2026年05月27日 第6回
今回の講義では，
ロジスティック写像から変数変換によってテント写像へ帰着させ，
実数の2進数表現を用いて非周期性を考えるというアプローチがおもしろかったです．
特に，
テント写像による変換が，
2進数表記におけるシフト演算やビット反転として直感的にもわかりやすく，
単なる数式ではなくアルゴリズムの演算として捉えることができ，
非常に腑に落ちました．
また，
有理数と無理数の濃度の話から，
「適当に初期値を選ぶとほとんど全ての場合で無理数になる」ということもすんなりと理解でき，
だからカオスが発生するのかなと思いました．
納得してくれたようですね．すばらしい．
最後の無理数の部分もその通りです．
ロジスティック写像 x_t をテント写像 y_t へと変換した上で，
毎回の写像による初期値からの変動を2進数で表現して追いかけることにより，
決定論的カオス ( ロジスティック写像，
a=4 ) の非周期性を確かめることができました．
今回は簡単のためテント写像への変換を用いたとのことでしたが，
同じ工程をロジスティック写像のまま行った場合にどのように複雑化するのかも，
自分で確かめてみたいと思いました．
良いコメントですね．ぜひやってみてください．
テント写像は今週の提出課題を解いたときにも見たが, こんなに機械的で有能な写像だとは思わず感動しました. ロジスティック写像を直線系に変換し, 場合分けに関して２進小数ビット列に考えることで, 時間変化をビットの桁をずらすだけにするのはとても革新的だと思った.また, 小数の桁が増えるたびに無限の循環しない数字の組み合わせがある分有理数と違って, 不可算uncountableであり, 有理数よりも多い理由だろうと思った.
ビットシフトは情報工学科だから慣れていますよね．
とる値が[0,1]の範囲のことを利用して，
二進数に変換して考える発想に感動した．
自然数と有理数の濃度の話を聞いて，
無理数と自然数の濃度と自然数と有理数の濃度の違いは何が異なるのかわからなかった．
感覚的には無理数の方が多いのはわかるが，
どう感覚以外で進めるかが気になった．
数学的に証明することですね．無理数の話は次回します．
カオスについて詳しく知ることができた．
よろしいと思います．
今回の講義では，
テント写像の初期値を2進数に落とし込むことで，
初期値が有理数ならば周期的に，
無理数ならば非周期的に振舞うことがよくわかった．
理解できましたか．
テント写像を用いて2進数における有理数・無理数ついて考えていたが，
なぜそれらを考えることになったのか追いきれなかった．
次回また説明しますが，わからなければ質問してください．
ロジスティックス写像の振る舞いが，
x_t = sin^2 (pi / 2 y_t) という式によって テント写像の振る舞いと一対一で対応付けられるという事実がまず驚きだった．
それに加えて，
テント写像がもつ，
y_0が有理数であるときのみ周期性を持つ，
という性質も興味深く感じられた．
y_t が周期解を持つことは x_t が周期解をもつことと同値なので，
x_0がx_0 = sin^2 (pi / 2 p) (ただしpは有理数)で表されるような場合にのみ，
ロジスティックス写像 x_{t+1} = 4 x_t (1 - x_t) も周期解をもつ，
ということなのだろうかと気になった．
pi というのはπのことですか．pによりますが，x_0は無理数になる場合もありますね．
y_0が有理数の時は周期的，
無理数の時は非周期的というのが，
有理数は規則的でキリの良い数字，
無理数は割り切れない数字という感覚的な印象と一致するので納得しやすいと思いました．
納得してくれてよかったと思います．
今回の講義では，
カオスを有理数と無理数の観点から分析していくことに面白さを感じました．
初期値を有限小数，
循環小数，
無限小数にするかで挙動を分類することができると知り，
奥が深いと感じた．
そうですね．分類した結果無理数となる場合がほとんどということになります．
難しかった
わからなければ質問してください．
今回の講義で同じビット列は現れない．
現れたらそれは循環小数であるとおっしゃてて，
確かに！と勝手に納得してしまいました．
また，
ファレイ数列の考え方が単純明快であるにもかかわらず全ての有理数を抑えることができてのが画期的だと感じました．
ファレイ数列は面白いですよね．うまくできていますね．
今回の講義では，
カオスの話から循環小数の話へと繋がっていった点が興味深かった．
理解できましたか？
今回の講義は，
数式だけを見ると難しそうに感じましたが，
図と一緒に見ることで少し理解しやすくなりました．
はい，図も使って理解してください．
演習課題１で扱ったテント写像がロジスティクス写像で置換することで得られることが面白かった．
ただ，
その導出においてx_tの範囲からy_tの範囲を求める過程が授業内だと理解できなかったため，
自分で導出しつつ範囲がなぜそうなるのか確認したい．
わからなければ質問してください．
有限小数のとき，
循環小数のとき，
無限小数のときで周期性が変わることは分かったのですが，
N回写像を2進数で求める部分の計算が難しかったです．
濃度の概念は理解できましたが，
それがどう使われるのか気になりました．
分からなければ質問にきてください．
今回の講義では，
ロジスティック写像をテント写像の形に変形することで，
解が非周期的になる条件が分かった．
また，
非周期的になる割合がどれほど大きいかイメージすることができた．
ただ，
途中の変換や2進数で考える部分が複数回あるのできちんと復習し，
理解を深めようと考えた．
復習は大切ですね．不明なところは質問してください．
テント写像の挙動を2進数を用いて解析するのがとても興味深く感じた．
また複雑に見えるカオス的な変化が，
ビットのシフトや反転で説明できる点に驚いた．
からくりを考えるのは大切ですね．
テント写像について，
2進数という観点から考えることで，
有限小数では0に収束，
循環小数では周期解，
無限小数では非周期的，
カオス的なふるまいをすることが分かった．
テント写像では2進数が関係していたが，
8進数や16進数などの別の進数で考えた時におもしろい性質が見られる写像があるのか気になった．
面白いですね．どのように考えますか．
テント写像を用いた説明から，
初期値が無理数だと非周期的な動きになることが分かりました．
実数のほとんどは非可算無限個であるというのも今まで意識したことがなかったため新鮮に感じました．
計算論，離散数学では習っていないですか？
本日の講義では，
カオスの持つ「非周期性」のメカニズムについて，
テント写像と2進法表記，
そして実数の「濃度」という観点から学んだ．
カオスの特徴の１つ目である，
非周期性の結論が，
次回明らかになるのが楽しみである．
楽しみにしてください．
変数変換，
テント写像，
2進数で考えることで，
初期値敏感生についても説明できると思い納得できた
納得してくれましたか．それはよかった．
カオスは，
決定論的なのに予測できないっていうのが面白いです．
法則に従って動いているはずなのに未来が読めない，
という一見矛盾した性質が直感に反していて引き込まれます．
そうなのです．そこが面白いのです．
無限といえども，
数えることのできる無限であったり数えられない無限であったり，
見方を変えることでさまざまな評価ができるのはとても面白い考え方であると感じた．
そうですね．色々な見方をするのは大切ですね．
テント写像のカオス性を，
2進数表現や有理数・無理数の濃度の違いから説明する展開が面白かったです．
適当な初期値がほぼ無理数になる理由が，
直感的によく理解できました．
理解できたのはよかったです．
テント写像の変換については，
板書量が多いこともあり書くのに必死な部分もあったため，
家でよく復習して理解を深めたいと思います．
スライド4ページのロジスティック写像のカオスの時における値の図示について，
同じ状態が二度と現れないという点には納得がいったが，
グラフの形状を見てみると微妙に違うが似たような形をしている部分が所々に存在しているように感じ，
完全な一致とまではいかずとも，
このような「非周期の中の周期」的なものをみつけることで，
例えばカオスの時の値の遷移を予測したりすることは可能なのではないかと思った．
おー，良いコメントですね．次回触れましょう．
今回の講義では，
ロジスティック写像をテント写像に変換することについて学んだ．
最初は何のために変換をするのかピンとこなかったが，
2進数に直すとシフトで表せるということに驚いた．
でも納得できましたか？
テント写像が結局はビットシフトや反転で書けること，
そこから有理数（有限小数・循環小数）と無理数で場合分けたときの挙動について，
また実世界におけるそれらの濃度の違いからほぼすべてカオスが得られるという流れが十分理解できたし，
他講義にて聞いたことあるワードが出てきてワクワクした．
色々と繋がりますね．
今回は，
カオスの非周期性について学び，
初期値y_0のパターンで場合分けを行いながらテント写像による変換を考えた．
特に，
ニシン数表現では写像を適用する度に桁が移動していくことがわかり，
単純な規則から複雑な振る舞いが生まれる点が印象的だった．
その通りです．仕組みは簡単なのですが，複雑なる振舞いがでます．
なぜ２進数でわざわざ表現し直すのかが不思議だったが小数点の繰り上がりがn回写像と対応づけられていることに感動した．
離散数学で習った濃度の話がここにきて出てくることに驚いた．
離散数学ですね．色々と繋がりますね．
テント写像の初期値によって，
最終的にはどのようになるのか気になった．
次回お話ししますが，今日も触れたと思います．
有理数を順番に数えるのは確かに大変なので，
ファレイ数列が便利なことはわかったが，
どこで使うのかと疑問に思った．
有理数を順番に数える手順は決まっているので大変ではないですね．
カオスが「完全なランダム」ではなく，
決定論的な法則から生じる現象である点が興味深かったです．
初期条件の差が予測不能性につながるなら，
その境界は理論的にどこまでのものになるか興味が湧いた．
良いコメントですね．
実数のほとんどを占める無理数を, テント写像（シフトと反転）にかけると濃度の差から必然的にカオスになることがわかった.
理解してくれましたね．
本日締め切りの課題にテント写像があり，
その時はとにかくこのような式があるから解くという形でしたが，
本日はその導出方法を知り，
理解が深まりました．
自然数と有理数の濃度について，
ある程度の差にはほぼ等しいと言えるということで目を瞑れますが，
ファレイ数列を見る限り大分差があるように思え，
本当に濃度が等しいのか疑問に感じます．
まずはテント写像を知ってもらうと，繋がりがわかりやすいと思います．
テント写像による変換で，
01という2つの値のビット列なら周期的になりそうなものだと思ったが，
ほとんどが無理数になるということに感心しました．
感心してくれてよかったです．
無理数に関しては√とπとeくらいに思っていて一見とても少なそうに見えたが実数のほうが数が少ないのはとても意外であった．
多いですね．"ものすごく"．
テント写像を用いて非周期性について，
有理数か無理数か，
有限小数か循環小数かの場合分けをしてその振る舞いを式を用いて確認することができた．
特に2進数の計算について丁寧な説明があったのでよく理解することができた．
また，
濃度についても知ることができた．
理解してくれてよかったです．
本日の講義では，
初期値 y_0をテント写像によって繰り返し変換し，
その軌道が非周期的になる場合について考えた.特に，
値の範囲によって場合分けを行うことで，
テント写像は式自体は単純であるにもかかわらず，
初期値によっては周期的に繰り返さない複雑な振る舞いを示すことが分かった.
また，
ロジスティック写像も変数変換を行うことでテント写像と対応させられることが分かり，
複雑に見える非周期的な振る舞いも，
単純な写像の繰り返しとして理解できる点が興味深かった.
このことから，
カオス的な現象では式の見た目の複雑さだけでなく，
初期値の違いがその後の軌道に大きく影響することが重要だと感じた
よく考えてくれていますね．その通りですね．
今回の講義では，
集合の濃度を用いた無限集合の比較方法について学んだ ．
特に，
実数を2進数で表現し，
それを写像の繰り返しによってビット列のシフト操作として解釈する考え方は非常に印象的であった ．
また有理数が自然数と1対1対応がつく可算無限集合であることや，
無理数がそれよりも濃度が大きい非可算無限集合であるという比較を論理的に整理できる点が理解できた ．
また，
ファレイ数列を用いて有理数を順番に並べる手法を確認したことで，
無限という抽象的な概念を集合の対応関係として扱う重要性を具体的に学ぶことができた ．
理解できましたか．
閉区間での有理数の並べ方，
対応のさせ方を初めて知った．
初めてですか．離散数学などで習っていないのかね．
カオスの初期値が少し異なるだけで全く異なる挙動をとるという特徴を理解するために，
あるテント写像y_tについて考えた．
2進数での計算を通してy0が有理数であれば周期的に，
y0が無理数であれば非周期的になることがわかった．
閉区間[0,1]において無理数の方が有理数より多く存在していることから，
閉区間[0,1]の実数を適当に選んだ時，
ほとんど全ての場合に無理数になるため，
ほとんど全ての場合にテント写像y_tは周期的になると考えることができた．
最後，周期的ではなくて非周期的ですね．
ロジスティクス写像(a=4)を一対一対応で写像したテント写像では初期点により周期解を持つことが分かったためその解の逆像を求めることでロジスティクス写像(a=4)で周期解を持つ初期点を簡単に見つけられるのではないかと感じた
ロジスティック写像です．
写像を繰り返す挙動が二進数の小数点のシフト演算に対応しているという話がすごく分かりやすかったです．
初期値が無理数の場合，
二進数展開が循環しないからこそ，
非周期性が生まれるんだなと納得できました．
その通りです．理解できていますね．
提出が今日までだった課題にも出てきたテント写像が出てきて，
非周期性初期値として与えることのy0の変換に使われるというのが，
いまいち頭の中ですっきりできていないため，
よく見直そうと思います．
分からないところは質問してください．
本日の講義は，
カオスの非周期性について，
まずx_t=(1-cos(πy_t))/2=sin^2(πy_t/2)という変換を用いてロジスティック写像を考えることでテント写像を導出し，
そのテント写像によって各種実数y_0がどのように変換されるかを考えた後，
その結果から有理数と無理数の濃度の考察へと繋がっていくという内容であった．
有理数と無理数の考察においては離散数学で学んだ全射・単射や濃度の概念を改めて考えた．
講義内で紹介されていたファレイ数列によって有理数を求めている過程は，
二つの端点の間に新たな分数値が入っていくという点で二分探索アルゴリズムの考え方と似ているように感じた．
本講義ではこれまで学んできた知識がカオスの考察へと繋がっていく感覚を個人的に強く感じた．
やはり情報工学科生として学んできたものは情報工学という分野を進んでいくにあたり必要不可欠であるのだろうと思うと同時に，
体系的に学習していくことの重要性を痛感した．
色々と知ることは重要ですね．
そもそも何も知らないと選択もできないですからね．
「濃度」の概念が印象に残りました．
同じ無限なのに種類が違うというのは面白かったです．
離散数学で習っているみたいですよ．
今回の後半部分はすんなりと理解することができた．
最序盤のロジスティック写像に対して変数変換を行なって，
1次元に落とし込むという工夫が美しいと思った．
確かに美しい．
y0は無理数になる確率が高く，
更にy0が無理数のとき非周期的に0,1が並ぶ，
という非周期性の仕組みを大まかに知ることができた．
大まかですか，，，
数学知識をもとに，
カオスについて理解を深められた．
今までの講義で学んだ周期解との関連が興味深かった．
図をみるとわかるのかもしれませんね．
ロジスティック写像のx_tを三角関数で表して議論を進めるとやがてy_Nがカオス的な挙動を示す理由を説明できると理解しました．
4x_t(1-x_t)の式から三角関数に変換することを思いついた人はすごいと思いました．
確かにすごいですが． 図をみてみると良いですね．
ビット有利化の話に一般化の話など情報量が多くついていくのに苦労した．
ファレイ数列の形がきれいに感じた．
有利化？不明なところは質問してください．
前回カオスに続いて，
今回は無限数について学び，
面白かったです
面白いのは大切ですね．
a=4のロジスティック写像のようなカオスの特徴である非周期性を理解するために,講義ではロジスティック写像のx_tをy_tに変数変換を行った.その変数変換はx_tとy_tが1対1対応しており元のロジスティック写像の式より簡潔になり非常に扱いやすくなった.このようにカオスを示す写像も変数変換をすることによりよりシンプルに扱うことができるのかと感動した．
感動してくれましたか．
区分線形でシンプルなテント写像から，
反復写像によってカオスが生まれる仕組みを学ぶことができました．
その挙動の判断に有理数と無理数の違いがかかわっており，
濃度という考え方に初めて触れて面白いと思いました．
面白いのは大切ですね．
今日は，
ロジスティック写像がテント写像へ変換できることと，
テント写像の非周期性について理解した．
テント写像が，
初期値が2進法で有理数のとき周期的になることから，
a=4のロジスティック写像でも初期値によってはカオスにならないこともあるのだと驚いた．
カオスとならない場合はすでに講義でお話ししています．
テント写像において，
y_0が有理数のときは周期的であり，
y_0が無理数のとき非周期的になるということが分かった．
y_0が無理数のときは非周期的になるので，
カオスということですか．
最後に，0と1の間の実数はほとんど全てが無理数ということが必要です．
式変形等はわかったのですが，
全体的に何を表してるかや，
非周期性等との関係が理解できませんでした．
今後の授業や課題，
テスト勉強を通して，
理解していきたいです．
有理数は直線上に無数に存在はするけど，
点の集まりのように感じました．
一方で無理数は，
連続的なように感じるため，
無理数の方が圧倒的に多いように思えました．
分からないところは質問してください．
今回の講義で，
閉区間[0,1]の実数を適当に選んだ時にほとんどすべての場合で無理数になることを有理体の濃度や無理数体の濃度の考えを用いて詳しく原理から理解することができました．
よろしいと思います．
前回の課題で，
テント写像とベルヌーイシフト写像の2周期解についてそれぞれ求めましたが，
循環小数を用いた仕組みを知ると，
実際に前回求めた2周期解も2進数で循環小数になっていてより理解が深まりました．
深めたようでよかった．
カオスでは, 決定論的な式に従っていても, 将来の状態を正確に予測することが難しくなる場合があることが分かった. また, 初期値のわずかな違いが大きな差につながる点が印象に残った.
初期値の差についてはまだ話していないです．
テント写像がバイナリで表せて，
「左シフト」と「左シフト+反転」の2つになると，
最初に気付いた人がすごいなと思った．
確かにすごいかも．