
理解してくれていると思います．対角線論法は習っていないのですか．．．
確率論的な系列を決定論的な系列で表現できるというのには，
驚いたし興味深いと感じた．
改めて，
非線形ダイナミクスの特殊性について実感したように思う．
そんな非線形ダイナミクス的な振舞いをする現象が身の回りに多く存在し，
そのうちの一つであるテント写像がモノを混ぜる時にこねる動作と結びついているというのはおもしろいと感じた．
そうですね．身の回りのものに結びついています．
ロジスティック写像x_{t+1}=4x_t(1-x_t)によって生成された系列に対して，
ある閾値を用いて得られた0,1の確率的系列が，
実は決定論的な系列と対応していることに驚かされた．
さらにその逆も成り立ち，
決定論と確率論が密接に結びついていることがわかる点は非常に興味深い．
特に，
コイン投げによって得られる0と1のランダムな系列が，
ロジスティック写像のある初期値に対応するという事実には強く驚かされた．
こうした系列に対応する初期値がどのようにして決まるのかも気になった．
良いコメントですね．講義でも触れたように存在することが示されています．
パイコネ変換と，
それを学ぶ過程でカオスが世の中に存在しうることを学んだ．
カオスが世の中に存在しうることでカオスが我々に観測できるというのは当たり前のようで大切なことのように思った．
その一方でカオスを観測したうえでそれをカオスと認識できるのか，
あるいはカオスっぽいがカオスでないものと，
カオスっぽくないがカオスの軌道をとるものなどがこの世の中には存在すると思うので，
そういうものに対してきちんとどちらに属するのかを理解するのは難しいことのように思った．
このようなことを言ったらあれだが，
カオスに対して数値の予測をするのが難しい(長期的な)という中で，
カオスを観測できることに何の意味があるのか気になった．
自分たちが理解できないということを知ることが大事？それに伴って世界の食文化が非線形ダイナミクスが指せているというのは曲解して考えているのではないかと思いました．
曲解というのがいまいち意味がよく分からないですが，
観測しようとしているわけではなく，観測して調べてみたら
カオス的応答であったということですね．
カオスの特徴として，
非周期的，
有界性，
初期値鋭敏依存性と長期予測不能性の一部それぞれについて，
確認していく講義だった．
非周期的な性質をテント写像と実数(無理数)の濃度を考えることでつかみ，
パイコネ変換が本質的にテント写像と同じであることから有界性をつかんだ．
また決定論的系列と確率論的系列の対応については興味を持った．
興味を持ってくれたのであればとても良かったです．
初期値鋭敏依存性について，
微小な誤差が広がっていったがその誤差がどの程度のtから広がっていくのかの予想がどうなるのか気になった．
tというのは時刻のことでしょうか．良い質問ですね．次回触れましょう．
今日の講義では無理数の濃度，
有界性，
決定論と確率論の対応関係などについて学んだ．
決定論的であるのに長期的には予測不能というカオスの特徴について理解できていなかったが，
10^-8などの微小な誤差が指数関数的に拡大するため，
初めは予測できる動きでも，
長期的に見ると大きなズレになって予測ができなくなってしまうということであると理解できた．
また，
決定論的な系列から確率論的な系列への対応が存在するということにかなり興味が湧いた．
理解していますね．また，興味が湧いて良かったと思います．
非線形ダイナミクスが日常生活の中に溶け込んでいることにびっくりしました．
日常の中で非線形ダイナミクスを探してみたいと思いました．
また，
ロジスティック写像の初期値がほんの少しでもずれると結果が変わるというのは現実世界のようであると思いました．
ぜひ探してみてください．
世界の食文化と非線形ダイナミクスに関連があるとは知らなかった．
確率論的な系列と決定論的な系列とが対応がつくことは理解できたが，
確率論的な系列から，
それに対応する決定論的な系列を見つけるのは骨が折れそうだと思った．
更に得られる系列データは有限長のため，
取得できなかったその後のデータ系列では軌道がずれて対応していないということも考えられる．
その通りです．骨が折れるというか大変です．
講義でも説明したように，初期値が存在することが示されています．
今日の授業でカオスの特徴を全てわかった．
決定論，
非決定論とは今まで何か疑問だったが，
決定論は確率論とされコイントスと同じわかり理解できた．
またロジスティック写像がランダム列なのはわかるがランダム列がロジスティック写像であるという逆も成立することにとても驚いた．
全てわかりましたか．素晴らしい．
今回の授業で食事の中にもカオス画像あることに驚いた
カオス画像？
カオスの特徴を学んだ．
食文化など身の回りで非線形ダイナミクスが関係していたと知り，
興味が深まった．
面白いですよ．
パイこね変換を利用した，
カオス理論の説明が，
視覚的情報をとりいれることでわかりやすかった．
現実の現象は，
カオス理論にありふれており，
将来の予測ができそうにない状況で，
開拓しようがないと思った．
その道の専門家がなにを目的に研究など続けているのかしりたくなった．
また，
最近ラングトンのアリというものを知った．
先生は知っていると思うが，
あの動きの見解を聞きたい．
セルオートマトンですね．面白い話だと思います．
ランダム列に対応するロジスティック写像の系列が必ず存在することのような抽象的な命題を証明できる数学者はあまりにもすごいと思った．
確かに数学者はすごい．
今回の授業で，
カオスの非周期性，
有界性(カオスは我々の世界で観測できる！)が示されました．
カントールの対角線論法は，
情報工学科の講義で触れたかは正直覚えていないですが，
2年の計算理論の講義で指定されていた教科書にて，
自己言及の文脈で，
停止性問題の証明の過程で使っていたような気がします．
前々回？に疑問に思っていた決定論→確率論の議論，
感心しました，
，
！理論的に対応付けが行えるんですね！「超値がぶれるから，
ほぼ確率的だよねー」みたいな感覚的な議論じゃない点にびっくりです．
また，
カオス的な挙動を示す写像を疑似乱数に活用するのはそこそこいけるとのことですが，
，
そもそも実用上そこまでして疑似乱数に活用する意味はあんまりないですもんね，
，
そうです．そのはずです．チューリングマシンの話で出てきます．
任意の無限記号列に対応するロジスティック写像から生み出された系列が必ず存在するという話が，
面白く，
どのようにして証明するのか興味を持った．
紹介した参考書を読んでみてください．
初期値がほんの少し違うだけで，
時間がたつと全く違う結果になるという話が印象に残った．
最初はほとんど同じに見えても，
カオスではその小さな差がどんどん大きくなるのが不思議だった．
次回，お話しできると思います．
パイこね変換とテント写像の部分が特に興味深く感じられました．
ただ，
それらの概念からカオスを観測できるという結論に至るまでの結びつきが，
あまり理解できませんでした．
また，
「初期値鋭敏依存性」については，
恋愛におけるちょっとしたケンカ（小さな動き）が，
最初はそれほど大きな影響を与えなくても，
時間が経つにつれて一気に爆発し，
相手の行動が予測できなくなる，
と考えると非常に直感的に理解しやすいと思いました．
数字の世界も，
思った以上に繊細なんですね．
(いつもコメントを書くのを忘れてしまうのですが，
今後はコメントを活用して，
疑問点を一つずつ解消していきたいと思います．
)
折り畳みがあることによって発散せずに限られた(有界な)空間に
存在することができる，ということです．
恋愛についても，いいコメントですね．
実際，人生の至るところにサドル構造があるので，
この先，どうなるか全くわかりませんね．
パイこね変換を通して有界性について学んだ，
50回の変換だけで，
10^-15乗の混合度合いになることが興味深かった．
初期値鋭敏依存性についてほんのかすかな違い10^-8によりまったく違ったグラフが出てくることについて，
誤差がtについてどのように大きくなるかのオーダーを表せるのかについて疑問に思った．
表せます．考えてみて．
講義資料３４ページの設定でロジスティック写像をt=20000000まで回したものとrand関数を比較すると，
rand関数の方が若干理論値に近かった．
またロジスティック写像は初期値によってx\simeq 0となり数列が動かなくなるので，
流石にライブラリ関数の方が優秀だなと思った．
理論値というのは，なんのこと？
食文化も非線形ダイナミクスに支えられているという話が面白かった．
面白いでしょう？
決定論的系列から確率論的系列，
確率論的系列から決定論的系列とどちらからでも，
片方から片方を求めることができるというのは面白かった．
また，
この相互に作用する関係はとても有用性があると感じた．
その通りです．よく理解してくれていますね．
初期値鋭敏依存性だけでは確かに値が拡散してしまうため，
有界性という概念が入ることにより取りうる値が制限されると言う説明が大変新鮮だった．
また[0, 1]においての乱数とは異なり，
隣り合う要素同士には決定論が働いているにも関わらず，
確率論的系列と対応がつくと言う現象についても興味深いと感じた．
今までの講義では現実世界における複雑な現象をモデル化する「武器」の取り扱いについて学んでいたということを改めて実感した．
その通りです．そのように取り扱うかという方法論ですね．
昔からの食べ物にも使われていることで深みを感じた
感じてください．
今回の授業を通して，
カオスが単純な混沌ではなく，
複雑性の中に現れる新しい形の秩序であることを理解できました．
初期条件のわずかな変化が時間の経過とともにシステム全体に大きな影響を与えるという，
カオスのもう一つの重要な特徴から，
長期予測は極めて困難になりますが，
同時にシステムが特定の状態に閉じ込められることなく，
絶えず変化し，
新たな可能性を探求できるようになるのだと感じました．
そうですね．新しい可能性ですね．良い表現だと思います．
グラフから初期値鋭敏性を体感する事ができたのは良かった．
また，
数値計算でも体感する事ができた．
現実世界で考えた時に，
現在の状態が誤差が生じた結果なのか，
それとも昔に予測された状態なのかはわからないのと同じように，
初期値においてどれほどの誤差が生じているのかをtが大きくなった後で推測する事は難しいのではないかと感じた．
そうですね．難しいと思います．
「パイこね変換」や「テント写像」などの非線形写像を使った混合と折り畳み効果の概念に対して，
視覚的な説明があって非常に理解がしやすかった．
確率論的な系列から決定論的な系列に変換することの利点がはっきり分からなかったため知りたいと感じた．
分からないところがあれば質問してください．
カオスの特徴や混合性について理解できた．
決定論的系列が確率論的系列と対応するのは，
非常に興味深いと感じた．
その通りです．興味深いです．
今日の講義では，
閉区間[0,1]における実数の濃度や有界性，
初期値鋭敏性などについて学んだ．
パイこね変換とテント写像が本質的には同じだということをよく理解することができたし，
非線形ダイナミクスは世界の食文化と関係していたということからいろいろなところに見られるものなのだと感じた．
理解できていますね．素晴らしい．
今日の講義では決定論と確率論が一方通行ではないことを学んだ．
そもそもカオス理論について知る前は決定論と確率論が交わることはないと思っていたので，
そのときのことを考えると感慨深い．
大切なところを理解してくれていますね．
今までの内容はなんとなく理解できていたつもりだったが今回は理解するのがなかなか大変だった．
しっかり復習したい
不明なところは質問してください．
今回の授業では，
閉区間における実数の濃度，
テント写像，
カオスの有界性について学び，
さらにパイコネ変換という新しい視点に触れた．
話を聞いている中でパンをこねるときや麺類を作成するときの動作に似ていると考えていたが，
実際に世界の食文化が非線形ダイナミクスに支えられているという話が出てきて驚いた．
カオスの特徴として学んだ初期値鋭敏依存性と長期予測不能は，
決定論的な法則の中に確率的な性質が潜むという点が興味深かった．
決定論的な系列から確率論的な系列への対応が存在し，
それがロジスティック写像とコイントスの系列の関係に具体化されたことで理解が進んだ．
非線形ダイナミクスは「複雑な現象を単純なルールから生み出す」という点で非常に面白く，
ただの数学の理論ではなく，
実際の物理現象や社会現象にも適用できる学問であると感じた．
よく考えてくれていますし，理解もしてくれていますね．適用できますね．
決定論は理論としては存在しているのは理解出来るけれど，
現実では確率論だけに支配されている印象です．
あるいは1つの出来事ではなく，
この世界の粒子やエネルギー全ての運動を包括して決定論として捉えられるのかなとも思いました．
確率論だけ，ですか．もしそうだとしたら悲しくない？
カオスは予測が難しい見た目でランダムに見えるが，
実は内部に規則性が隠れているのが面白いと思った．
わずかな違いが結果に大きな影響を与える点は，
日常生活や科学技術の予測の難しさを感じた．
確かに難しいところもありますね．
今回は非周期性以外のカオスの特茶について見てきたロジスティック写像は明らかに決定論的であるのに，
確率論的なとのに変換することができると聞いたときはあまりに驚いたが，
よくよく考えると当然のことだと感じた．
一方の確率論から決定論への変換については理解が難しかった
分からなければ説明するので質問にきてください．
いきなりパイをこねる変換ができて少し面白かった
楽しんでくれましたか？
無理数の数が不可算無限であることを，
有理数が加算無限個あることを使って実数が不可算無限個あることを示すことによって間接的に示すのが興味深かった．
有理数に比べて無理数が多いのは感覚的には理解していたが，
理論に基づいて理解することができた．
理解してくれて良かったと思います．
決定論的な系列に対応する確率論的な系列が存在することは予想できたが、その逆が成り立つことは予想できず, 興味深かった.
面白いですよね．