2026年04月22日 第2回
高校では，解が求まる漸化式が中心だったが，
非線形な差分方程式では解が求まらない場合があることを知り，
考察や評価の重要視を感じました．
図式解法や数値計算によって，
解の挙動を視覚的に理解できる点が印象的でした．
そうですね．どのように振舞うのかを視覚的に確認するのは大切ですね．
今回は線形な差分方程式についての説明と図形的解法について学んだ．
図形的解法について，一つ前の状態を用いるだけなら
今回学んだようにx_(t+1)=x_tの直線を用いて
ギザギザと進んでいけばその挙動がわかるが，
2つ前またはもっと前の状態によって現在の状態が決まるような
変化則であれば図形的解法は難しいと感じた．
いいコメントですね．次回触れましょう．
このようなディレイがある場合もありますが，
それについて説明します．
今回の講義で，線形な差分方程式についてよく理解できた．
特に，図式解法の部分で自分で手を動かしたことで，
理解がより一層進んだ．
そうですね．やはり自分でやってみることが大切ですね．
図式解法を行うにあたって，
変数の数が1つ(1次元)の場合に威力を発揮とありましたが，
今回のようなtという時間量を次元と扱わないとして，
次元はxのみとしても，x_t，x_(t+1)のように2軸が必要になると思います．
解析する式がより複雑になり，x_(t+m) (m=0, 1, 2, 3,...)で表されるような
1次元の式だと図式解法は難しいように思うのですが，
この認識は間違っているのでしょうか？
良いコメントだと思います．次回触れます．
今回の講義では，差分方程式を用いて時間変化を表す方法を学んだ．
特に，単純な式でも係数によって増加や減衰など様々な挙動を示す点が印象に残った．
また，現実の現象を表すには非線形モデルが重要であり，
数値的に考える必要があることも理解できた．
今後は，モデル化の視点を意識して学習していきたいと思った．
どのようにモデル化されるのかも大切ですね．
先週と比べて一気に難易度が上がった印象を受けました．
例として資料にあるグラフがさまざまなものがあり興味深かったです．
そうですか．．．どのあたりが難しいですけ．
本日の講義では，差分方程式による時系列データのモデリングにおいて，
線形モデルの限界と非線形モデルへの拡張の必要性を学んだ．
現実の複雑な現象は，
単純な線形方程式が示す基本的な振る舞いだけでは説明しきれないことが多く，
制約や相互作用を非線形な形でモデルに組み込むことの重要性を理解した．
また，複雑な方程式をそのまま扱うのではなく，
変数変換によって本質的なパラメータを抽出し，
現象を捉えやすくするアプローチは非常に有用だと感じた．
解析的に解くことが難しい非線形モデルに対し，
図式解法や数値計算といった手法でどのようにアプローチしていくのか，
今後の講義での展開が楽しみである．
次回は図式解法の話の続きをしましょう．
同じ差分方程式でも係数の値によって
減衰や発散など異なる振る舞いが現れる点が印象に残りました
そうですね．良いところに気づいていると思います．
差分方程式を漸化式のようなものと考えることで理解がしやすかったです．
また，非線形なモデルの改良に関して，
確かにモデルの改良を繰り返していけば
元のデータに近いものを再現できるかもしれないけれど，
完全にモデル化するのは不可能なのではと思いました．
実際の複雑な事象をモデル化する際は，
ここまでデータを再現できたらいいだろうという限界を決めるのでしょうか．
良いコメントですね．次回触れましょう．
今回の講義では，モデルを非線形的なふるまいに対応させるために
差分方程式の変数を変化させるということを知ったが，
非線形のものに対応させることができるという面白さを感じると同時に，
うまく変数を見つけるのは相当な試行錯誤が必要なのではないかと思った．
そうですね．確かにそれはあるかなと思います．
上手く変数変換を行うことでモデルがロジスティック写像に回帰することに驚いた．
また，図式解法で，講義中は線形モデルにしか触れなかったが，
それが非線形（２次以降）になった場合どのように収束するのかと気になった．
次回の講義で，非線型写像，具体的にはロジスティック写像ですが， そのダイナミクスを図式解法で調べる話をします．
図式解法が大学受験に似て懐かしかった．
手を実際に動かすと分かることが多いと感じた．
そうですか．どのような問題が出るのですかね．
本日の講義では，線形な差分方程式の振舞いを確認した後，
実際の現象の振舞いは非線形な差分方程式でないとモデル化できないことと，
非線形な差分方程式の2つの解法(今回は主に図式解法)を学んだ．
線形な場合には解の挙動が比較的予測しやすく，理解しやすいと感じた．
図式解法を用いることで，数式として解くだけでなく，
反復による値の変化や収束の様子を視覚的に捉えられる点が印象的であった．
今回は線形な差分方程式で図式解法を確認したが，
この手法が非線形の場合にどの程度まで有効に機能するのかという点に疑問を持った．
特に，非線形になると解の振る舞いが複雑になると考えられるため，
図式的な方法だけで十分に挙動を把握できるのか，
それとも他の手法と併用する必要があるのかが気になった．
さらに，今回の線形な差分方程式の場合でも初期値と変化率によって
振舞いが変化することが確認されたので，
非線形の場合にも初期値と変化率の違いがどの程度解に影響を与えるのかについて，
今後の講義で具体的に確認してみたいと感じた．
いいコメントですね．色々と調べてみると面白いですね．
前回の授業内で例に上がっていたロジスティック写像までの
非線形差分方程式の変形を一つ一つ理解することができました．
aの値が4であるときのみ振る舞いの規則がわかっているという話は
大変興味がわきました
そうなのですよ．具体的にそうなることがわかっています．
線形な差分方程式を図式で表すことによって，
今まで理論としてしか理解していなかった振る舞いを視覚的にも理解できて良かった．
今後の講義でこの解法を非線形なものに適応していくのが楽しみだ.
楽しみにしていてください．
ロジスティック写像の式の導出，
図式解法のやり方がよく分かりました．
ロジスティック写像が具体的に現実のどのような現象の解析に用いられ，
逆にどのような現象に向かないのかについてもっと知りたいと思いました．
実際にロジスティック写像について試してもらうと良いですね．
変数の数が１つのとき，
図式解法は視覚的にも理解しやすい解法だと思った．
その通りです．
個体数の増減などの実際の現象の振る舞いは，
減衰や発散といった単純なパターンに当てはまらず，
線形な差分方程式ではうまく表せないということに納得しました．
それをよりうまく表すために，モデルの改良や変数変換を行い，
より扱いやすい形にするというアプローチは
様々な分析や課題解決に使えそうで面白いと思いました．
その通りですね．色々と使えるかなと思います．
図式解法は交点を見ることで式を具体的に計算しなくても，
視覚的に判断できる便利さを感じました．
実際には現実のデータからどのように
aやbのパラーメータの値を固定するのか気になりました．
確かにモデル化という観点からは値をどのように決めるかは重要ですね．
差分方程式が，微分方程式の離散版であることが分かった．
高校では一般解を求められるものしか扱わなかったが，
求められないものへのアプローチが気になった．
求めなれない場合については，
皆さんが得意なプログラムを使うのが方法の一つになります．
今回の講義で特に興味深かったのは，a，b，n_tの変数から
新しい変数x_tを作り出す部分で，変数が多く複雑なモデルを，
新たな変数を用いることで，
扱いやすいシンプルな形に整理するのはとても魅力的に感じました．
また，実際に図式解法を試していく中で，
その利点を身をもって実感することができました．
理解してくれたようでよろしいと思います．
図式解法については，手法自体は理解できたものの，
「実際にどのような場面で有効に活用されるのか」という点に疑問を感じた．
反復の様子を視覚的に追う方法は直感的で分かりやすいが，
最終的な数値を求めるという観点では，
単純に計算する方が効率的であるようにも思えた．
そのため，計算結果の数値が重要というよりも，
軌道全体を視覚的に確認することに意味があると感じた．
それでもなお，図式解法が「どの程度実用的なのか」，
あるいは「理論理解のための補助的な道具なのか」という位置づけについては
完全には整理できていない．
今後，その有用性を明確に理解できたらと思う．
良いコメントですね．理解してくれいると思います．
差分方程式という言葉を聞き慣れず難しく感じていましたが，
漸化式のようなものと考えると理解しやすくなりました．
また，本質的ではありませんが図式解法における補助直線は，
縦軸の値を横軸におろすことがとても簡単になるすごい発明だと思いました．
その通りですね．発明とまで言えるかは微妙な感じもしますが...
今回の講義で差分方程式について学ぶことができた．
今回は変数が一つの場合について図式解法でグラフを描くことで
aの値によってその軌道が変わることが分かった．
具体的には|a|<1なら収束|a|>1なら発散，
aが負なら振動しaが正なら単調な動きをすることが分かった．
よろしいと思います．
今の時代のコンピュータの能力であれば，
一般解を求めずとも数値計算だけで十分ではないのかと疑問に思った．
なるほど．でも，それだけではダメなのですが，
次回触れますね．
現実の事象をモデル化する際の改良方法として，
非線形性が自ずと導出されること，
また変数の数を一つに集約した際には図式解法が有力となるため，
まずは線形な差分方程式における各ステップを学んだ．
その中で，nt+1が直前のntのみに依存する形式だけでなく，
より過去の状態を参照する三項間漸化式のような，
個体数の変動に慣性のようなものが作用するモデルだったり，
nt+2とntといった時間差のあるモデルも構築可能であるのではないかと考えた．
またそれらについては，
三次元座標にすれば今回習った線形での図式の方法と似たステップでできると思った．
良いコメントですね．次回触れましょう．
どのように非線形であることを見抜き式にしていくのかがなんとなくわかった．
線形の差分方程式ではあるが高校の頃にやった漸化式の話が出てきて懐かしく感じた．
パラメータを減らすテクニック的な部分を紹介していたが
他にもあるのかが気になった．
色々とあるかもしれません．
図式化することで直感的にも理解しやすくなった．
収束発散の概念も図を使いながら学んだ方が
理解するスピードが早くなるのではと思った．
そうかもしれませんね．
図式解法で補助線を引くというやり方がとても明快で，
収束や発散といった挙動が視覚的に把握できる点に面白さを感じました．
非線形方程式を解析的に解くのが困難という前提があるからこそ，
このような幾何学的なアプローチは非常に強力だと思いました．
同様に多次元の場合でも人間が挙動を直感的に判別できるような可視化の方法が
あるのかどうかが気になりました ．
良いコメントだと思いますが，高次元になるとちょっと難しいですよね．
非線形差分方程式における図式解法について理解することができた．
授業で扱ったロジスティック写像に帰着するような置換が他にもあるのか気になった．
あるかもしれません．
線形な差分方程式の演習を通して，
図式解法の具体的な方法や1次元の場合に適している特徴などを理解した．
よろしいと思います．
本講義では，差分方程式と図式解法について学んだ．
特に，差分方程式が離散時間におけるシステムの振る舞いを表すものであり，
初期条件によって解の挙動が変化する点についてはよく理解することができた．
また，図式解法を用いることで，
数式だけでは捉えにくい解の収束や発散の様子を
視覚的に確認できる点が印象的であった．
視覚的に確認できるのは大切ですね．
今日の講義ではは非線形な差分方程式を用いたモデル化を行った．
また，非線形な差分方程式の解を求めるためには
図式解法とコンピュータによる計算があることを学んだ．
図式解法は高校数学とつながっている気がして面白かった．
ロジスティクス写像では同じように図を描けば
振る舞いが予測できるのではないかと思った．
図式計算以外の計算の行い方が気になった．
高校で習うのですかね．
本日の講義では，
線形及び非線形の差分方程式を用いたモデリングの基礎を学びました．
特に印象的だったのは，
単純線形モデルのx_{t+1} = ax_tではカナダヤマネコの個体数変動のような
現実の複雑な挙動（減衰や発散に当てはまらない周期的な動きなど）を
説明しきれないという点です．
個体数が増えすぎると抑制がかかるという現実的な制約を考慮し，
項をn_t^2の形に改良して非線形モデルへと拡張するプロセスは，
モデリングの本質を感じました．
カナダヤマネコに限らず，他のデータでも説明できないですよね．
一定パターンは勉強すればいいものの，
目の前の事象が本当にこのモデルでいいのか試行錯誤するのが
難しい学問だなと感じた．
それはありますが，データ以外の先見情報を使うことはできますよね．
図式解法について，
一次の差分方程式を解くのにはとても有効的な方法であることだけは理解した．
また，どのように解くのかも理解できた．
しかし，一次の差分方程式は
図式解法を用いずとも一般解を求められうと思ってしまい，
そこの理解に苦しんだ．
それはその通りですが，講義でも説明したように，
非線形な差分方程式に対して適用するために，
まずは線形な差分方程式を対象として，
方法論を説明するということです．
線形及び非線形の差分方程式について学んだ．
個体数の増減のモデルでは，毎回増加率が異なるとのことだったが，
その増加率にも何らかの関係があったりなかったりするのだろうかと思った．
良いコメントですね．あるかもしれません．
線形と非線形の差分方程式で，
解の振る舞いが劇的に変わる点に興味を持ちました．
特に固定点の安定性が，
システムの将来を予測する上でいかに重要かを学べたのが収穫です．
非線形における複雑な挙動も，
図を使うと本質が捉えやすくなると感じました．
まだ固定点の話はしていませんが，
昨年度も受講したのかな？
時間の経過とともに状態が変化する現象を，
差分方程式x(t+1)=f(x(t))で表す考え方がよく理解できた．
また, 線形の場合x_(t+1)=ax_tでは係数aによって
減衰や発散など様々な振る舞いが生じている点も分かりやすかった．
一方で, 実際の現象は6種類の振舞いに収まらず，
線形モデルでは不十分であるため,
非線形な差分方程式によるモデル化が必要になるという点が重要だと感じた.
理解できましたか．それはよろしいと思います．
確かに非線形性を考えることは本質的ですね．
非線形差分方程式の解を解析的に求めるのは困難とのことですが，
今後学ぶ「図式解法」を用いることで，
計算機を使わずにどの程度の精度まで振る舞いを予測できるのかが気になりました．
今回紹介した図式解法は
今回は，図の作成による差分方程式の解析を学んだ．
高校生の時に学んだ漸化式とも関連があり，とても感動した．
感動してくれたのであれば良かった．
なぜ線形モデルでは不十分なのか，
現実の例で照らし合わせることで非線形モデルが必要な理由が納得できた．
現実の株価や気象データはたくさんの要因が絡んでいるが，
これはどのようにモデル化できるか気になった．
このような現象が方程式で扱えることに興味を持った．
そうですね．株価などは難しいですね．
線形と非線形の違いについて理解を深めることができた．
特に，図式解法は直感的に分かりやすいと感じた．
理解してくれて良かったと思います．
現実の複雑な事象を上手く数式に落とし込んでいくモデリングの手法は，
他の複雑なシステムの設計や解析にも応用できる重要な考え方であると感じた．
また，非線形な差分方程式になると解析的に解を求めることが一般に困難になるため，
図式解法やコンピュータを用いた数値計算が
重要になってくるという点が興味深かった．
理解してくれましたね．
差分方程式は漸化式のようで高校に戻ったかのような授業だった．
ただ，高校との違いは解を導出するのが目的ではなく
システムの振る舞いを解析するのが
目的になっているという点で違うのだと分かった．
モデリング理論と直接の関係があるかわからないが，
微分方程式の解法ももう一度勉強しなおした方がよいと考えた．
おー，いいコメントですね．次回触れましょう．
非線形な差分方程式を改良していくと
前回扱ったロジスティック写像の公式が導出されて，
とても興味深かったです．
改良した元は，線形な差分方程式です．
配られたテキストの19ページを先に見たのだが，
「同じ関数を繰り返し適用する」という非常に単純な処理なのにも関わらず，
非常に複雑でランダムにさえ見えるような点列が生成されることということが
非常に興味深かった．
また，このあとのカオス理論の話とも関連すると思うが，
そのような点列をコンピューターを用いて数値計算する際，
コンピューターが有限桁の小数(double型なら64ビット)しか
扱えないことによる誤差が生じることと思うが，
そのような誤差の影響をなるべく抑えられるような手法はあるのか気になった．
いいコメントですね．次回触れましょう．
線形というとax+bも許されると思っていたので
前回も今回も重ね合わせの理がよくわからなかったが，
今回の講義でaxの形のみであると分かり，
重ね合わせの理についても理解できた．
ax+bも広く考えて許されます．軸をずらせば，ax の形になりますね．
例示された線形な差分方程式やロジスティック写像に
図式解法を用いることでその効果を実感できた．
実感できたのであればそれが一番ですね．
非線形な差分方程式の振る舞いを調査する方法の1つとして図式解法を学習した.
講義内では,図式解法に慣れるために簡単な線形差分方程式を取り扱ったが,
その際に補助的な直線を引いてx_1,x_2,x_3と
x_t軸上に求めていく方法がとても印象的だった.
また,モデル化において扱う対象が複雑な振る舞いを示すものであったときに
それを数学的に説明できるモデルを得られるまで改良するのは大変な工程だと感じた.
その通りです．実際のプロセスはもっと大変です．
数式変形をかなり丁寧に教えてくれるのはとてもありがたいと思った．
落ち着いて考えて貰えば理解は簡単ですかね．
一見複雑で関係性が見えづらい差分方程式も，
変数変換を施すことでわかりやすくなって面白かった．
また，差分方程式は高校で扱った漸化式のように
式変形をして一般化をするものだと思っていたが，
Xt+1=Xtという補助直線を利用した「図式解法」という手法もあるのだと学んだ．
これも一つの方法ですね．
授業を通して，現実世界でのサンプル列は，
線形な関係では表しにくいことを再確認できた．
また，そういったサンプル列を，
表現するような線形差分方程式を出発点に再現しようとすると，
すぐに非線形な方程式へ姿を変えることから，
非線形は避けて通れないことも分かった．
補助線２本を引くことで，具体的な数値がわからなくても，
なんとなくの大小関係で，数列がどのように遷移していくのが追えて良いと思った．
その通り，避けて通れないのですよ．
今回の講義では，
差分方程式を用いて時間的に変化する現象を表現する方法について学んだ．
これまで連続時間での変化を扱うことが多かったが，
離散時間でも同様に現象をモデル化できることが分かり興味深かった．
また，単純な式でも非線形性を持つことで複雑な振る舞いが生じる点が印象に残った．
良いところに気づいていますね．
高校で学んだ数列，漸化式などが，
線形と非線形差分方程式とつながっていることに驚きました．
時間などを離散的なものとし，
その間を方程式で表す考え方もすごく面白かったです．
面白かったのであれば良かったと思います．
単純な数式から多様な時間発展のパターンが導き出されるプロセスが面白く，
今後の非線形モデルへの展開が楽しみです．
面白いですよ．楽しみにしていてください．
自分が想定した線形モデルでそれを実際に表すことが出来るかを考え，
出来ない場合は非線形モデルにして解法をしていく事を学びました．
図式解法は実際にイメージしながら次の解を求めて行くので分かりやすいと感じたが，
発散する場合は解自体が大きい数になるため大変だなとも感じました．
確かに発散する場合はそうですが，値がどうかということではなくて，
最終的にどのようになるのか，が大切です．
線形な差分方程式の図式解法で増加率と初期値を変えると，
様々な形が現れて面白かった．
非線形な差分方程式で身の回りの実際の現象の振る舞いを
モデル化することができると分かったが，
線形な差分方程式でモデル化することができるものには何があるのか気になった．
線形な場合は，初期値は変えても振る舞いは基本的に同じです．
単純な線形差分方程式では現実の複雑な変動を表せないため，
状況に応じてモデルを非線形に改良していく過程が論理的で非常に面白かった．
そうですか．面白かったのであれば良かった．
導入回で例はシンプルでしたが，図式解法は特に分かりやすいと感じました．
反復を追うことで，収束・発散といった挙動が式だけより直感的に把握できるため，
理解の足場として有効だと思います．
今後，非線形性や高次元化で複雑になる中で，この方法がどこまで通用し，
どの段階から理論や数値計算が必要になるのかも意識して学びたいです．
加えて，この分野が一般論からの体系化で発展したのか，
具体例から積み上がったのかという歴史的背景も気になりました．
歴史的な話は，もう少し後の回でお話しします．
x_t+1=ax_tの式でaが負での図式方法が難しかった.
できましたか？
非線形でない状態変化を解析する場合求めるのが難しいが，
良い感じ変数変換すれば関係を求められることがわかった．
また，実際に図式解法をやってみてわかりやすかった，
次回の非線形のロジスティック解法に興味がある
ロジスティック写像は面白いですよ．
日常の現象が「線形」と「非線形」に分類できるという説明は非常に興味深く，
特に山猫の例を通して学んだことで，抽象的な概念が身近に感じられました．
まず線形モデルから考え始め，
そこでは表現しきれないと分かったうえで非線形へと進む流れは，
理解のステップとしてとても分かりやすかったです．
また，今回のように図を用いて考える“図的解法”は，
視覚的に直感的な理解につながり，内容の吸収に大きく役立ちました．
役立ったのであれば良かったと思います．
本資料では，差分方程式を用いて
現実の現象をどのようにモデル化するかが段階的に説明されており，
非常に理解しやすいと感じた．
特に，線形モデルにおいて定数でも少し変わった動きをすることが興味深かった．
定数がどのように変わると，動きがどうなるか分かりますか．
全体的に非常に分かりやすい講義内容で
内容自体も現実にあるLynxの例に即しながら考えることもできたので面白かったです
個人的にはもう少し講義の進む速度が早くてもいいと感じました．
進度については分かりましたが，
理解できるかどうかが色々なので，
一概に早くはできないですね．
講義を受けて考えたのは，
今回はaの値を定数としていたが，
ここをまた更に何かしらの法則で変動する値として考えるのは
より難しいのかということでした．
面白いアイディアですね．次回触れましょう．
非線形な動きをする現象は複雑でこれまで扱うことが少なかったが，
ヤマネコの増減の例から非線形なふるまいをすることが当然である
（数が増えると減りやすくなるなど）ことが体感できた．
これだけで説明できるわけではないが，
世の中の非線形な動きも案外単純な理由で説明される可能性があると考えられ，
興味深かった．
確かに，単純な法則で表される可能性はあるでしょう．
本日の授業で気づいたことは，Lynxの個体数のモデル化の際に，
本日の授業の感想は，
ロジスティック写像のように非線形な差分方程式を新しい変数に変換することや，
非線形な差分方程式を取り扱う際に，
1次元においては図式解放を行ったり，繰り返し計算するなど，
大学受験での数学の考え方がそのまま生きているということです．
これからの授業内容も楽しみです．
楽しみにしていてください．
高校数学で出てきた漸化式が，
カナダヤマネコの個体数の増減などの，
実社会でのダイナミックな現象のモデル化に使われているのが面白いと感じた．
マーケティング分野など，
他にも漸化式（差分方程式）を用いて過去のデータから
未来を予測するツールが実社会でどのように使われているのか興味が湧いた．
色々と調べてみると良いのでは？
中高生で習ってきた，数列や帆方程式等の数学の知識を，
この授業を通して現実と少し結びつけられたように思えてよかった．
身の回りのデータを線形な差分方程式で表すのが不可能というのはよくわかるが，
非線形としてとらえてモデル化するとなったとき，
どこまで表せるのか，どれくらい複雑な式になるのか，
どこまで近づけるのかなど気になったため，
自分でも調べてみたいと思った．
そうですね．確かにどこまで近くなったかは重要な指標です．
図式解法を用いることで，
数式の計算だけでは見えにくい「状態の推移」が視覚的に理解できました．
特にパラメータaの値が小さいうちは，
45度線と曲線の交点である「固定点」に
階段状に吸い込まれていく様子が分かりやすく，
システムの安定性を実感できました．
また，時系列グラフと図式解法を照らし合わせることで，
周期的に値が変動する「周期振動」のメカニズムも整理できました．
素晴らしい．よく理解できていると思います．
差分方程式という単語をあまり聞いたことがなかったが，
今回の講義を通して，差分方程式が微分方程式とは異なり，
離散的なものであることが分かった．
また，モデル化の手順を追っていくことで，
データの扱い方について，具体的に考えることができた．
理解してくれたようで良かったと思います．
本日の講義ではヤマネコの個体数のデータを参考にして，
モデル化の例を示していただきました．
前年と今年のデータの関係性を示す際に，
定数だと一年間はそれで話がすむかもしれないが，
例えば50年前もその関係で増減していたとは考え難い．
故にモデルを再考する必要がある．
そしてその過程でやはり非線形性が追加されたりすることを知りました．
理解できましたかね．
図式解法によって非線形の差分方程式のｘのふるまいが
視覚的に分かりやすくみることができたことに感動した．
x_t+1 = x_t の補助直線を使う事は思いつかなかった．
実際にやってみてください．次回のロジスティック写像もです．
今回の講義では，
差分方程式を使って時間とともに変化する現象をモデル化する方法を学んだ．
特に，x(t+1)=f(x(t)) の形で次の状態が決まる考え方が分かりやすかった．
線形差分方程式では，
係数の値によって減衰や発散など振る舞いが変わる点は理解できた．
一方で，実際のデータ（Lynxの個体数など）では
線形モデルだけではうまく表せない理由や，
非線形モデルへの具体的な改良方法が少し難しかった．
今後は非線形の場合の考え方や，
数値計算の具体例をもう少し知りたいと思った．
次回以降触れることができるでしょう．
高校では線形・非線形の差分方程式を主に計算問題として扱っていたため，
どのような場面で利用されるのかを深く考える機会はなかった．
しかし今回の授業を通して，
これらの式が現実の現象を表現するモデルとして用いられており，
さらに状況に応じて改良されていくことを理解できた．
これにより，数式の意味や役割についての理解が深まった．
また，図式解法を用いることで視覚的に振る舞いを理解できた点が印象に残った．
理解できたようで良かったと思います．
今回は高校で習うような事のおさらいのような内容だったが，
その先に非線形ではどうするのかを考えながら授業に取り組んだ．
素晴らしい．