2025年06月18日 第10回
講義で触れていた，メンジャー・スポンジのような図形を見たことがあった．
体積が0，面積が∞になる不思議な図形であると思っていたが，
整数以外の次元を用いて収束する値を考えることができるのは驚きだった.
今まで次元は離散的な値であると考えていたが,連続的な値で捉えることができると学んだ.
そうですね．ポイントの一つが非整数次元ということになると思います．
実際にフラクタルをプログラムで実行してみたが，とても興味深かった．
そうですか．うまく動きましたか．
今回の講義では，
フラクタル図形について学んだ．
フラクタル図形の具体例とその図形がどのようにして作られるかを理解し，
カントール集合の長さが0になるなどの直感とは反する結果になることも確認した．
フラクタル図形をマッチしていない尺度で測ると0になるか∞に発散してしまうが，
被覆を用いることによって，
非整数の次元値（フラクタル次元）で測ることができると分かった．
理解してくれていると思います．
フラクタル性を持つ図形をいくつか作図し，
そのふるまいを確認した．
図形によっては非常に複雑な振る舞いを示すフラクタル図形を，
定量的に理解するために，「被覆」という考え方を用いて次元を解釈した．
これまで，次元とは点を構成する軸の数だというイメージを持っていたため，
このような新たな捉え方は非常に新鮮だった．
これまでは当然のように長さ，面積，体積といった尺度を使ってきたが，
それらは特別なものではなく，
単に整数次元（1次元，2次元，3次元）に対応する尺度に過ぎないのだと感じた．
そうですね．その通りだと思います．
高校生の時にコッホ曲線を調べたことがあり，
その時はコッホ曲線が1.26次元であると書かれていることがあまり理解できなかった．
しかし，今回の講義でやった被覆という考え方から縮小比1/3で，
被覆するために必要な個数が4つであることから，
log4/log3≒1.26と求められることを理解できた．
その通りです．ですが，高校のときにコッホ曲線をもう習うのですか．すごいですね．
図形の次元の考え方についてあたらしい考え方である被覆がしれてよかった．
よろしいと思います．
フラクタルについて，
様々な図形を見ることができた点が面白かった．
また，0.6309・・・次元などは，
今までは整数の次元しか扱ってこなかったので，
不思議な気持ちになった．
そうですね．不思議な感じがしますね．
今回の講義では, フラクタルについて学習した.
整数でない次元数が存在することに驚いた.
確かに驚きですが，理解できましたか．
測度論はかるい気持ちで手を出して挫折した分野なので，
その原因の1つのハウスドルフ測度について知れてよかった．
いまならまた手を出して見てもいいかもしれない．
勉強したことがあるのはすごいですね．ぜひ考えてみて．
3進数という単語をほぼ3年ぶりくらいに聞いたこの学科だとほぼ2進数だった
どこで聞いたのでしょう？
今日の講義では，
フラクタルの基礎について学んだ．
フラクタル図形は一般的な点や線分のように，
濃度や長さなどの尺度では特徴を測れないため，
フラクタル次元というフラクタル図形にとっての自然な尺度，ハウスドルフ測度があり，
被覆によってその次元を測っているということが理解できた．
カオスとの関係についてはまだピンと来ていないので，
再来週の授業でその関係について学びたい．
理解できたのであればよかったです．カオスとの関係については
次回の講義で．
フラクタル構造が自然界に現れるということは
何らかの安定性を持ち合わせているのではないかと感じた．
そうですね．いいコメントだと思います．次回触れましょう．
次元の求め方が面白かったです．
興味が湧いたので，最初の葉(羽状複葉)の画像で，
葉全体と派生する小葉の集まり(羽)がフラクタルだとして，
その次元を計算してみました．
まず中心の太い軸(葉軸)から派生する羽は20個あります．
次に縮小率は羽の主軸の長さと葉軸の長さ(ただし先端は分岐しているので，
一番下の羽の先端あたりまで)の比で求めたところ，およそ0.3であるとわかりました．
よって次元はln(20) / ln(10/3)で2.49と求まりました．
合っているかわかりませんが，非常に満足です．
自分で求めてみたのはとても素晴らしい．
ですが，直感的に２と３の間というのはどうですかね．
今日の授業でフラクタルの性質を理解できた．
カオスとフラクタルとの関係性についてカントール集合やコッホ曲線を書く操作が
カオスの時に似ていると思った．
特に無限に繰り返す点である．
しかしフラクタルは図が綺麗になるのでその点わかりやすかった．
またカントール集合上の点数のことでZiは0か2のみで1は使われないので2を1と置き換えたが，
2のままの方が図ではわかりやすいので，
そのままではダメなのか気になった．
次回はカオスとフラクタルの関係性が詳しくわかると思うので楽しみである．
よく考えていますね．素晴らしい．カオスとの関係については次回お話しします．
今までなんとなくでしか理解のしていなかった次元について
次元がどのようにして決定しているのかが分かりました．
フラクタル図形のカントール集合の個数がなぜ2になるのかが分かりませんでした．
長さが2/3が残っているから1.5個でよいのではないかと思いました．
1/3に縮小したものを2つ貼り付けているからですが，次回再度触れましょう．
フラクタル図形の特徴や描画方法について学び，
通常の図形とは異なり，
尺度に収束しない性質に強い印象を受けた．
自己相似性を持ちながら，
次元が整数でない場合もある点に，
既存の幾何学の枠組みでは捉えきれない複雑さを感じた．
描画は単純な再帰的ルールで行えるにもかかわらず，
結果として高い複雑性を生み出す点が特に興味深く，
秩序とカオスの中間のような独特の構造美を感じた．
そうですね．可視化すると綺麗ですね．
フラクタルは見たことがあったが，
名前や仕組みは知らなかったので面白かった．
形が同じのが繰り返されるのが不思議で，
少し気持ち悪いけどおもしろい．
確かに無限の繰り返しなので，そう感じるかもしれません．
今回はフラクタルについて学んだ．
例として挙げられたなかで，コッホ曲線は見たことがあった．
シェルピンスキーギャスットの2つ目がゼ〇ダの伝説にでてくるマークで驚いた．
このマークのことを知らなかったので，グーグル先生に聞いてみましたが，
確かに1回の操作で得られる図形が出てきました．
今回の講義では，フラクタルについて学んだ．
フラクタルの意味を最初に聞いて思い浮かんだのが，
階乗関数(factorial関数)のような自らの関数内で自らを呼び出す再帰関数であったので，
その後の説明で再帰関数の名前が出た時に非常に納得することができた．
また，次元数が自然数だけでなく0.603...などといった
自然数以外の次元数も定義されるということが非常に興味深かった．
昔から無限ループを見るとゾクゾクとするので今回の講義はとても面白かった．
そうですか．無限ループで．．．どこがポイントですかね．
次元の考え方について今まではなんとなくで線が1次元など考えていたが
今回の講義を通じて整数以外の次元があることを理解できた
理解してくれたようですね．良かったと思います．
フラクタルについて学んだ．
カントール集合の説明で，整数でない次元数が出てきて驚いた．
また，シンプルな操作で複雑な図形を生み出す点が今まで学習してきたカオスと性質が類似しており，
面白いと感じた．
確かに似ていますね．良いコメントだと思います．
コッホ曲線が雪の結晶に似ていてきれいだと思った．
それでフラクタル図形について調べてみると
バーンズリーのシダやロマネスコのような自然に生えているもので
フラクタル図形になるものがあることに驚いた．
良いコメントですね．コッホ曲線は雪片曲線とも呼ばれています．
次回触れましょう．
フラクタルとは，拡大すると元と同じ構造が現れる性質であると学んだ．
また，シェルピンスキーギャスケットは高校の数学教科書において最初に記載されており，記憶に残っていた．
そのため，自分が知っている情報があったことで，
より集中して理解することができた．
そうですか．高校のときに習うのですね．
本日の授業では，フラクタル図形について学んだ．
カントール図形，コッホ曲線，シャルピンスキーギャスケット，メンジャースポンジといった具体例を通じ，
自己相似性や無限に続く構造の特徴について理解を深めた．
また，カントール集合の長さについて，
3進数表現を用いて考察し，その全長が0となる理由を確認した．
これらのフラクタルは自然現象などに応用されており，
数学の枠を超えた広がりがあることを実感した．
自然界にはフラクタル構造が溢れていますね．
以前に，物理とかの内容だった気がするが，
次元が違うと値が0になったり無限になるみたいな話を聞いたことがあり，
フラクタル図形では0と無限にしかならないから，
それの中間をとるというところが物理とは違うのかなと思った．
関係すると思います．
フラクタル図形の特徴や作られ方，定量化の手段について学んだ．
定量化やn進数表現などにといて，それぞれでは理解できたが，
それがどうつながっているのかがあまり理解できなかった．
そうですか．分からないところは質問してください．
フラクタルの次元が整数でないことが非常に興味深かった．
フラクタルの性質が面白いので，
次回の授業も楽しみです．
そうですね．楽しみにしていてください．
今回はカントール集合，コッホ曲線などを例にフラクタルについて理解することができた．
また被覆により次元を決める方法を学んだ．
あと講義内容ではないのですが，
LETUSページ内の「コメントへの返信は以下のURLから」という箇所から飛ぶと
2024年のコメント返信に行ってしまいます．
(日付をURL欄に直で打つとその日のコメント返信ページに行けますが)
指摘ありがとうございます．修正したつもりでしたが，確認しておきます．
フラクタル図形では非整数次元が現れることを今回の授業で初めて知り，
最初は戸惑ったものの，最終的に理解することができた．
理解できたようですね．良かったと思います．
カントール集合の長さの計算を通じて，
改めて「極限」という概念の面白さを実感した．
そうですね．無限に操作を繰り返すというところが難しいですが，面白いですね．
今回の授業ではフラクタル構造とその次元について学習しました．
非整数次元が存在することは知っていましが，
フラクタル構造で出現して，
縮小比と被服に必要な小線分の数で計算できるのは驚きました．
次元がわかるとなぜうれしくて，
どのように活用されるのか気になりました．
次回触れることができると思います．
本日の講義では，
自己相似性を持つ図形であるフラクタルについて学んだ．
特に，有限の面積を持ちながら無限の周囲長を持つ図形が存在するという点が非常に興味深かった．
また，フラクタルが自然界の複雑さを数学的に表現する手段であるという点は，
他の数学分野とは異なる魅力があると感じた．
フラクタル次元の定義と計算方法について今後さらに理解を深めようと思う．
ぜひそうしてください．色々と考えるとさらに面白くなると思います．
今回はフラクタル図形の次元について学んだ．
youtubeの動画などで小数の次元が存在することは知っていたので，
実際に定義が与えられて興味深かった．
理解できましたか？
フラクタルの性質と，実際の図形の例を知り，
フラクタル図形が持つであろう非整数次元について考えるために被覆を用いて次元を計算する体験をした．
カオスとフラクタルは関わりがあり，
だからこそカオスは面白いことを伝えられているので，
フラクタルとカオスの関連について学びたいという意欲と，
面白さを感じてみたいという気持ちが高まった．
質問：被覆の考え方から導き出した次元の式は経験的，
帰納的，定性的なものでしょうか．
それとも定義式だったり，数学的に公理や定義から導き出せるものでしょうか．
こういった一般化の考えや，
解釈の拡張は好きなので気になりました．
定義です．
フラクタル図形の次元数についてはうまく考えられないと思っていたが，
ハウスドルフ尺度でしっかりと次元数が考えられていてすごいと思った．
うまく考えられていますね．
フラクタルの図形は表面積は無限だけど体積は0って事なんですかね．
三次元なのに二次元みたいな性質が入っているみたいでとても不思議です．
その通りです．良いコメントですね．
カントール集合を作るための操作はごく単純であるにも関わらず，
元々の直線とは次元が変化するというのが驚きでした．
その上，0.6309次元という整数ですら無い次元が生じていました．
図形の次元は，それを表すための軸の本数であると思っていたので，
被覆という考えにより次元を測定する方法は見事で，
面白かったです．
今までの考え方を拡張するようになっていますね．
メンガーのスポンジの表面積は無限になって体積は0になるという話を聞いたことがあるが，
それがフラクタル次元で表されていないからということを知った．
2次元の尺度である面積では無限になり，
3次元の尺度である体積では0になるということですね．
今回の講義を通じて，
フラクタル図形が身近な自然界に数多く存在することに気づかされた．
これまで何気なく見ていたものもフラクタルという概念で説明できることが印象的であった．
講義で紹介されたフラクタル図形の中でも，
コッホ曲線が特に印象に残っている．
以前にもこの独特な形状を見たことがあったが，
その名称を知らなかったため，今回「コッホ曲線」という名前と，
それがどのように生成されるのかを知ることができ，興味深かった．
視覚的に認識していた形に，
具体的な数学的背景と生成ルールがあることを理解することができた．
色々と知っていたことが繋がって良かったと思います．
今日の授業では，フラクタルに関する興味深い性質を学びました．
カントール集合，シェルピンスキーの三角形，コッホ曲線，スポンジなどを通して，
フラクタル構造を持つ図形が無限に続いた場合，
どのような性質を持つのかを調べました．
非常に不思議な結果で，その数が区間内に無限にあるカントール集合は長さが0であり，
ぎっしり詰まっているように見えるスポンジは体積が0でした．
それで「濃度」という概念が登場したのではないかと思ったのですが，
このような現象を見て，世界の物体や人間の体など，
スカスカの原子で構成されている物質がぎっしり詰まって見える理由もこのような感じかなとも思いました
（もちろんフラクタルとは関係ありませんが）．
色々と考えていてとてもよろしいですね．素晴らしい．
フラクタルについて学んだ．
フラクタルとは，自己相似の意味であり，
フラクタル図形のようにある構造が縮小，複製されて一つの図形に同じ構造がいくつも存在するといった
無限の振る舞いが観測できる面白い現象だった．
本授業では，カオスとフラクタルの関係については分からなかった．
次回以降で，面白さがわかるかもしれない．
次回お話しできると思いますが，前回紹介した分岐図にもフラクタル構造が
現れることは紹介したと思います．
フラクタル図形の自己相似性については，
ゴッホ曲線やカントール集合の具体例を通じて理解しやすかった.一方で，
自然な尺度という表現があったがその部分に関して分からない部分が多くあった.
分からない場合は質問してください．
フラクタルの理解を深めることができた．
よろしいと思います．
前回より詳しくフラクタル性について学んだが，
フラクタル性は興味があって知っていたので，
授業でさらに詳しく知れてよかった．
そうですか．興味を持っているのは良いことですね．
カントール集合は，濃度が無限で長さが0であることについて，
講義でも説明があったように直感に反する結果であった．
非整数次元の説明によって，カントール集合には自然な尺度が存在すると理解した．
また，カントール集合を自然な尺度で測ったとき，
どのような値に収束するのか気になった．
理解してくれていますね．
今回の講義ではフラクタルの特徴を理解した．
カントール集合は長さ0で濃度が無限の集合，
コッホ曲線やギャスケットは面積0で長さが無限のものであるという特徴は面白いと思った．
そうですね．そこが面白いところですね．
小さいころからYoutube等でフラクタルについての動画を見かけ興味を持っていましたが，
このような形でカオス理論とつながるとは思わず驚きました．
フラクタルは湾岸形など自然界に多く見られる形ですが，
カオス理論も自然界に存在する非線形な要素を解明する道具であると考えるとその類似性が面白いです．
いいコメントですね．自然界は非線形な現象で溢れていますね．
知っているフラクタル構造が講義に出てきて，聞いていて面白かった．
また整数以外の次元もあると知って目から鱗だった．
面白かったというのであれば良かったと思います．
今日はフラクタル図形について学んだ．
拡大すると同じ構造がみられるというのは何だか自然の神秘のような気がした一方で，
カントール集合の長さが計算上0になるのは驚きだった．
濃度についてまだ完全に理解したとは言い難いのでこれからの授業や自習を通して学んでいきたい．
色々と考えていてよろしいと思います．
フラクタルに関する概念を学んだ．
自己相似な図形を縮小していったとき，
どのくらいのスケーリングで元の画像を覆いつくせるかという考え方から次元が導かれると分かった．
コッホ曲線などの見た目の複雑さが数値的な次元として表現されることは，
海岸線や雲などの自然界の構造のモデル化をする上で有用であると理解できた．
その通りです．有用です．次回お話しできると思います．
カオスの中に秩序があるのが面白いと感じ，そこから分岐について学んだが，
どんな分岐があるのかの具体例が想像がつきづらくで難しかった．
分岐については前回のお話しですね．
本日の講義ではフラクタル構造とその次元について学んだ．
被覆という考え方で自然な尺度の大きさを求められるのはなるほどと思った．
フラクタル構造における縮小率が次元を求める上で大きく関わることは理解できた．
フラクタル構造で貼り付ける個数も，
被覆に必要な要素の個数に関わるので，
間接的にフラクタル構造の次元を決めるのかもしれない．
縮小率と貼り付ける個数が等しければ形が異なっていても，
次元は同じなのだと考えられる．
そうなりますね．
今回の講義でフラクタルのことを学びました．
フラクタルとは自己相似のこと，
小さな部分を拡大すると，
元の全体と似たような形になっている構造を指します．
その図形は非整数の次元を持つことがある．
その次元はどれくらい複雑に空間を占めるかを示す尺度です．
いままで学んだカオスは初期値に対する敏感さによって長期予測不可能となりますが，
フラクタルは自己相似性を持つため，
ある意味で一定のルールを従っているから予測できると思ってよろしいですか．
良いコメントですね．次回触れましょう．
フラクタルについて学んだ．
フラクタルを定量的に表すにあたって，フラクラル次元を導入したが，
これが非整数次元であることがとても印象的だった．
確かに非整数というのはびっくりすることですね．
以前にガブリエルのラッパについて動画で見ていたときに，
表面積は無限であり，体積が0に近づく図形として
今回学んだメンジャースポンジを取り上げている動画を見つけてみたことがあり，
不思議に感じていた．
今回の講義にてフラクタル図形の例として，
このメンジャースポンジが出てきたことで，
その細かい性質について学ぶことができたので，
興味があったことを学問として昇華できていることが実感できた．
色々と今までのことが理解できたようで良かったと思います．
次元というと，
線は1次元，平面は2次元，，，などのように整数で分類されると思っていたが，
整数ではない次元がでてきて，そもそも次元とは？と不思議に思いました．
良いコメントですね．ぜひ考えてみましょう．
フラクタル図形の特徴を数値化するのに非整数次元を用いる
という意味が最初はわからなかった．
整数次元の図形とフラクタル図形の尺度について説明があったことで，
感覚的に理解しやすかった．
また，被覆という考え方は初めて知ったが，
図を見ながら説明を受けることができたので，腑に落ちた．
理解できたようでとても良かったと思います．
被覆で次元を測ると言う考えを非常に面白く感じた．
確かに今まで次元については与えられているものであると言う認識が強かったが，
わからない時の解決策として非常に頭がいい回答だと思った．
確かに面白い考え方ですね．
今回の授業では，フラクタル性について詳細に学習した．
カントール集合の「自然な尺度」において0.6309…次元というのが出てきたが，
非整数の次元というのはなじみがなく，面食らってしまった．
図を描く場面が多かったが，
本当に時間がないのと画力がないので普通に書いておいてほしいと思った．
自分で描いてみないと理解できないのです．
今回は縮小率と個数に注目しながらフラクタル図形について学んだ．
カントール集合上の濃度を3進法表現(最終的には2進数(0,1))表記で考えると濃度が無限に存在し，
フラクタル図形は濃度が無限であることを実感した．
また次元というワードに注目したいとき，
フラクタル次元は縮小率と被覆するために必要な個数をもとに求めることができることがわかった．
しかし１つ疑問点がある．
被覆の定義は無駄がないように覆うということで良いのか？
カントメー集合で考えたとき，無駄がないように覆えていないように見える．
無駄がないように覆っていますね．
今回は，フラクタルについて学びました．
中学生の時に学んだ相似が，大学で出てきて，懐かしいです．
写真が出てくるとイメージしやすくて分かりやすくて良かったです．
中学生ですでに習ったのですか．すごいね．
操作を無限回繰り返した時のフラクタル図形について，
長さや面積が0か∞になって終わりかと思ったら，
その図形固有の次元があるという考え方を学び，面白いと思った．
次元まで考えることが大切ですね．
今回は，フラクタルと，この図形を特徴づけるためのフラクタル次元について学んだ．
図形を適切な尺度で測れば有限値に収束するが適切でない尺度で測ると0か無限に値が発散するのだから，
フラクタル図形も適切な尺度で測れば有限値に収束するのでは，
と考えるのは次元が自然数になるのが当たり前だと思っているところに対して説得力があった．
一方で，被覆により次元を測ることに関しては，
他の方法で次元を測って違う値を次元とすることもできるのではないかと思ったためにあまり腑に落ちなかった．
そうですか．不明なところは質問してください．
体積０で表面積無限大のメンガーのスポンジの話聞けて面白いと思います．
知っていましたか．
本日の講義では，フラクタルについて扱った．
かなり昔の記憶ですが，テレビ番組で雪の結晶のフラクタルについて取り上げられていたことがあり，
複雑な現象の中に存在する自己相似性についてイメージしやすかった．
確かに雪の結晶もそのような構造になっていますね．
今回の講義では，フラタクルについて，及びいろんなフラタクルのレシピを学びました．
フラタクルはいろんな特異性があるから，
従来の図形観ではうまくいかない点が多いんですね．
そのために，フラタクル次元というフラタクル図形の特徴量？が今回導入されました．
また，フラタクルとは，自身を縮小したものが自身に埋め込まれているという説明がありましたが，
再帰的な図形ともいえそうですね．
紹介された図形の中で，メンジャースポンジは無限に水を吸い取れる立体ってことですかね関連して，
フラタクルの一般向けの話題は，今回の葉の例の他にも，
小腸が吸収効率を最大化しようとした結果，
フラタクルが出てきたという話題でよく登場します．
もちろん再帰的といってもよいです．
カントール集合の濃度を求める方法として，
最初に3進法を用いた後に2進法に1対1対応させて実数の濃度と等しいということを示すのが
テクニカルでとても面白かった．
一つの方法ではありますが，うまく考える方法になっていると思います．
フラクタル図形は既存の尺度では有限値を得ることができない，
というのはすごく不思議に感じた．
カントール集合なんて明らかに両端が残っているように思えるので，
感覚と乖離していると思った．
自然な尺度を用いれば値は収束するが，
具体的な収束値を得る方法はあるのか気になった．
確かに感覚とは合わない部分はあるかもしれませんね．
今日の授業では前回導入を，
行ったフラクタルについてより理解を深めた．
色んなおもしろい形の図形の作り方やその次元の考え方などを学べたのが面白かった．
高校の時からあったが面積が無限で体積がないなど，
理屈はそうだが，直感と異なるというのは気持ち悪いが，
面白い現象だと思った．
確かに気持ち悪いかも．．．