2025年07月02日 第12回
フラクタルやネットワーク構造が現実とどのように関わりがあるかを理解できた．
また接線分岐の話は，
二次方程式の判別式Dの話と似ていると感じた．
なるほど，形は似ていますね．
今日の授業ではネットワーク構造について学んだが，
スモールワールドネットワークとスケールフリーネットワークの違いがよく分からなかった．
どちらも意外と少ない点としか繋がっていない，
というようなお話でしょうか．
"it's a small world"なんて言葉はよく聞くが，
実際にそれを感じたことがないのはそもそも繋がる点が少なすぎるからかな，
と少し寂しくなった．
まだ説明していないので次回と次次回でお話しできると思います．
仮に繋がっている点がたくさんあれば，いろんな人と繋がっているので，
直接知らない人ともつながる可能性が高くなりますが，
そうでもないのに．．．というところですね．
次回触れましょう．
今日の講義では，
カオスとフラクタルの関係性，
複雑ネットワークの概念についてわかった．
「なんであなたがこの人のことを知っているんだ」「世界は意外と小さいね」
よくありそうなこの会話の裏にある繋がりをネットワーク構造として捉えて解くこと，
また言葉の単語を繋がりとして捉えて言語を判別するどっちもおもしろそうだと思った．
はい．面白いですよ．
フラクタルと複雑ネットワークについて学んだ．
我々の身の回りに存在する「繋がり」がいかに多様で，
かつ興味深い構造を持っているか改めて認識することができた．
今後行うそれぞれの回の内容の紐付けが楽しみです．
楽しみにしていてください．
今回の講義では,
カオスとフラクタルの関係,
フラクタルの応用について学んだ.
また,
これまでの数回分のカオスに関する講義を通して,
カオスが決定論的でありながら確率論的な振る舞いを示し,
長期的な予測が困難であるという点が興味深いと感じた.
決定論と確率論の間を繋ぎますね．
様々なコミュニティに所属すると世間は狭いなぁと感じることが多々あり，
その裏にネットワークが関わっていた事が驚きだった．
しかし，
これをどのように定式化・数式として表現するのかが気になった．
ネットワークとしてみる，というところですね．
詳しい内容については次回以降お話しします．
接するときは全接点が安定な周期解になり，
接する直前は接点付近を周期的に繰り返すラミナー相と接点から離れていって拡散するバースト相を繰り返す間欠性カオスになるということですか．
あっていると思います．
フォトニックフラクタルの話が，
フラクタルが葉っぱなどのように結果的にそのような性質が出てくるのではなく，
実際に物理的に何かに影響を与える特性を持つという点でとても不思議で興味深く感じられた．
また，
画像処理でフラクタルがどのように応用されているのかを特に調べてみたいと感じた．
確かに興味深いですね．
自分たちがいかに，
相互作用の中に生きているかを知った．
自分の知らない人でも，
自分のことを知っていたり，
はたまたその逆が起こったりなどよくあるため，
なんとなくしっくりきた．
そうですね．繋がりの中に生きていますね．
ネットワーク構造に様々な応用があることがわかった．
交友関係や交通網だけでなく，
言語すらもネットワークで捉えられるというのは興味深いと思った．
そうです．色々な現象をネットワークとして捉えることができます．
今日のモデリング理論の授業では，
ネットワークの構造やスモールワールド現象について学び，
とても興味深かったです．
特にミルグラムの手紙渡し実験から，
現実世界のつながりの短さを実感しました．
WSモデルを用いて，
ランダム性と規則性のバランスが現実のネットワークをよく表すという点も面白かったです．
まだミルグラムの実験の話はしていないですが．．．
グラフ理論では単なるノードと矢印でつまらなかったものが，
現実のネットワークを考えると，
様々な現象を記述できるというのが興味深かった．
特に，
俳優の共演関係のネットワークがあるということだったが，
共演NGとか裏のつながりが赤裸々に見えそうで面白そうだと思った．
なるほど．考えてみると面白いですね．NGは．
身の回りに複雑ネットワークに関するものが思ったよりもあることを初めて知った．
これからはもっと意識してみたいと感じた．
意外に色々とあると思います．
今回の講義では，
フラクタルと符号化，
ネットワーク構造について学んだ．
フォトニックフラクタルなどでフラクタルがどのように応用できるかを知ることができて，
興味深かった．
色々な応用がありますね．
今回の授業ではまずカオス力学系の分岐構造やアトラクタのフラクタル性について学んだ．
エノン写像のように，
非尿にシンプルな式から複雑で繊細な図形が生まれる点が興味深かった．
また，
葛飾北斎の作品やＣＧや映画におけるフラクタルの応用を通じて，
数学的な考え方が芸術表現や技術の裏側に深くかかわっていることを知り，
驚いた．
また，
接線分岐や周期窓，
間欠性といった現象にも触れ，
３周期解を通じた周期窓生成の仕組みが興味深かった．
aの値を変化させることで，
安定な３周期解と不安定なものが生まれているが，
安定なものしか観測できないので，
３周期解でしかないというところが印象的であった．
また，
複雑ネットワーク入門では，
社会や自然界におけるつながりの構造について多様な例を通して学んだ．
インターネットや交通網，
感染症の伝播，
言語まで，
私たちの生活やつながりによって成り立っているという視点が新鮮だった．
特に，
言語がつながりであるという点に驚いた．
これまで独立した体系としかとらえていなかった言語が，
実は人と人，
概念と概念をつなぐネットワークとして機能しているという点が印象的であった．
色々と考えているようでよろしいと思います．
タイポがありましたが．．．
ネットワークというと工学的なものというイメージを持っていたが，
スモールワールドなどの話を聞いて，
かなり身近なものなんだなと感じた．
その通りです．身近ですよ．
各素子間の繋がりにはどのようなものがあるか考えさせられた．
植物などの自然だけではなく，
友人たちとの関わりや言葉にも非線形ダイナミクスが見出せると知って面白いと感じた．
色々なところにありますね．
Small World Problemの話で，
リアルでよくある話だと感じました．
私もバイトの入りたてなどで出身校を聞いたりすると，
相手が自分の地元の友達とつながっていたりすることがよくあるので共感できました．
まさに小さな世界ですね．
今回の講義では分岐図に存在する周期窓が接線分岐により発生すること，
これからは2次元以上になった場合の各素子のつながり方について考えていくことが分かった．
理解してくれていると思います．
フラクタル構造の応用例が興味深かった．
前回は非整数次元が存在することを初めて知り驚いたが，
フラクタル自体は映画などにも利用されていると知り，
今後は身近に応用例が存在しないか探してみたい．
また，
葛飾北斎の富嶽三十六景の中にフラクタルが存在するならば，
どこまでフラクタルを利用した歴史を遡ることができるのか興味がわいた．
色々と調べてみると良いと思います．
赤の他人だと思った人に共通の友達がいるという経験が確かにありますが，
まさかこれも数理的に考えられるのかと思うとこの世の中で数式的に表現できないことってなんだろとも思いました．
良いコメントですね．何かありますか？
フラクタルがCGや映画など様々なところで使われていることがわかった．
とくにフォトニックフラクタルは電磁波が反射も透過もしないという性質を使うことで外からの有害波から機器を守ったり，
電磁波を閉じ込めることができる性質を使って，
光を取り込む光コンピュータなどに応用したり，
その特性を生かした使い方をするというのは画期的だと思った．
確かに画期的ですよね．面白い話だと思います．
本講義では，
フラクタルやネットワーク構造，
素子の結合などについて学んだ．
また，
フラクタルを用いたCG，
フラクタルを用いた誘電体など，
フラクタルの応用例についても知ることができた．
理解してくれているようでよかったと思います．
スモールワールドネットワークや手紙渡し実験，
スケールフリーネットワークについては，
以前社会科学の講義で習ったことがあり，
とても興味深い内容だったので今後の内容が楽しみです．
これまで扱ったカオスやフラクタル，
さらにネットワークなどは単純な現象や規則から，
より複雑で下の階層では存在しなかった振る舞いが創発されるのが面白い点であるように思いました．
そうでしたか．習っていたのですね．
分岐図の空白部分がなぜ生まれるのか気になっていたので，
図的に理解することができ，
すっきりした．
複雑ネットワークについては，
言葉だけではあまりイメージがわかなかったが，
今日の講義を聞き，
とても興味深く思ったので，
次回以降の講義を楽しみにしたいと思う．
分岐図については理解してくれたようでよかったと思います．
ネットワークについては次回も話をしますが，分からないところは質問してください．
各素子の説明での人間関係の例が想像しやすくわかりやすかったです．
以前学科の友達と話していた時，
高校の頃とても仲の良かった友人と中学と現在のバイト先が同じでと聞いて世界は狭いと思ったことを思い出しました．
確かに世界は狭いですね．
今回の講義では，
分岐図における周期窓がサドルノード分岐によって生じること，
また安定な周期解と不安定な周期解が同時に発生することで生じる間欠性カオスについてよく理解できた．
素晴らしい．理解してくれましたね．
フォトニックフラクタルが光を閉じ込める仕組みが，
自己相似な構造によって実現されているという点がとても面白いと思った．
フラクタル次元が光の伝播や干渉にまで影響を与えるなんて，
まるで幾何学がそのまま光のふるまいに直結しているようで驚いた．
従来の周期構造とは全く異なるアプローチで，
将来のナノフォトニクスデバイスにも応用できそうだと思った．
色々と応用できそうですね．何か良いアイディアはありますか？
カオスもフラクタルも，
シンプルな数式から間欠性カオスなどの原理を経て，
複雑な図形や変異が現れるという現象が大変面白いです．
先生がほぼ毎講義で面白いとおっしゃる理由がわかったような気がしました．
今までは1次元の関係だけでしたが，
これが2次元以上に拡張されることで，
それぞれダイナミクスを含む素子がさらに関係しあってより複雑になっていくということが非常に興味深いです．
わかってくれましたか．
素子が複雑に関係し合うとどのようになるかも面白い話ですね．
接線分岐の周期窓において，
今までの固定点やカオスではf^2などを使用してきたが，
周期窓では3周期解をfの合成関数で3回写像し，
接線分岐は，
aのパラメータを変えることで，
x_{t+1}=x_tに交わる前に接することからその名がつけられていることを学んだ．
安定な周期解と不安定な周期解が存在し，
サドルとノードが同時に存在することからサドル-ノード分岐と呼ぶことも，
資料の画像と原理を基に理解できた．
理解してくれましたか．よかったです．
今回の講義で印象に残ったのは，
我々がつながりの中で生きているという点である．
知り合いの知り合いを辿っていくと大体6人くらいで芸能人と繋がることができるというのを昔テレビで見たことがあったが，
人間同士のつながりは複雑で面白いと感じた．
また，
フラクタルがどのように応用されているのかについてもよく理解できた．
star trekという作品は今まで生きてきて聞いたことがなかった．
6次の隔たりですね．次回触れることができます．
Star Trek は有名なので調べてみてください．
前回概要を掴んだフラクタルについて，
カオス(エノン写像のアトラクタ)の中に登場するフラクタルを知ることで，
2つのつながりをよく知ることができた．
そしてそれらのフラクタルが，
解析から画像の圧縮，
電磁波の閉じ込めに応用されていることを知ることができた．
次回以降の導入として，
ネットワークの構造としてのキーワードを掴んだ(スモールワールドネットワーク，
スケールフリーネットワーク)．
講義の最後に，
ネットワークについて「あるときは接続しているが，
そうでないときは接続していないときがあるでしょ？」という趣旨のことについて触れていたが，
そういった現実的で時系列的な内容に興味があるので，
よく学習していきたいと感じた．
繋がりも時間が経過するとともに変化しますね．
現在では，このようなテンポラルネットワークと言われる解析も行われています．
今日の授業でフラクタルの応用について理解した．
日常で多くフラクタルが使われているのは知らなかった．
特に映像や画像で使われており映画などを見た際，
特に気にしたことはなかったが，
これから映画を見る際はフラクタルが利用されてることを少し気にしながら見ようと思う．
色々とあるかもしれません．気にしてもらうと良いかなと思います．
身の回りには，
様々なつながり，
ネットワーク構造があり，
自身のその中に存在しているのだなと感じた．
非線形ダイナミクスが世界そのものの構造を理解しようとする考えに深く関わっていることを知ることができ，
面白さを感じた．
面白いですよ．非線形ダイナミクスは．
フラクタルがデザインにも応用できるのはいい発想だと思ったが，
実際に無限にフラクタルを表すことはできないため，
どこまでフラクタル構造を維持するか難しいところだなと思った．
その通りです．現実としては無限を考えることは難しいですね．
フラクタルが実際にどのように使われているのかや，
フラクタル要素がある物質，
カオスのつながりなどについてなんとなく理解できた．
思い返すと，
テレビでドラマなどを見ているときにフラクタル技術が使われてると感じる場面がちょいちょいあるように感じる．
そうですか．どの場面ですかね．
授業の最後に触れられたスモールワールドネットワークの話は大変興味深かったです．
いつも住んでいた地元を離れ，
全国各地から様々な人が集まる軍隊に行った際も，
知人が重なるケースがありましたし，
外国人である私が日本に来てからも，
友人が同じだったり，
一つ隔てて知っている人が多かったりしました．
このような現象を証明する実際の理論があることに驚きましたし，
次回その実験を確認できることも楽しみにしています．
まさに小さな世界ですね．
講義内でカオスの利用と同様にフラクタルの活用例が紹介された際，
私は一つの疑問を抱いた．
確かに，
カオスやフラクタルは「複雑さ」と「規則性」を併せ持ち，
その性質ゆえに多様な機能や視覚的な効果を生み出すことができると考えられる．
しかし，
実際のモデル開発の現場においては，
「カオスやフラクタルにはこうした理論的性質があるから，
このような結果が期待できるはずだ」と理論からアプローチするのか，
あるいは「カオスやフラクタルは応用実績も多く，
さまざまな効果が知られているので，
とりあえず試してみよう」と実践から導入を始めるのか，
どちらが主流なのだろうか．
仮に自分がそうしたモデルを考案する立場にあるとすれば，
まずは先行研究や既存の応用例を参照しながら，
「これは使えそうだ」と感じた手法を試験的に導入し，
その実用性や効果を比較検討していくと思う．
そして，
そのプロセスの中で並行して理論的な裏付けや考察を加えていく，
実践と理論を行き来しながらモデルを構築していくスタイルを取るだろう．
現場における実際の開発も，
必ずしも理論が先行するとは限らず，
柔軟にアプローチが選ばれているのではないかと推察するが，
プロの現場ではどのようなスタイルが取られているのか，
ぜひご享受いただきたいと思った．
また，
今回の講義の中で特に印象に残ったのは，
スモールワールドプロブレムに関する話題である．
私は以前，
一般教養科目で受講した光辻先生の「社会科学入門」において，
「六次の隔たり」という概念に触れたことがあるが，
スモールワールドプロブレムはまさにそれと通じるテーマだと感じた．
当時の講義では身近な社会ネットワークの構造と数学的モデルが結びつくことで，
人と人とのつながりの背後にある「構造的な必然性」が見えてくるようで，
非常に興味深かったため，
今回それをより詳しく学べるのではないかと感じワクワクしている．
色々と知っていますし，考えてくれていますね．素晴らしい．
6次の隔たりは次回お話しします．
今日までの授業で非線形ダイナミクスについて一通り学んだと思っていましたが，
ここからは次元を増やして各素子のつながりについてのお話になってネットワークのように複雑な理論になるのだと感じました．
そうですね．ただ，講義でもお話ししたように， まずは繋がりそのものについて考えます．
フラクタルの応用にはどのようなものがあるのか理解できた．
よろしいと思います．
画像圧縮技術としてのフラクタル符号化について触れられていた．
JPEGで利用される離散コサイン変換に対して，
フラクタル符号化は自己相似性を利用する点が大きな特徴であると理解した．
また，
メンジャースポンジの例は，
自己相似構造の極致として視覚的に面白く，
情報を閉じ込めるイメージが符号化とも結びついて興味深った．
確かに情報を閉じ込めていますね．
フラクタルが具体的にどのような応用のされ方をしているのか知ることができた．
決定論的なルールの中に確率論的な振る舞いが存在していることは，
改めて不思議だと感じた．
今日は確率的な話はしていないです．．．
エノンアトラクタのフラクタル構造の例で示されていたグラフは，
最初はカーブを描いていてそこから拡大するとだんだん直線になってたが，
なぜそれがフラクタル構造として捉えられるのか分からなかった．
また，
フォトニックフラクタルはすごく興味深く，
もっと知りたいと思った．
エノン写像のアトラクタのフラクタル構造については再度説明しましょうか．
今日の授業ではフラクタルの残りと，
複雑ネットワークの導入を学んだ．
非線形ダイナミクスの結合というのは面白いと思った．
非線形＋非線形が線形ダイナミクスになる可能性や，
非線形＋線形が非線形or線形になるなどいろいろなパターンが考えられ，
仮に非線形＋非線形が線形ダイナミクスのとき線形ダイナミクスを非線形に分解できるということにもなると思うので，
単体だと非線形のものを線形として扱える可能性があるというのは素晴らしいと思った．
色々な可能性はありますが，ダイナミクスとしては，非線形になるので
複雑にはなると思います．
フラクタル構造の実用例をいくつか知り，
プログラムでフラクタル構造を表現する際には再帰呼び出しを使えばよいため，
実装は比較的容易だと思いました．
ただし，
フラクタル構造は理論上無限に続くため，
どこまで描画・可視化するかをどのように決めるのかが気になりました．
そうですね．その通りで，実際に再帰呼び出しを繰り返して用いると 時間が非常にかかりますね．
本講義では，
フラクタルを用いたCGやフォトニックフラクタルについて理解することが出来たので，
これから演習課題を頑張って完成させます．
期待しています．
本講義を通じて，
フラクタルの多様な応用例について学ぶことができた．
フラクタルが身の回りの様々なものから葛飾北斎の美術作品にわたるまで応用されており，
その可能性の広がりに強い興味を持った．
その通りで，広がっています．色々とありますね．
人間関係はネットワークで表現できるとのことであったが実際に再現しようとすると難しそうだと思った．
逆に再現できてしまったら今後人間関係がどのようになるかなどの予想が可能になるのではと可能性を感じた．
良いコメントですね．次回触れましょう．
複雑ネットワークの内容に入った，
カオスとの共通部分について理解することができた．
カオスとカオスが結合することで周期的になるという例に興味が沸いた．
周期的になる可能性もあるということです．常になるわけではありません．
複雑ネットワークについては，
今回は複数の素子が登場するネットワークの概要など，
概念的な話にとどまったが，
グラフ理論など知っている概念が登場し，
理解が容易かった
理解できましたか？
今回の授業でも最も面白いと思ったのがスモールワールドネットワークである．
この世界にどのようなネットワーク構造があるのかを改めて考えてみることに非常に面白さを感じた．
特に遠くに住んでいる人でも意外なつながりがあるという点はとても興味深く感じた．
次回の授業に続くということなので楽しみにしたい．
次回はネットワークの話について詳しく話せると思います．
楽しみにしてください．
スモールワールドネットワークやスケールフリーネットワークといった現実のネットワーク構造の特徴が明快に示されていて理解しやすかった．
特にミルグラムの実験やベーコン数のような具体例が印象に残り，
ネットワーク理論の応用可能性を実感できた．
まだミルグラムの話はしていないですね．また，ベーコン数の話もしていないですね．
本日の講義ではカオスとフラクタルの関係や，
ネットワークについて学んだ．
時系列解析や画像の符号化でフラクタルの性質が見られることを講義を通して初めて知った．
ネットワークで今まで静的なものばかり想像していたが，
動的なものと捉えるとダイナミクスの要素もあるのでカオス的な振る舞いに繋がるのだろうと推測しやすい．
その通り，ネットワーク構造がダイナミックな変化をすることがあります．
今回はフラクタルとネットワーク理論について学んだ．
フラクタルでは浮世絵やCGの例を確認したが，
中でも画像の圧縮に用いられている点が興味深かった．
フラクタル符号は画像内の自己相似性を用いて，
変換パラメタを求め圧縮する方式であり，
高圧縮率であるが圧縮に比較的多い計算時間を要する性質があるとわかった．
よろしいと思います．
今回の授業でネットワーク理論が1998年から始まったことを知って驚いた．
また,スモールワールドネットワークについて調べるとミルグラムの実験についてしった．
ミルグラムの話は次回紹介できると思います．
今回の講義では，
フラクタルとカオス，
複雑ネットワークという一見ばらばらな概念が，
自然現象や社会現象を理解する上で強く結びついていることを学びました．
特に，
自然界に見られるフラクタル構造が，
効率性や安定性といった機能的意味を持つという点に納得感がありました．
ネットワーク科学については，
「スモールワールド」や「スケールフリー」といった構造が現実の人間関係やインフラに普遍的に現れることを知り，
実用的意義を感じました．
今回のお話は卑近なところが多くて興味深かったです．
複雑ネットワークも，我々の身の回りに存在します．
デジタル画像の圧縮技術にフラクタルが応用されていることは驚いた．
画像の中に自己相似性を見つけることができれば，
その性質に基づいて複製によって元の画像を復元できるため，
可逆変換のデータ圧縮ができると理解した．
色々と使えますね．
スモールワールドの話を聞いて，
昔テレビで「6人いれば誰にでもたどり着ける」というような番組を見たことを思い出しました．
私自身，
世間は意外と狭いと感じたことがあったので，
それが論文として発表されていたと知って，
驚きました．
6次の隔たりですね．次回触れますね．
間欠性カオスの部分で，
すぐに間欠泉が思い浮かび，
具体的にイメージしやすく分かりやすかった．
そうですか．理解してくれましたか．
メンジャー・スポンジで特定の波長をもつ電磁波を閉じ込めておくことが出来るというのが非常に興味深かった. その他にもフラクタル構造を応用した物体・機械などがあるのか気になった.
あると思います．調べてみてください．
今日の講義では，
カオスとフラクタルの関係，
フラクタルの応用，
複雑ネットワーク理論などについて学んだ．
スモールワールドネットワークの実験が面白そうな内容なので次の講義が楽しみになった．
「はじめまして!一番遠い親戚さん」のようなテレビ番組もスモールワールドネットワークに当てはまるのだと思った．
この番組は知らないのですが，今でもやっているのですか？
エネルギーをどうやって閉じ込めているか疑問に思っていたので，
フォトニックフラクタルという一つの方法を知れてスッキリしました．
興味があれば論文を読んでみると良いでしょう．
確かにネットワークを構成する上では「結合」について考えることが大事だと思った．
また，
本当に世の中は狭いという感覚的なものを論文などに落とし込んでいるものを読んでみたくなった．
ぜひ読んでみましょう．論文紹介しますよ．