2026年07月08日 第12回
フラクタルの性質とその図形の作られ方について具体例を通して理解した．
また，カントール集合について長さで考えると最終的に0になる一方で，
集合の濃度として考えると無数の点が存在しており，
観点によって捉え方が変わることが印象に残った．
この変わることが重要で，次回説明します．
授業で「成長と優先的選択」のメカニズムについて聞き，
ネットワークにおいて枝が多いほうにつながりやすいのは
確かに自然なことだと腹落ちしました．
しかしその直後，
「古株が成功している社会で，新参者はどのようにすれば生き残れるか」
という現実的な問いが提示されてハッとさせられました．
自らも今後「新参者」として新たな環境に挑む立場になるため，
どうすれば既存の壁を越えられるか調べてみたところ，
単なる参入時期の違いを覆すには，
既存のハブを凌駕する独自の価値や技術的優位性などの
「適応度」を高めることが不可欠なのだと分かりました．
抽象的な数理モデルが自分自身の直面するリアルな問題と
つながっておもしろかったです．
ぜひ対応できるようになってください．
実際のネットワークとしてこのような形になること，
面白いと感じた．
スケールフリーネットワークにおいて，
成長と優先的選択はとても直感的に理解しやすかった．
理解できたようで良かったと思います．
今回の講義で最も印象に残ったのはカントール集合の長さに関する議論である．
長さが0でありながら点は区間全体と同じだけあるという事実は，
驚きであると同時に無限を扱うことの難しさを再認識させられるものであった．
単純な操作の反復から直感を裏切る興味深い性質が生まれることを知り，
フラクタルという対象の奥深さを実感できた．
まだここからですね．この違いをどう考えるかということが重要です．
フラクタルの定義，基本例を通して学んだ
理解できましたか．
カントール集合の，長さを求めると0になってしまうが，
点の濃度に注目すると区間[0,1]上の実数と全単射となる関係がある
という性質が不思議で興味深かった．
この関係が重要ですね．
複雑に見えるフラクタル図形が，
簡単なルールを再帰的に適用することで生成できるということを知り，
興味深かった．
そうですね．簡単なルールを繰り返すことで作ることができますね．
現実世界のネットワークの次数分布を知れて面白かった．
また実験の今やってるフラクタル図形が繋がったのが良い気づきになった．
フラクタル図形を実験でやりましたか．
現実世界のネットワークにおける，
優先的選択という考え方は直感通りで理解しやすく思いました．
そうですね．確かに直感通りだと思います．よくありそうですね．
今回の講義では，身近なものもネットワークとして考えられることが分かりました．
点と線のつながり方によって，
情報の広がり方や全体の特徴が変わるところが面白いと思いました．
全体の特徴？
実際のネットワークでの図をみると，
ハブとなるノードがどの程度他にたいして次数が多いのかが，
ネットワークごとに全然違うことが分かりました．
解決すべき問題ともひも付けて，
自分なりにもなぜその問題が生じるかを考えてみようと思います．
フラクタル性については，カントール集合が興味深かったです．
長さが0に近づくにつれ数が無限になるというのが理論的に理解できたとき，
面白さを感じました．
ネットワークについては解決すべき問題は多数あります．
ぜひ考えてみてください．
フラクタルは長さを測ったときと点の数を数えたときの違いが重要ですね．
今回の講義で，ネットワークにおいてスケールフリー性を生み出すためには，
成長と優先的選択が不可欠であることが分かった．
また，後者については，複数の現実のネットワークの例を通して，
より実感することができた．
理解してくれて良かったと思います．
カントール集合の点の数を3進数表現で考えると言われた際，
最初は全く想像がつかなかったが，
カントール集合は中央部分がくり抜かれ，
3進数での1という値は取らないため，
2進数表現で表すことができることを知りとてもおもしろかった．
理解してくれましたね．よろしいと思います．
カントール集合の性質を解き明かすために，
区間を3進数表現を用いてとらえなおす手法が非常に新鮮で，
深く印象に残りました．
うまい方法ですね．
BAモデルにより，WWWなどのネットワークの次数分布が
「成長」と「優先的選択」というメカニズムによって
べき則に従う「スケールフリー性」を獲得することが分かった．
今後は，カオス理論におけるフラクタル構造についてもさらに探求し，
実際のデータ解析やシステム設計に活かしていきたい．
ぜひ以下してください．非線形性を考えることはとても大切ですね．
いろいろな分布があり，ベータ分布であることに驚いた．
フラクタル図形で，今までの次元が扱えなくなることも驚いた．
ベータ分布の話はしていないと思います．
また，まだ次元の話はこれからですね．
本日習った内容の内，
フラクタル図形の長さに関する部分に強い興味を惹かれた．
授業内での話では，無限回の施行を行うと理論上は長さが0になるが，
3進数の世界で考えれば点がびっしり詰まっていると説明されていた．
この話について，長さについては完全に0になるのではなく
0に漸近しているのではないかと感じた．
また，点の世界で見ればびっしり詰まっていることについては
直線は長さは無限でも面積が0になるように，
フラクタル図形では無限に施行する事で
1次元の世界から0次元の世界にシフトしてしまい，
長さは0，でも点は詰まっているという
奇妙な状態になったのではないかと感じた．
なるほどいいコメントな感じがします．
というか理解してくれているように思います．
次回議論しましょう．
図形の全体の長さが0になるまで分割と削除を繰り返すのに，
そこに含まれる点の数は[0, 1]区間の実数全体と同じだけ存在するという，
人間の直感と数学的真理が食い違う事実がとても不思議で惹きつけられました．
そうですね．直感と反する部分がある，そこがポイントですね．
カントール集合では, 3進数で表したときに1を含まない数だけが残り,
0と2だけで表される点が面白いと感じた.
さらに, その0と2を2進数の0と1のように見なせるため,
フラクタル図形が数の表現とも深くつながっていることが分かった.
単に線分を取り除いてできる図形ではなく,
数の世界にも対応している点が印象に残った.
理解できましたかね．
今回の講義ではスケールフリーネットワークとフラクタルについて学んだ．
講義終盤でカントール集合について話されたが，
長さは0なのに，点がびっしり存在するというのはとても不思議で驚きだった．
確かに不思議ですね．続きは次回ということで．
スケールフリー性を生み出す要素の一つに，
ネットワークの成長に加え，
成長の仕方に"次数の大きい頂点に接続する傾向"を持たせることにより
べき分布を出現させることができ，
これを優先的選択ということが分かった．
また3進法表現の2を1に置き換えて2進数表現したとき，
1対1対応にはなるが，全単射の関係にはなっていないと思った．
0.02222...(3)は0.01111..(2)になり，これは1/2(10)であるが，
同時に0.2000...(3)も0.1000...(2)=1/2(10)となるからである．
色々と考えていてよろしいと思います．
図形を繰り返し分割していくことで，
最終的に長さが0になるという性質が特に面白いと感じた．
そうですね．面白いところですね．
カントール集合の長さを解析する際に，
3進数を用いた図式化の形に驚いた．
また，フラクタル図形にも決定論的にどう形作られているかの
規則があることを学んだ．
規則がありますね．ただし，これを確率的にすると言うものもあります．
身近なものにもフラクタルが存在することを知り，非常に興味深いと感じた．
葉や雪の結晶がフラクタルであることは理解できたが，
血管なども同様の構造として捉えられることに驚いた．
また，ゲームでは地形や山などの自然な景観が無限に生成されているが，
これにもフラクタルが利用されているのではないかと思い，興味を持った．
来週お話できると思います．
フラクタル図形と聞いて想像するのがカントール集合であるので，
他のコッホ曲線や，
立体のフラクタルのメンガースポンジなども知れて面白かった．
色々とあるので調べてください．
カントール集合では，各段階で開区間のみを取り除いているため，
線分としての長さは0になる一方で，
残る点の数は区間 [0,1] と同じであることが分かった．
長さと点の数は必ずしも対応しないことを理解した．
また，長さが0であっても無数の点が存在するのであれば，
ほかにも長さや面積が0でありながら多くの情報を持つような
図形や集合が存在するのではないかと考えた．
実際の情報処理やデータ表現に応用されているのか調べてみたいと思った．
よろしいと思います．ぜひ調べてください．
ネットワークの成長をこれから私たちが行う研究に合わせて説明しており，
確かにその通りだと感じました．
フラクタルについて，コッホ曲線やシェルピンスキーギャスケット，
ロジスティック写像の他にもカントール集合，メンガー・スポンジがあり，
調べればもっと出てくると思いました．
また，池口教授はメンガー・スポンジの最後の一番穴が開いている画像を
どのように作ったのか気になります．
次回お話ししますが，matlabのコードが落ちていたので， それを使わせてもらったと思います．
規則的もなければランダムでもない現実世界のネットワークこそ，
複雑ネットワークそのものなのだということが分かりました．
スモールワールドネットワークの話は今回はしていないですね．
カオスの話から年収などの社会学的内容と関連している
という事が興味深かったです．
そうですね．色々と関係していますよね．
カントール集合の長さ，濃度についてよく分かった．
よろしいと思います．
カントール集合は，長さが0であるにもかかわらず，
点の数は無限個であるということを知り,
直感的には矛盾しているように感じられるが，
数学的には両立するという点が興味深いと思った.
研究室に入ってからの話の中で，モデルを作成し，
結果を見て何を改良すべきかを考え，
再びシミュレーションを行うという流れが紹介されていた.
この話を聞いて，AIに頼りすぎるのではなく，
自分でモデルのどこが間違っていたのかを考えたり，
結果を検証したりする力を身につけることが重要だと実感した.
良いコメントだと思います．
本日の講義では，自己相似性を有するフラクタル図形について学び，
特にカントール集合の長さが0になる一方で，
実数と1対1の対応がつくことで濃度は等しいという
直感に反する事実に非常に驚いた．
カントール集合の構成において，
無限回操作を繰り返すと取り除かれる長さの和が初項1/3，
公比2/3の無限等比級数の和として計算され，
結果が1となる点については論理的に理解できたが，
この集合上の「点」が実数全体と対応するという概念は非常に難解であった．
難しいですが，落ち着いて考えたら大丈夫でしょう．
分からなければ質問してください．
複雑なフラクタル構造をn進法を用いて，
理論的に理解できるようになる様に美しさを感じた．
自然や人間の体内にもフラクタルが確認されているため，
この宇宙全体として何か合理的な意味合いを持つように思い，面白い．
何かしらあるかもしれませんね．
優先的選択の説明で，
1年次の情報処理演習で自らwebサイトを作成した時に，
リンク先をYahooや Googleなどの次数の大きい頂点に
接続していたことが挙げられていて，
確かに自分もそうだったと思い，とても腑に落ちました．
理解できましたか．良かったと思います．
カントール集合では，長さが直感と違う結果になるところが不思議でした
そうですね．一番不思議なところですね．
今回の講義ではネットワークの成長についてと
フラクタルとは何かについて特に学んだ．
個人的に，ネットワークの成長についてが興味深く感じた．
べき分布について学ぶだけだと理解し切れていなかったが，
実際のネットワークや例を通して優先的選択を組み込むことによる違い等が
ある程度理解出来たと感じる．
また，フラクタルについて，
情報工学実験3の実験1で最初に学び，カオス理論でも学んだが，
よりそれを詳しく知ることができて面白かった．
特にニュートン的図形観との違いの所が面白く感じた．
違いを理解しておいてください．
本日の講義の内容は,
まず現実世界の様々なネットワークと次数分布の図を確認した後,
スケールフリーネットワークにおける成長と優先的選択,
そこから生じるベキ則について学び,
最後にフラクタルとは何かということと
複数のフラクタル図形の具体例の中からカントール集合の長さについて
定量化することを考えた.
カントール集合上の点を考える際に
区間 [0,1] を3進数で表現するという考え方について,
最初は「なぜ3進数なのか」という疑問を抱いたが,
カントール集合には中央部分が無くz_i = 1は取らないので
結局2進数表現に帰着すると分かり, その意味に納得するとともに,
フラクタル図形を情報工学という分野の中で考えていくことの必要性が見えた.
カントール集合以外のフラクタル図形についても
同様の考え方で性質を定量化できるのか,
あるいは異なる手法が必要になるのかについて興味を持った.
良いコメントですね．次回触れましょう．
今回の内容を通じて，
まだフラクタルの重要性やその応用を理解はできなかったが，
前々から少しずつ話題に上がってきていて，
フラクタルがあまり掴みどころがないだけに今後の授業展開がとても楽しみです．
応用については次回お話しします．
スモールワールドネットワークが現実のものと異なることが分かったが，
それを解決する方法として，新しい点を次々と加えていく，
但し次数の高い頂点に枝を持つ確率がより高い，
という全く異なる視点でモデルを構築するのは
来年の研究に必要なものだと実感した．
その通りですね．色々な視点が必要ですね．
フラクタルについて調べてみると，
自然界に多く存在していることが分かって非常に興味深かった．
その通り．多く存在しています．
スケールフリー性の条件で，一度仮定した条件で事象を説明できない際は
繰り返しモデルや理論を改良すればよいと仰ったが，
研究を行う際の心構えとして大事だと思いました．
また，優先的選択の性質は，人気俳優の共演人数が多くなることや，
クラスター感染の中心となる人物がいることから
感覚的に理解しやすいと思いました．
理解してくれているようで良かったと思います．
バラバーシ先生がスケールフリー性について，成長だけでは上手くいかず，
優先的選択に気づいたのが飛行機の中で急に閃いたという話が印象的だった．
色々な偉人達の話でもあるが，
研究が一気に進むのが意外と何気ない時の閃きや，
偶然だったりするのがとても面白い．
先生は似たような経験などありますか？
似たような経験ですか．．．ちょっと思い出してみましょう．
0になるという近似する方法は面白いと思います
よろしいと思います．
フラクタル図形に対して長さや面積などの尺度で測ると
矛盾が生じたりするのが興味深かった．
理解できましたか．
今日は，フラクタル構造を持つ図形と，
実際のネットワークのべき則について学んだ．
フラクタル構造が，再帰的な簡単なアルゴリズムによって作成できるが，
実際に見た時は図形がどうなっているのかすぐには分からず，
再帰を重ねるにつれてどんどん複雑になっていく様子が，
カオスと通じるものを感じた．
確かにそうですね．繰り返すことでみてくるものがありますね．
今回の講義ではフラクタル図形の性質について学んだ．
長さは0なのに点は無限個あるという，
これまでの私たちの物差しで測ることができないような
性質を持っていることがわかった．
理解できましたか．
スケールフリー性のベキ則について，
改善を繰り返すことで見つけた方法だけでなく，
別の方法もあったりと研究は奥深いなと思った．
また，この章の最後のスライドで書かれている解決すべき問題が
ネットワーク構造として説明できるのがとても興味深いと思った．
その通り，奥深いのです．
言われてみれば確かにと思う内容でしたが，
フラクタル構造が同じ操作を繰り返すだけで作られることが分かり，
すっきり理解できました．
また，自然界にもフラクタル構造が多く存在することを，
さまざまな例を通して知り驚きました．
一方で，カントール集合で3進法を2進法に対応させる理由については，
原理はなんとなく理解できたものの，
その対応によって何が分かるのかまでは十分理解できていないため，
さらに学びたいと思いました．
次回お話しします．点の数，長さという尺度ではうまく測れないということです．
多くのフラクタル図形で1/3縮小が行われていることに興味を持ちました．
多くではないと思いますが，ちょっと考えてみよう．
カントール集合の長さが0になるのは，
実際に図形を見るとイメージが付き，
結局はスカスカの点の集まりになると思っていたので，
そもそもこれに疑問を持つ人がいるのに驚きました．
来週，これに新しい尺度を用いて分析するのが楽しみになりました．
次回，楽しみにしていてください．
今日の講義では, フラクタル図形が「自己相似性」という性質を持ち,
一部分を拡大すると全体と似た形が現れることを学んだ.
また, カントール集合やコッホ曲線などが,
同じ操作を繰り返すことで作られることが理解できた.
理解できましたか．他の図形でも考えてみてください．
スケールフリーネットワークは「新しい頂点が，
次数の大きい頂点に繋ぎやすくなる」という方法で作っていたが，
現実はその逆の「次数が大きい頂点ほど(知り合いが多い人ほど)，
別の次数が大きい頂点と繋がりやすい(有名人の知り合いを持ちやすい)」
というパターンもあるのではないかと思った．
いいコメントですね．次回触れましょう．
成長と優先的選択を行うことによってべき則が導かれることを理解できた
よろしいと思います．