2025年06月11日 第9回
カオスは面白い！！にいつも帰着するのが面白いです！笑
それは良かった．
本日の講義では決定論的な系列とカオス的振る舞いについて学んだ．
ロジスティック写像による分岐図によってパラーメータの変化による振る舞いの変化を視覚的に理解することができた．
初期値鋭敏性についても，
数式を用いた具体的な説明で初期値におけるわずかな誤差が指数関数的に拡大され予測できない振る舞いとなることがよく理解した．
理解できていますね．素晴らしい．
固定点から2周期解までの変化のからくりが2周期解から4周期解への変化にも使われていて理解しやすかった．
また，
ファイゲンバウムの定数の存在により，
カオスに再現性あることを改めて理解できた．
再現性というよりも秩序というべきですかね．
8周期解のなかに4周期解が2つ，
4周期解のなかに2周期解が2つと，
雪の結晶などにみられるフラクタル構造がカオスの中に構成されていることを知り，
面白かった．
この場合はフラクタルというよりも，同じカラクリが埋め込まれているということですかね．
今日の授業では，
主にロジスティック写像の分岐図におけるフラクタル性について学んだ．
カオスの中にも秩序があるというのは一見矛盾しているようにも思えて，
予測不能で複雑なのに同じカラクリが何度も出現するというのは，
面白いものだなと思った．
フラクタル性については今後詳しくやるとのことで，
楽しみにしています．
次回，お話しできると思います．
ロジスティック写像におけるパラメータa=4以降のようなカオス的な振る舞いのもとでは，
初期値鋭敏依存性が現れることがわかった．
ほとんど等しい2つの初期値であっても，
その差は時間とともに指数関数的に増加していく．
この現象により，
たとえばナビエ・ストークス方程式を用いた気象予測モデルでも，
初期条件にごくわずかな誤差があるだけで，
長期的な予測が困難になる．
実際に，
気象は一般に1週間程度までは予測できているとおしゃっていたが，
その理由の一つがこの性質にあると理解できた．
現在はかなり精度がよくなりましたね．今後はどうなりますかね．楽しみですね．
天気予報の台風予測がだんだん大きな丸になっていくのは，
時間が未来に行くほど微小な誤差が大きくなっていくからだったのですね．
知らなかったです．
そうですね．誤差が存在しているので予測の範囲が広がるということですね．
今回はフラクタルについて学んだ．
フラクタル図形はネットの情報で知っていたが，
図形でないにしろ同様の構造が周期解の分岐点にもみられたことに驚いた．
確かに面白いですよね．
今回の講義で最も印象に残った点はフラクタルの部分である．
まだ詳しい解説はされなかったが，
日常や人間の肺や血管にもみられると聞き，
非常に興味をそそられた．
次回の講義で詳しい説明がされるということなので，
楽しみにしたい．
楽しみにしていてください．
初期解のごく小さな変化で後々の値が大きく変わる現象については前回から認識していたが，
実際にごくごく小さい値の変化から大きな差に変わること，
実際は観測機器の精度は有限な為にカオスな現象の予測が困難なことをよく感じられた．
また，
分岐のようにいくつかの構造をもち，
2周期解と4周期解といった変化が見られる場合について把握した．
把握してくれているようで良かったと思います．
関数が分岐して2つにわかれるのが不思議な現象すぎる
関数ではなくて状態値ですが，現象としては固定点が2周期解になるということですね．
今日はカオスの振舞いやフラクタルの入りについて学習した．
観測精度が有限であるがゆえに，
決定論であるにもかかわらず予測不可能になるという点に興味深さを感じた．
そうなのです．ただ面白いのは，これを超える話もあるということですが， 次回簡単に触れましょう．
カオスの中にも秩序があるという意味を理解できてよかった.
理解してくれましたか．よかった．
龍の髭は中国の飴のお菓子です．
横浜中華街で飴を細くしていくパフォーマンスが見れたと思います．
以前光辻先生の社会科学入門の講義で，
ネットワークのスケールフリー性やフラクタルについて触れました．
同じ内容だと思うので，
楽しみです．
ネットワークの話もできると思います．
ファイゲンバウム定数が非常に興味深かった．
極限値のみを与えるという点である数以下の素数の個数を示す素数定理に似たものを感じた．
また実験系でにおいて推定されているという事実も非常に面白かった．
そうですね．実際の系で確認されているというのはすごいですね．
今回の講義を受けて，
カオスに見られる初期値鋭敏依存性とは，
わずかな初期条件の違いが大きな結果の差につながる性質であり，
見かけの不規則さの背後に決定論的なルールがあることがわかって興味深かった．
その通りですね．背後には，あるルールが存在している，それがポイントですね．
天気予報がうまく予測できない理由が初期値鋭敏性によって説明できることが分かった．
分岐図の見方が分かった．
理解してくれて良かったと思います．
分岐図を確認することで，
ロジスティック写像の解のふるまいを可視化することができた．
この分岐図を拡大していくと，
同じような振舞いが見えるというフラクタル性についても確認することができた．
ロジスティック写像の写像式はx(a-x)という比較的単純に見えるのに，
ここまで秩序のある振舞いしながらも，
a=4ではカオス的な振舞いをするということが興味ぶかいと思った．
そうですね．単純ですが，生み出される系列は複雑です．
今回の講義では, カオスの初期値鋭敏依存性と分岐構造について学習を行った. 2つの初期値間の小さな誤差が, 写像回数が増えていくにつれ, 指数関数的に拡大され, 全く違った振る舞いを示すことが数式から確認できた. また, そんな予測できないカオスの中にも, フラクタル性のような秩序が存在していたことが驚きだった.
確かに秩序があるというのは驚きですよね．
初期値敏感依存性について,観測精度が無限に正しいのであれば未来を完全に予測できるという話に驚いた.現実には限界があるものの,観測技術が進めば予測の精度が上がるという点に夢を感じた.
確かに夢がある話ですね．
今回の分岐図などの説明を聞いて，
まだ少し理解があやふやだった安定性不安定性について深く理解できた．
あと，
ファイゲンバウム定数のお話が出てきて，
極限を取ることができてそれでも安定性不安定性の議論ができるのだと思った．
色々と考えていますね．素晴らしい．
分岐構造について分岐図を用いてみることで，
前回のレポートで扱ったロジスティック写像の固定点や周期解について理解を深められた．
理解してくれて良かったと思います．
分岐図のデザインがきれいに見えた
最後のページですかね．改めて紹介します．
カオスは観測精度が有限であるために予測ができないということがわかりました．
長期的に予測できなくなりますね．
テント写像では写像を繰り返すたび，
値が1ビット左シフトされると考えられることから，
初期値鋭敏依存性について考えやすくなっていました．
気象現象もカオス的な振る舞いを示すことから，
モデルの精度が良いとしても，
観測精度の限界から予測不能となってしまうことがわかりました．
線状降水帯や台風の予測が困難である理由として，
モデルの格子よりも狭い範囲で発生する等の他，
状況の変化が激しいことから，
初期値鋭敏依存性の影響が特に強いことも挙げられるのではないかと思いました．
良いコメントですね．そうですね．そういうことになると思います．
本講義ではロジスティック写像において，
倍分岐を起こすタイミングをファイゲンバウムの定数によって推定することができると知り，
面白く感じました．
そうなのです．とても面白いでしょう．
今日の授業で，
バタフライ効果をしっかりと感じることができた
感じてください．
フラクタル性は興味があって知っていたので，
授業でさらに詳しく知れてよかった．
次回も出てくるらしいので，
楽しみです．
次回お話できると思います．
分岐は今までの講義の中で学習した固定点や周期解や収束性とほぼ同じであったので理解がしやすかったです．
フラクタル性が葉っぱにあることは分かったが人の肺にもあると聞いて驚きました．
理解してくれたようで良かったと思います．フラクタルは次回ですね．
ロジスティック写像の分岐図の話が面白かった．
そうですか．どこが面白かったですか．
カオスの振る舞いはランダムであると思っていたが，
秩序があることを学んだ．
また，
ロジスティック写像のaの変化によってx_tの振る舞いが変化する現象を分岐現象と呼ぶことを学んだ．
理解してくれて良かったとおもいます．
今回の講義で，
カオスというランダムかつ予測不可能な現象の中にも，
分岐構造やフラタクルといった秩序が存在することを学び，
興味深かったです．
フラタクルは一般ウケもいいので，
よくyoutube等で扱われる題材ですね．
次回より詳しく扱うとのことで楽しみです．
そうですか．皆さんもよく見ているのですかね．
今日の授業では，
カオス理論の初期鋭敏依存性について学んだ．
非常に近い2つの初期値を設定した場合でも，
写像を繰り返すことで最終的な値の差が大きくなるという性質があり，
系列の振る舞いは決定論的でありながら予測不能となるという点が印象的であった．
この振る舞いが，
身近な気象予測の困難性につながっており，
観測精度が有限であるため，
天気予報が外れることがあるという点が印象に残った．
ロジスティック写像の分岐図の部分では，
多くの図を用いることでパラメーターaの値に応じて固定点がどのように変化するのかを確認することができた．
理解してくれているようですね．
分岐の話もわかりましたか．
カオス理論は，
初期条件のわずかな違いが大きな結果を生む現象を学ぶ分野で，
自然界や社会現象の複雑性を理解する鍵となります．
そうですね．鍵ですね．
数式的，
図式的の両面からロジスティック写像の周期倍分岐について分かりやすく説明していただいたので，
理解することができ，
とても興味深く思った．
理解してくれて良かったと思います．
今回の授業では，
カオス的振る舞いの予測，
分岐図いついて学習した．
決定論的でも，
予測不可能なものがあるというのはとても面白いと感じた．
必ず当たる天気予報が無かったり，
ブラジルで蝶が羽ばたいたことが，
結果的にアメリカで竜巻を起こすといったバタフライエフェクトという考えがあったりととても興味深いと感じた．
また，
2^n周期解の仕組みについてアニメーションをもとによく理解することができた．
バタフライ効果は面白いですね．
周期倍分岐の部分にはカオス的な特徴があって，
とても興味深く感じました．
カオスという現象自体に強く惹かれる一方で，
私にとってはまだ難しく感じるところも多いですが，
カオスについて研究してみたくなってきました．
面白い話だと思います．ぜひやってください．
数理モデルによって導かれた性質が化学現象などにも現れるのが神秘的だと思った．
確かに，
蜘蛛の巣やシダ植物などにもフラクタル構造が見られるが，
自然界においてそのような構造にどのような強みがあるのか知りたいと思った．
フラクタルは次回お話しできると思います．
分岐現象やファイゲンバウム定数などについて学んだ．
また，
分岐図によって固定点の安定性を議論することができるとわかった．
カオスの振る舞いはランダムに見えるが，
その背後に秩序があるということに驚いた．
そうなのです．秩序があるのです．そこが大切なところですね．
今日の授業ではロジスティック写像の分岐，
分岐図について学んだ．
資料自体は抜けてしまったみたいだが，
そのページについて時間をかけて丁寧に教えてもらったことで資料がない状態でもある程度理解できた．
ファウゲンハウムについてはいくつかの個所で書き写すのが間に合わなかったが，
話を聞いて理解できたので良かった．
出席について質問があります．
出席は入らないという認識でよかったですよね？授業にはいつも出席しているのですが，
毎回出席コードが出るわけではなく，
日付を打つという方式のため，
思い出した時にしか売っていないので少し心配です．
資料抜け，失礼しました．配布します．
出席についてはすでに述べたとおりです．
本講義では，
ロジスティック写像の分岐図について，
各部分に注目し，
n周期解の安定性を図で考察したり，
そのなかにあるフラクタル性というものも初めて知ることができた．
次回フラクタルは詳しく話します．
初期値のわずかなズレでも大きな差になることが数学的によく理解できた．
また，
フラクタルは少し聞いたことがあったので次回詳しい話がききたいです．
次回，詳しく話します．
カオスという複雑な現象において，
規則性を持つフラクタル性があり，
神秘的な何かを感じた．
そうですね．神秘的ですね．
本日の講義内容は，
以前のレポートでも取り上げたロジスティック写像の固定点の数に関するものであり，
既習内容と関連していたため理解が進みやすかった．
特に印象深かったのは，
分岐図を用いて固定点の値や数を視覚的に示した点である．
その図には自己相似的な構造が見られ，
ロジスティック写像に内在するフラクタル性が明確に表れていた．
このように，
カオスが持つ多様な性質を実感できたのは興味深かった．
この「フラクタル性」は，
来週以降の講義でさらに詳しく取り上げられるとのことで，
来週の講義が楽しみになった．
余談ではあるが，
自分がプレイしているゲームの一つに「乃木坂的フラクタル」というものがある．
このゲームでは，
プレイヤーが乃木坂46のメンバーやユニットを自由に再構築・編成し，
育成していく内容となっている．
今回の講義を受け，
「なるほど，
このゲームのタイトルにはこういった意味が込められていたのか」と納得することができた．
個人的に「フラクタル」という言葉に親しみを感じていることもあり，
今後の講義内容にも一層関心を持って臨みたいと感じた．
乃木坂フラクタルというゲーム，面白そうですね．
分岐現象について理解することができた．
また分岐図を用いて周期倍分岐の様子がわかった．
フラクタルについては海岸線の長さを測ることができないという話を思い出した．
色々と知っていますね．なぜ測ることができないかわかりますか．
「初期値鋭敏依存性」という特徴が，
カオスの本質を理解する上で重要であると感じました．
わずかな初期条件の違いが将来的な挙動に大きな差を生むという性質は，
気象予測や人口動態など，
実社会のさまざまな現象に深く関係していると知りました．
全体として，
カオスが単なる「無秩序」ではなく，
背後に数学的な構造や法則が潜んでいるという点が非常に面白かったです．
その通りです．構造があるのも決定論的な法則があるからですね．
初期条件のわずかな違いが結果に大きな影響を与えることが印象的だった．
カオスは単なる無秩序ではなく，
非線形な法則に基づく現象であることがわかった．
その通りです．よく理解してくれていると思います．
フラクタル構造はよく聞く話だったので，
ロジスティクス写像で観測されて驚いた．
周期解が倍増中していく中でたまに周期解が少なくなるようにグラフが見えたのでそこが少し気になった．
周期解が少なくなるというのは，分岐図において，aの値の範囲が短くなるということですかね．
フラクタル構造自体は知っていましたが，
こんなに自然界に偏在していて，
数理モデルから導き出されるものであるということに驚きました．
ファイゲンバウム定数について，
δとαが極限で計算できるというのは，
anの一般解がわかるから簡単に極限が求まるのでしょうか？
「anの一般解」というのが意味がよく理解できませんが，
a_nということ？
大学入試の問題でコッホ曲線の極限の問題をやったことがあり，
性質が面白かったので，
次回講義のフラクタルの説明が楽しみです．
そうでしたか．コッホ曲線は知っているのですね．
今回の授業で，
カオスの特徴である初期値に対する依存性を深く理解した．
わずかな初期条件の違いが大きな結果の差を生み，
混沌とした中にも秩序が存在するという現象は奥深いと感じた．
そうですね．確かに奥深いですね．
ロジスティック写像の分岐図がフラクタル性を持ち，
また，
ファイゲンバウムの普遍定数が定まり，
これが実験系でも推定されていることが，
特に興味深く感覚的ではあるが綺麗だと感じた．
確かに綺麗ですね．
ファイゲンバウムの定数の話が印象的だった．
分岐の感覚が一定の比率で縮まっていくというのが，
カオスの中にも数学的な秩序があるのだなと思って面白かった．
その通りです．秩序があることがうまくわかりますね．
分岐図とは，
非連続したものであると理解しました．
カオスを示すもの関係して，
ファイゲンバウムという定数が入っているが入っているのが不思議に感じます
非連続的というのがちょっと気になるので次回触れますね．
天気予報が初期値鋭敏依存性にのっとっているとすると,ある地点で魚が飛び跳ねたというような微細な現象がかなり時間がたった時の天気に影響する可能性もあるのかと疑問に思った．
可能性はあるのでは？
ロジスティック写像におけるファイゲンバウム定数について，
その値に収束することを数学的にどのようにして証明されたのか非常に気になった．
Feigenbaumは，くり込み群 (群は，群論，環論，体論で習ったことがあると思います．) という
方法を使って証明しています．
本日の講義で特に印象に残ったのは，
初期値鋭敏依存性など，
カオスの特徴が明確に示されていた点である．
初期値がわずかに異なるだけで，
全く異なる軌道をたどるのは，
理論上では決定論的であるのに，
長期的予測が困難なので，
興味深かった．
一方，
分岐図の読み方がどのように周期倍加やカオスの遷移を可視化しているのかが理解しきれなかったので，
復習したい．
そうでしたか．不明なところがあれば質問してください．
今回の講義ではパラメータの値が変化することで解の構造が変化するというのは以前の講義から教わっていたが，
それが分岐というもので今回扱ったロジスティック写像ではパラメータの値が大きくなるごとに周期が倍々になっていくという秩序(フラクタル性)が存在することを知った．
このフラクタル性いわゆるモデルが存在することで天気予報のようにある程度先が予測できるということも分かったが，
フラクタル性がない場合のほうが多いと私は考えるが，
フラクタル性がある場合はロジスティック写像以外にどのようなものがあるのでしょうか．
周期が倍になって行くのがフラクタル性ということではないです．
次回再度触れましょう．
2周期解から4周期解，
4周期解から8周期解，
のf^nのグラフが，
どんどん再帰的に相似な形を含んでいるのは，
非常に美しいと感じた．
あと，
70ページ下は，
偏在性ではなく遍在性ではないでしょうか．
そうですね．失礼しました．その通り，遍在です．偏ったらだめですね．
今回の講義では，
カオスが予測不能で複雑な振舞であるのに対してその背後には分岐構造のような秩序があることが分かった．
ロジステック写像を実際に分岐図でみたときに複雑な振舞であるのにもかかわらず，
フラクタル性によって葉のような模様になっていて面白かった．
来週の講義でもっと詳しく知りたい．
またファイゲンハイムの定数も非常に高い精度で各実験で値として表れていて面白かった．
Michel Feiqenbaumが会った感じどんなひとだったのか聞きたいです．
おー，いい質問ですね．次回触れますね．
フラクタルは聞いたことはあるが，
意味は知らなかったので知れて良かったです．
分岐図がたけのこに見えました．
たけのこというのは初めて聞いたコメントですが，
そう言われたらそのように見えなくもないかな．．．
70頁の最後の穴埋めは遍在性だと思ったのですが，
偏在性なのですか？
コメントありがとうございます．その通りです．失礼しました．
分岐図がとてもおもしろいと感じました．
短い区間で見ると同じような形のグラフが出現していた．
これが周期解であると考えるとおもしろいと思った
同じ構造になっているのは面白いですね．
ロジスティック写像の分岐図を用いると，
ある区間における固定点の安定性や周期解への分岐がわかりやすく，
今まで授業で学んだことが可視化されるのは面白いと思った．
また，
ファイゲンバウムの普遍定数について，
数理モデルで求められた定数が実験系でも高い精度で出るということを知り興味深かった．
そうなのです．実験でもわかるというのがすごいですね．
フラクタルという言葉が出てきて，
コッホ曲線やシェルピンスキーの三角形などが思い浮かんだ．
分岐図においてこれらのようなフラクタル性が出てきたことに少し驚いた．
よく知っていますね．次回議論しましょう．
ロジスティック写像には必ずカオスが生まれるわけではない．
aによって，
Xは以下のようにまとめられる．
0 <= a < 1 では，
Xtはほぼ0に収束する．
1 <= a < 3 では，
Xtは固定点に収束する．
3 <= a < 3.4495 では，
Xtは倍周期分岐を示し，
周期が2, 4, 8, ...のように増えていく．
3.4495 <= a では，
Xtはカオスを示す．
その通りです．
ロジスティック写像の分岐図によって，
分岐の様子を表現したとき，
\( a \)を0から始めて増加させると，
最終的に\( x_t \)の分布が面のように広がるのが面白いと感じた．
また，
ロジスティック写像の分岐図で，
\( a \)を0から始めて増加させたとき，
2周期解のところで，
\( x_t \)の分布が2つ分かれるが，
さらに\( a \)を増加させて分岐を繰り返すことで，
分かれた分布が繋がるように，
\( x_t \)の分布が広がるのが興味深いと感じた．
構造としてはその様になっていますね．
初期値鋭敏依存性についてのスライドで非常に近い2つの初期値がテント写像で1000回写像を適用したら，
指数関数的に拡大することが式を追うことで理解できた．
カオス的振る舞いと初期値鋭敏依存性のつながりがやっと理解できた．
ロジスティック写像のカオスの分岐図を見た時に，
これまでで一番視覚的に解と安定性について理解しやすいと感じることが出来た．
そうでしたか．一番理解しやすいと考えてくれたのであれば，大成功ですかね．
前回までの授業内容は理解しているつもりだったが今回はあまり理解できなかった．
よく復習したい．
分からなければ質問してください．
カオスは決定論であるにもかかわらず，
予測不能で複雑なふるまいを見せることが面白いと思った．
そうですね．面白いですね．